166. Интеграл Дирихле.

Из формулы (3) видно, что вопрос о сходимости ряда Фурье, т. е. о существовании предела суммы приводится к исследованию интеграла типа

Мы будем рассматривать более простой интеграл, а именно интеграл вида

который называется интегралом Дирихле. Мы докажем по поводу этого интеграла следующую лемму:

Лемма. Если удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке ; 1) если , то при беспредельном возрастании

интеграл (12) имеет предел если , то этот предел равен если то предел равен или а и , то упомянутый предел равен нулю. Нетрудно видеть, что достаточно доказать одно первое утверждение. Считая его доказанным, мы можем легко получить из него остальные. Докажем, например, утверждения 3 и 4, считая первое доказанным:

Если то в силу утверждения 1 уменьшаемое и вычитаемое в правой части имеет предел и, следовательно, разность стремится к нулю, что и доказывает утверждение 4. Если же то, заменяя в вычитаемом переменную интегрирования z на получим

Так как то можем применить к обоим интегралам утверждение 1 и получим

Перейдем теперь к доказательству утверждения 1, т. е. покажем, что при

При доказательстве будем пока считать, что не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонна в промежутке (0, b).

Мы имели раньше следующий результат:

Рассмотрим интеграл

Это есть непрерывная функция с, равная нулю при и стремящаяся к при . Мы можем отсюда заключить, что при всех положительных

с написанный интеграл остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа М. Рассмотрим теперь интеграл с двумя положительными пределами

Мы имеем, очевидно,

и

т. e. интеграл (15) при любых положительных остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа .

Прежде чем переходить к доказательству (13), рассмотрим более простой интеграл

Совершая замену переменных и пользуясь (14), получим при беспредельном возрастании :

и следовательно,

Таким образом для доказательства (13) нам достаточно показать, что

т. е. что при достаточно больших левая часть написанного по абсолютной величине меньше любого положительного числа е. Разобьем промежуток интегрирования (0, b) на два: (0, b) и (b, b), где b — малое положительное число, которое будет фиксировано в дальнейшем. Покажем, что каждый из двух интегралов

при достаточно больших меньше по абсолютной величине. Ввиду конечного числа разрывов функции можно взять настолько малым, чтобы

в промежутке функция не имела разрывов, так что . Принимая во внимание, что, по условию, монотонна, и применяя к первому из интегралов (16) теорему о среднем, получим

и, следовательно,

По определению символа разность при и, следовательно, мы можем приблизить настолько к нулю, чтобы правая часть написанного равенства была меньше При этом первый из интегралов (16) будет по абсолютной величине меньше у при любом . Фиксируя таким образом положительное число обратимся ко второму из интегралов (16). Применяя к нему также теорему о среднем, можем написать его в виде

Множители, стоящие перед интегралами, суть постоянные, и нам достаточно доказать, что оба интеграла стремятся к нулю при возрастании т. Рассмотрим, например, первый из интегралов и совершим в нем замену . Получим интеграл

При беспредельном возрастании пределы беспредельно возрастают, так как b — фиксированное положительное число и не меньше Но раз интеграл

есть сходящийся интеграл, то интеграл (18) при беспредельном возрастании его обоих пределов должен стремиться к нулю [85]. Аналогично рассматривается и второй из интегралов в выражении (17), а поэтому все это выражение стремится к нулю, т. е. второй из интегралов (16) стремится к нулю и, следовательно, при достаточно больших он по абсолютной величине меньше у.

Равенство (13) и, следовательно, все утверждения леммы доказаны нами в предположении, что не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонна. Остается показать, что (13) верно и в том случае, когда удовлетворяет только условиям Дирихле. В силу условий Дирихле, промежуток (0, b) можно разбить на конечноечисло частей, в каждой из которых монотонна. Пусть (0, b) можно разбить хотя бы на три части в каждой из которых монотонна. Интеграл (13)

разобьется на три:

К каждому слагаемому правой части применима лемма, так как в промежутках функция монотонна. Следовательно, первое слагаемое стремится к остальные два — к нулю, и интеграл (19) стремится к что и требовалось доказать.

Заметим, что в интеграле Дирихле (12) число может беспредельно возрастать любым образом, не обязательно принимая только целые значения. Полученный результат имеет своим источником тот факт, что функция при больших значениях очень часто меняет знак и, кроме того, принимает большие значения при z, близких к нулю.