28. Теорема свертывания.

Формула обращения для обычного интеграла Фурье непосредственно увязана, как мы знаем, с формулой обращения для интеграла Лапласа [IV; 44, 45], и для последнего интеграла мы имели теорему о свертывании. Аналогичная теорема имеет место и для интеграл Фурье — Стилтьеса. Пусть — две функции с указанными выше для свойствами. Будет существовать следующий общий интеграл Стилтьеса:

Нетрудно показать, что обладает упомянутыми выше свойствами и что если непрерывны, то и непрерывна.

Составим для функции преобразование Фурье — Стилтьеса

Теорема свертывания заключается в утверждении того, что эти преобразованные функции удовлетворяют следующему простому равенству:

Применим к функции формулу (148)

Заменяя его выражением (149), получим

Переменим порядок интегрирования. На доказательстве возможности этого не останавливаемся. Это будет следовать из одной общей теоремы о перемене порядка интегрирования, которая будет доказана в дальнейшем. Таким образом, мы получим

Во внутреннем интеграле введем вместо z новую переменную интегрирования у по формуле . При этом предыдущая формула может быть написана в виде

Внутренний интеграл может быть выражен через по формуле (165), и мы приходим к формуле

которая и совпадает с формулой (151) в силу (150).

Из теоремы свертывания непосредственно следует, что если представимы интегралом типа (131), т. е. принадлежат классу Р положительно определенных функций, тогда то же можно утверждать и об их произведении. Непосредственно очевидно, что и линейная комбинация с положительными коэффициентами принадлежит тому же классу. Далее, если принадлежит Р, то и принадлежит Р, а именно, если определяет то для будем иметь

где Таким образом, будет принадлежать P и будет определяться функцией

Если непрерывна, то и будет непрерывной, и, в силу доказанного в [26], будем иметь

Вернемся к функции определяемой формулой (131), и пусть, как и выше, обобщенные коэффициенты Фурье, соответствующие Принимая во внимание, что положительные числа образуют сходящийся ряд и формулу (137), получим

С другой стороны, в силу доказанного выше,

Далее имеем

По неравенству Буняковского — Шварца

и, принимая во внимание (152) и (153), можно утверждать, что правая часть стремится к нулю при беспредельном возрастании . Таким образом, и, совершенно так же, . Из формул (152) и (153) получаем, таким образом, для любой функции из класса Р следующую теорему замкнутости:

Интеграл Коши — Стилтьеса. Рассмотрим интеграл Коши, взятый по всей вещественной оси,

При некоторых предположениях относительно этот интеграл существует, и функция комплексного переменного z будет регулярной функцией как в верхней, так и в нижней полуплоскости. В этих полуплоскостях упомянутые регулярные функции суть различные аналитические функции, и мы знаем, что можно выразить через скачок на вещественной оси, а именно имеет место формула [IV; 85]:

Положим, что есть функция ограниченной вариации на бесконечном промежутке и составим для комплексных значений z интеграл Коши — Стилтьеса:

Интегрируемая функция непрерывна на всей вещественной оси и стремится к нулю при Таким образом, интеграл

(156) можем понимать как интеграл Стилтьеса [4]. Мы докажем для интеграла (156) следующую формулу обращения:

причем для точек разрыва функции в левой части надо брать полусумму предельных значений слева и справа. Мы могли бы предугадать эту формулу обращения совершенно так же, как это делали выше при обращении интегралов Фурье — Стилтьеса.

Прежде чем доказывать формулу (167) рассмотрим интеграл Пуассона для случая полуплоскости. Положим и отделим в ядре Коши вещественную и мнимую часть:

Отделяя в интеграле (155) мнимую часть и добавляя множитель мы и придам к интегралу Пуассона для полуплоскости:

Он представляет собой, очевидно, гармоническую функцию как в верхней, так и нижней полуплоскости. Докажем по поводу этого интеграла следующее: если ограниченная функция, интегрируемая по Риману в любом конечном промежутке (например, функция ограниченной вариации ), то интеграл (158) (он, очевидно, существует) при стремлении к со стороны положительных значений стремится к в точках непрерывности и к полусумме предельных значений слева и справа в точках разрыва первого рода, причем в любом замкнутом промежутке изменения , лежащем внутри промежутка непрерывности это стремление к пределу равномерно относительно а. Для доказательства отметим, прежде всего, очевидное равенство

В интеграле (158) введем вместо новую переменную интегрирования :

Разобьем промежуток интегрирования на два: и в первом из полученных интегралов введем новую переменную

интегрирования . Таким образом, придем к следующей формуле:

Положим, что — точка непрерывности или точка разрыва первого рода. Умножим обе части формулы (159) на и вычтем почленно из формулы (160). Мы получим, таким образом, следующую формулу:

где

Пусть — заданное положительное число. При этом существует такое положительное что при Если находится в замкнутом промежутке, лежащем внутри промежутка непрерывности , то, в силу равномерной непрерывности число определяется только числом и не зависит от . В интеграле (161) разобьем промежуток интегрирования на два Для первого промежутка интегрирования имеем

Для оценки интеграла по второму промежутку заметим, что функция ограничена, что вытекает из ограниченности функции т. е. мы имеем , где L — некоторое положительное число. Таким образом, получим

и для разности, стоящей в левой части формулы (162), получаем следующую оценку:

Разность, стоящая во втором слагаемом, очевидно, к нулю, когда положительное число стремится к нулю, и при всех , достаточно близких к нулю, это второе слагаемое будет меньше е.

Таким образом, при всех , достаточно близких к нулю, мы получаем оценку

из которой вытекает, ввиду произвольности , справедливость высказанного выше утверждения. Близость к нулю обусловлена значением , а это последнее не зависит от о для упомянутых выше интервалов непрерывности . Отсюда следует равномерность стремления к пределу в упомянутых интервалах непрерывности. Переходим теперь к доказательству формулы обращения (157). Составим функцию

Применяя интегрирование по частям, можем написать

Ввиду ограниченности написанный несобственный интеграл сходится равномерно относительно , принадлежащего любому конечному промежутку, и, интегрируя обе части последней формулы по на промежутке причем справа интегрирование производится под знаком интеграла, получим

Интегралы, стоящие справа, суть интегралы Пуассона, и, применяя доказанную выше теорему, мы и придем к формуле обращения (157). Эта формула впервые дана Стилтьесом и называется обычно формулой Стилтьеса. Отметим, что для интеграла (156) значения функции на концах промежутка не существенны, так как интегрируемая функция стремится к нулю при стремлении