ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ

Теория вероятностных процессов — сравнительно молодая ветвь теории вероятностей, имеющая важные приложения в делом ряде разделов механики, физики и техники; именно запросы со стороны этих дисциплин и привели к бурному развитию рассматриваемой теории в течение последних десятилетий. Книга Дуба — крупнейшего американского специалиста в области вероитностных процессов — представляет собой первое сводное изложение этой теории.

Несмотря на физическую наглядность основных понятий и результатов, всякая попытка математически аккуратного изложения теории вероятностных процессов во всей ее широте неизбежно приводит к необходимости широко использовать абстрактный математический аппарат (в первую очередь — теорию меры): это ведет к известной громоздкости изложения, которой не избежал и автор настоящей книги. При этом высокий уровень строгости, на котором написана книга, предъявляет значительные требования к математической культуре читателя: книгу вряд ли сможет полностью прочесть тот, кто не овладел математикой (в частности, теорией функций действительного переменного и теорией вероятностей) в объеме университетского курса. Однако достаточно подготовленным читателям очень содержательная книга Дуба безусловно принесет большую пользу. Следует только иметь в виду, что принятый автором общий план изложения привел к тому, что конкретным приложениям теории вероятностных процессов в книге уделено очень мало места. С этими вопросами читателю придется знакомпться по другим источникам; некоторые из них указаны в приложении переводчиков.

Приложение переводчиков было написано в первую очередь в связи с тем, что за три года, прошедшие после написания книги, было опубликовано много новых важных результатов по теории вероятностных процессов. В приложении дается краткое изложение некоторых из этих результатов (включая, в частности, и интересные новые результаты самого автора книги). Кроме того, в книге особое внимание уделено, естественно, тем разделам теории вероятностных процессов, которые особенно близки американской школе теории «вероятностей. В связи с этим переводчики рассмотрели в приложении и некоторые из более старых результатов, не включенные в основной текст книги; большинство этих результатов относится к областям теории, традиционно входящим в сферу интересов советских математиков. Там же приведен краткий обзор советских и иностранных книг по теории вероятностных процессов, появившихся за последние годы, и указаны важнейшие обзоры отдельных вопросов этой теории, имеющиеся на русском языке. На выборе материала, включенного в приложение переводчиков, сказались, конечно, научные интересы его составителей, которые могут лишь повторить извинения по поводу неполноты приведенных ссылок, содержащиеся в предисловии автора книги.

Молодость теории вероятностных процессов как научной дисциплины проявляется, в частности, в том, что в этой области до сих пор нет общепринятой терминологии; даже для основного понятия вероятностного процесса в литературе употребляются три равноправных термина (вероятностный процесс, случайный процесс и стохастический процесс). При выборе

терминологии, принятой в настоящем переводе, переводчики пользовались компетентными советами А. Н. Колмогорова. При составлении приложения большую пользу принесло обсуждение его содержания с А. Н. Колмогоровым и Е. Б. Дынкиным. Окончательное редактирование рукописи провел А. А. Юшкевнч. Всем им переводчики выражают свою искреннюю признательность.

Из-за того, что американское издание книги выходило в свет в отсутствие автора, в нем оказалось много опечаток. Автор проявил большой интерес к русскому изданию своей книги; он несколько раз любезно присылал «писки необходимых исправлений и поддерживал постоянный контакт с переводчиками в процессе их работы. Переводчики приносят автору большую благодарность за проявленное внимание.

А. М. Яглом, Р. Л. Добрушин.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Вероятностный процесс — это математическая абстракция реального процесса, течение которого управляется вероятностными законами. Изучение таких процессов велось за последние двадцать лет столь интенсивно, что в настоящее время многие ощущают острую потребность в пособии, систематически излагающем накопившиеся сведения; настоящая книга является попыткой удовлетворить эту потребность. Читатель должен быть предупрежден, что эта книга не охватывает всего предмета полностью и что особое внимание уделено в ней вопросам, наиболее привлекательным для автора.

Было бы абсурдным писать книгу о вероятностных процессах, не предполагающую у читателя знания основ теории вероятностей. К сожалению, однако, пока все еще не существует единого стандартного учебника, который можно было бы использовать для всех необходимых ссылок. Чтобы несколько восполнить этот пробел, в книге дается сравнительно подробное изложение основных определений и теорем, что, однако, еще не делает ее пригодной для первоначального ознакомления с теорией вероятностей даже для математически наиболее подготовленных читателей.

Невозможен никакой компромисс в вопросе о взаимоотношении теории вероятностей с другими разделами математики. Теория вероятностей — это просто одна из ветвей теории меры, отличающаяся особым вниманием к некоторым специальным понятиям этой теории и своей особой областью приложений; в настоящей книге не делается никаких попыток затушевать этот основной факт. Используя различные остроумные приемы, можно обойтись без интерпретации выборочных последовательностей и функций как обычных, известных из анализа, последовательностей и функций, и свести теорию вероятностей к изучению совокупности функций распределения. В течение короткого промежутка времени это был единственный известный способ строгого изложения некоторых частей предмета (таких, как, например, усиленный закон больших чисел). Однако такое изложение, приводящее к кажущемуся упрощению некоторых разделов теории, но зато и к искажению всей теории в целом, теперь не является уже больше необходимым.

Теория вероятностей — это, наверное, единственная математическая дисциплина, обладающая следующими особенностями: многие из ее даже наиболее элементарных теорем фактически опираются на весьма глубокие математические факты, но и они и даже многие из наиболее сложных теорем этой теории могут быть усвоены и использованы специалистами (статистиками и другими) без вникания в математические основы соответствующих доказательств. Любому строгому изложению теории вероятностей грозит поэтому обвинение в том, что оно излишне перегружено математическими тонкостями. Против этих обвинений у меня есть простая защита. Первоначальные варианты этой книги содержали много попыток обойтп те или иные математические идеп и тем самым облегчить изложение. Однако читатели этих ранних вариантов жаловались, что такие ухищрения сильно затемняют содержание книги. Поэтому все эти ухищрения были в конце концов ликвидированы. Введение дополнительных математических рассмотрений сделало целесообразным включение в книгу приложения, посвященного теории меры; в этом

приложении дается изложение тех вопросов теории меры, с которыми может быть незнаком рядовой читатель.

Литературные ссылки и исторические замечания сосредоточены в дополнении автора в конце книги. Каждому, кто почувствует себя незаслуженно обойденным в этом дополнении, заранее приносятся извинения вместе с заверениями, что он будет далеко не одинок и что невнимание к нему не было намеренным. Статьи и книги, указанные в дополнении, собраны в отдельной библиографии.

Хотя значительная часть материала, включенного в книгу, была переработана автором так, чтобы она лучше согласовалась с принятым здесь характером изложения, а другая часть материала нова, следует подчеркнуть, что даже там, где не делается ссылок на имеющуюся литературу, ни один из результатов не должен рассматриваться как новый, если только это прямо не сказано в дополнении. Вспомогательные результаты, как правило, даются без указания источников.

Глава XII, посвященсая теории линейного прогнозирования, занимает в книге несколько особое место, так как в ней изучаются вопросы довольно специального характера. Эта глава была включена в книгу из-за важности рассматриваемых в ней вопросов и из-за отсутствия относящейся сюда литературы, излагающей предмет на обычном языке теории вероятностей и легко доступной американскому читателю. Большую помощь мне принесли беседы по этим вопросам с Норбертом Винером.

Иллинойсскпй университет, Сентябрь 1952 г., Дж. Л. Дуб