§ 4. Турбулентность

а) В § 1 мы вывели закон Гагена-Пуазейля, согласно которому при течении вязкой жидкости в круглой трубе падение давления пропорционально расходу жидкости [формула (4)]. Там же мы упомянули, что закон Гагена-Пуазейля имеет место для движения в очень узких трубках при любых практически возможных скоростях, а для движения в широких трубах — только при малых

скоростях. При больших скоростях для широких труб этот закон, как показывают наблюдения, перестает быть верным и заменяется другим законом, согласно которому падение давления приближенно пропорционально второй степени расхода, т.е. значительно больше, чем при законе Гагена-Пуазейля. Кроме того, в тех условиях, когда применим закон Гагена-Пуазейля, частицы жидкости движутся упорядоченно и прямолинейно; при больших же скоростях они начинают двигаться совершенно неупорядоченно и по самым извилистым траекториям.

Такой переход от упорядоченного движения к неупорядоченному очень легко наблюдать в стеклянной трубе, если в основной поток жидкости ввести немного окрашенной жидкости через узенькую трубочку, вставленную в поток. При малых скоростях окрашенная жидкость увлекается основным потоком в виде тонкой прямолинейной нити, при больших же скоростях эта нить на некотором расстоянии от своего начала разрывается, и окрашенная жидкость быстро и почти равномерно перемешивается с основным потоком. Такой опыт впервые был выполнен Рейнольдсом. Упорядоченное движение, наблюдающееся при малых скоростях, называется ламинарным, а неупорядоченное движение, наблюдающееся при больших скоростях, — турбулентным.

Из соображений о подобии (§ 2) Рейнольде вывел заключение, что переход от ламинарного движения к турбулентному должен происходить — для труб разного диаметра и для жидкостей с различной вязкостью — всегда при одном и том же значении величины где есть средняя скорость течения, диаметр трубы. Величина как мы знаем из носит теперь название числа Рейнольдса; ее значение, соответствующее переходу ламинарного движения в турбулентное, называется критическим числом Рейнольдса. Опыты показали, что установленная Рейнольдсом закономерность действительно наблюдается, если только условия притекания жидкости в разные трубы хорошо совпадают. Так, например, для трубы с острыми краями, вставленной в сосуд с плоской стенкой, критическое число Рейнольдса равно

При хорошем округлении входа в трубу и при отсутствии сотрясений критическое число Рейнольдса увеличивается до 40 000 и выше. Наоборот, при необточенных краях трубы оно понижается примерно до 2 320.

b) Турбулентное движение наблюдается не только в трубах и каналах, но также в пограничных слоях, рассмотренных в § 3. В этом случае для составления числа Рейнольдса, определяющего движение, следует взять вместо диаметра трубы толщину пограничного слоя а вместо средней скорости течения — скорость течения вне пограничного слоя. Таким образом, теперь числом Рейнольдса будет

При обтекании пластинок и многих других тел пограничный слой вблизи носовой части тела очень тонок [см. формулу (12)]. Это приводит к тому, что движение в пограничном слое на некотором участке остается ламинарным и только после того, как толщина слоя увеличивается настолько, что достигается критическое значение числа движение в пограничном слое становится турбулентным.

Наблюдения над движением хорошо заостренных пластинок, буксированных в неподвижной воде, показали, что течение около них может оставаться ламинарным до числа Рейнольдса, равного приблизительно

где I есть длина пластинки.

Для пластинок с хорошо закругленным передним краем, обдувавшихся в аэродинамической трубе американского National Bureau of Standarts (Вашингтон), удалось довести критическое значение числа Рейнольдса до

правда, путем принятия особых мер предосторожности против возмущения набегающего потока.

Как показали вычисления Блазиуса, для плоских пластинок толщина пограничного слоя связана с длиной пластинки I скоростью потока вне пограничного слоя и кинематическим коэффициентом вязкости соотношением:

[см. формулу (18)]. Следовательно, указанным выше критическим значениям (19) и (20) числа соответствуют критические значения числа равные приблизительно

Для того чтобы сравнить эти критические значения с соответствующими критическими значениями для движения в трубах, примем, что

Тогда мы получим:

что хорошо согласуется с результатами, получаемыми для движения в трубах при небольших и средних возмущениях в притекающей к трубе жидкости. Дальнейшие сведения о переходе в пограничном слое ламинарного течения в турбулентное будут даны в конце § 6.

с) При изучении турбулентности мы сталкиваемся с двумя вопросами, с теоретической точки зрения совершенно различными. Первый вопрос касается причин возникновения турбулентности, а второй — свойств течения с вполне развившейся турбулентностью.

Для объяснения возникновения турбулентности предложено много гипотез, часто очень остроумных с математической точки зрения, однако до сих пор этот вопрос удовлетворительно не разрешен.

Рейнольде показал, что при некоторых формах возмущающих движений энергия из главного движения переходит в возмущающее движение, но при этом одновременно происходит затухание возмущающего движения вследствие действия достаточно большой вязкости. С этой точки зрения вполне понятно, почему при малых числах Рейнольдса течение остается ламинарным. Однако, для того чтобы объяснить возникновение турбулентности, необходимо доказать, что в определенном потоке образуются такие формы возмущающих движений, которые в среднем больше отнимают энергии у главного движения, чем, наоборот, ему отдают. Многочисленные расчеты, выполненные различными исследователями, привели к отрицательному результату. Только Толмину удалось найти пример (для случая обтекания ластинки), когда, по-видимому, происходит нарастание возмущений. Вычисленное отсюда теоретически критическое значение числа Рейнольдса хорошо

совпадает с наблюденным значением, однако найденное волновое возмущение, имеющее очень большую длину волны, нельзя рассматривать как турбулентность. Настоящая турбулентность, по-видимому, возникает тогда, когда вследствие каких-либо причин, например, вследствие начальных возмущений, в потоке образуются такие распределения скоростей, которые, подобно поверхностям раздела (см. §7 гл. II), неустойчивы и приводят к появлению многих маленьких вихрей. Согласно последним работам Толмина для возникновения неустойчивости достаточно, чтобы профиль скоростей имел точку перегиба, при условии, что число Рейнольдса где есть толщина пограничного слоя, достаточно велико, и притом тем больше, чем круче происходит перегиб профиля. Такие профили скоростей действительно получаются в потоках, в которых давление в направлении движения возрастает. Следовательно, такое возрастание давления действует как фактор, обусловливающий возникновение турбулентности.

Наблюдения показывают, что турбулентность, возникшая вследствие какого-нибудь возмущения, начинает сама собой развиваться дальше вниз по течению. Это ясно видно на снимках, изображенных на рис. 94 и полученных при помощи кинокамеры, двигавшейся параллельно потоку со скоростью продвижения вихрей. Для получения первоначального возмущения было произведено кратковременное отсасывание жидкости через отверстие в стенке (слева, на первом — верхнем снимке). Процесс развития турбулентности до сих пор не получил объяснения.

Рис. 94. Распространение турбулентности

d) Что касается состояния течения, при котором турбулентность уже вполне развилась, то по этому поводу ограничимся здесь следующими замечаниями.

В § 14 предыдущей главы было показано, что при течениях пульсациями скорости перенос количеств движения, вызванный пульсациями, создает дополнительные напряжения, например, касательное напряжение

где суть пульсационные скорости, т. е. отклонения составляющих скорости от их средних во времени значений Для того чтобы сделать формулу (21) пригодной для практических вычислений, необходимо заменить в ней пульсационные скорости какими-нибудь другими величинами, связанными с распределением средней скорости. Для этого следует ввести в расчет определенную длину, которую можно понимать либо как диаметр шарообразного скопления частиц жидкости, движущихся как одно целое, либо как путь, который этот шар должен пройти относительно остальной жидкости, чтобы в результате смешения с окружающим турбулентным потоком потерять свою индивидуальность. Заранее нельзя сказать, что обе эти длины в точности равны друг другу, однако можно предполагать, что между ними существует

определенная пропорциональность. Рассмотрим поток, в котором скорость изменяется в направлении, перпендикулярном к линиям тока.

Рис. 95. К выводу формулы для дополнительного касательного напряжения

Пусть некоторая масса жидкости из слоя, находящегося от стенки на расстоянии у, перемещается перпендикулярно к направлению потока в слой, находящийся от стенки на расстоянии (рис. 95). Если в первом слое средняя скорость течения равна то вследствие такого перемещения массы жидкости в новое место ее скорость изменится на величину которую в первом приближении можно считать равной т.е.

Эту величину можно рассматривать, если не равной, то по крайней мере пропорциональной пульсационной скорости и. Что касается пульсационной скорости то для ее оценки предположим, что два жидких шара, попадающих в рассматриваемый слой с разных сторон и движущихся в этом слое друг за другом, сближаются или удаляются друг от друга с относительной скоростью Из этого предположения следует, что пульсационная скорость также должна иметь порядок величины Наконец, приступая к составлению среднего значения необходимо установить, какие знаки имеют перемножаемые пары значений Частицы жидкости, переходящие через контрольную поверхность, параллельную стенке, снизу вверх (от стенки), увеличивают свою скорость; наоборот, частицы жидкости, переходящие эту поверхность сверху вниз, уменьшают свою скорость. Отсюда следует, что положительным пульсациям соответствуют отрицательные пульсации и, а отрицательным положительные и, поэтому в обоих случаях произведение получается отрицательным. Таким образом, дополнительное напряжение имеет положительный знак и порядок величины Примем неизвестный коэффициент пропорциональности равным единице; такой произвольный выбор этого коэффициента отразится на наших результатах только тем, что величина I останется

пока неопределенной. Следовательно, мы будем иметь:

Наконец, для того чтобы эта формула давала для положительного положительное касательное напряжение, а для отрицательного отрицательное касательное напряжение, перепишем ее в следующем виде:

Эта формула, как уже упоминалось, является приближенной. Она показывает, что дополнительные напряжения, возникающие вследствие турбулентного перемешивания, изменяются при изменении скорости пропорционально ее квадрату. Наблюдения показывают, что все гидравлические сопротивления в основном подчиняются этому закону.

Длина I, которую мы будем называть длиной пути перемешивания, имеет некоторое родство с длиной 11 пути свободного пробега молекул в кинетической теории газов. В этой теории перенос количеств движения, вызванный молекулярным движением, рассматривается совершенно так же, как это мы только что сделали для переноса количеств движения, вызванного грубым (молярным) движением жидких шариков. Отклонение скоростей молекул газа, входящих в рассматриваемый слой снизу и сверху, от средней скорости во времени, как и в нашем случае, равно

Однако скорость поперечного переноса молекул газа равна скорости молекулярного движения, а не пропорциональна и, как в нашем случае. Вследствие этого касательные напряжения, вызываемые молекулярным движением и уже известные нам как напряжения вязкости, пропорциональны первой степени величины Длина пути свободного пробега молекул газа обратно пропорциональна плотности, поэтому вязкость газа, величина которой определяется произведением не зависит от плотности.

По поводу баланса энергии турбулентного потока заметим следующее. Система дополнительных напряжений и соответствующих разностей давлений совершает в выделенной области жидкости работу, необходимую для

поддержания внутри этой области (а в случае необходимости соседних областях) турбулентного движения. В рассмотренном простом случае секундная работа, отнесенная к единице объема, равна

Эта работа и делает возможным дальнейшее существование завихренного движения, несмотря на действие вязкости; в конце концов вследствие действия вязкости она превращается в теплоту. Та часть кинетической энергии единицы объема жидкости, которая превращается в единицу времени в теплоту, определяется функцией рассеяния, состоящей из ряда членов вида:

Следовательно, если ввести в рассмотрение длину А, являющуюся размером наименьшего вихря, то секундную работу, отнесенную к единице объема, можно принять равной

где через и обозначена для краткости величина Согласно результатам, полученным выше, можно принять:

Отсюда следует, что

Наконец, полагая

мы получим:

Эта формула по своей структуре совпадает с соотношением, выведенным ниже в § для другого турбулентного процесса, с той только разницей, что в то соотношение вместо величины и входит величина а вместо I — величина

Обозначив первые три множителя правой части формулы (22) одной буквой А, мы сумеем переписать ее в следующем виде:

Эта формула по своей структуре формально совпадает с формулой

для вязкого напряжения. Таким образом, величина

имеет размерность вязкости. Однако численное значение величины А превышает численное значение коэффициента вязкости обычно в десятки и даже сотни тысяч раз. Величина А называется турбулентной вязкостью. Кроме численного значения, она отличается от обычной вязкости еще тем, что она изменяется при переходе от одной точки потока к другой; в частности, при приближении к стенке она стремится к нулю.

е) Турбулентное перемешивание влечет за собой, кроме переноса количеств движения, также перенос всех других «субстанций», содержащихся в движущейся жидкости, например тепла, разных примесей и т. п. Если содержание, например, примеси, не одинаково в различных точках пространства, то части жидкости, движущиеся из мест с более высоким содержанием, уносят отсюда больше примеси; чем сюда поступает с частями жидкости, движущимися из мест с менее высоким содержанием. В результате в среднем получается перенос примеси из мест с высоким ее содержанием в места с низким содержанием. В случае разностей температур такой перенос представляет собой своего рода турбулентную теплопроводность, в случае разности концентраций — своего рода турбулентную диффузию. Так как теплосодержание в единице массы жидкости равно где есть темпераура, то из сказанного следует, что при турбулентном перемешивании в единицу времени и на единицу площади происходит перенос тепла, равный

Величина называется коэффициентом турбулентной теплопроводности. В случае, когда в потоке имеется химическая или механическая примесь с концентрацией с, при турбулентном перемешивании

в единицу времени и на единицу площади возникает перенос массы примеси, равный

Так как механизм переноса свойства вещества или примеси к нему, очевидно, отнюдь не тождественен с механизмом переноса количеств движения, то возникает вопрос, совпадают или не совпадают между собой численные значения коэффициентов При решении этого вопроса выяснилась необходимость различать турбулентность, обусловленную трением около стенок, от турбулентности, возникшей из свободной поверхности раздела. Для последнего вида турбулентности соответствующие опыты были произведены Фэджем (A. Fage) и Фокнером (V. М. Falkner) по предложению Тэйлора. Измеряя одновременно профиль скоростей и профиль температур в потоке жидкости позада обтекаемого нагретого стержня, они получили, что

К тому же результату привели новые измерения Рейхардта над смешением струи воздуха с воздухом другой температуры. Что касается турбулентности первого вида, т. е. турбулентности в слоях жидкости, прилегающих к стенке, то до сих пор обычно принимали, что и это предположение не приводило к противоречиям с измерениями теплопередачи. Однако в последнее время Рейхардт в своем теоретическом исследовании о законах теплопередачи в турбулентных слоях жидкости вблизи стенок показал, что из одновременных измерений профиля скоростей и профиля температур, произведенных Элиасом (F. Elias) около обтекаемых пластинок и Лоренцом (Н. Lorenz) в трубах, следует, что

(см. по этому поводу также стр. 538). Очевидно, что такого же рода соотношения должны иметь место и между

Различие в соотношениях между для турбулентности обоих видов объясняется тем, что в турбулентных потоках около стенок преобладают,

по-видимому, вихри с осями, параллельными направлению потока, а в свободных турбулентных потоках — наоборот, преобладают вихри с осями, перпендикулярными к направлению потока. Вихри первого рода не изменяют средней скорости потока, в то время как вихри второго рода значительно влияют на нее таким образом, что профиль скоростей получается острее, чем профиль средних температур или средней концентрации. Опыты Гран-Ольсона над распределением температуры и скорости позади нагреваемой решетки из стержней также показали, что теплопередача при свободной турбулентности значительно сильнее переноса количеств движения, и поэтому разности температур выравниваются значительно быстрее, чем разности скоростей.