§ 2. Задание вероятностной меры

Пусть семейство величин образует вероятностный процесс. Арифметические операции, производимые над переходы к пределу и рассмотрение верхних и нижней граней приводят к функциям от также являющимся случайными величинами (т. е. к измеримым функциям). Например, является случайной величиной, так как из равенства

следует, что стоящее в левой части равенства множество точек является суммой счетного числа измеримых множеств, а значит и само измеримо. (В случае, когда наименьшая верхняя грань может быть бесконечна, принимаются обычные дополнительные соглашения.)

Однако положение становится более сложным, если рассматривать несчетное семейство случайных величин, скажем семейство где -некоторый интервал. В этом случае равенству (2.1) соответствует

Так как в сумму справа входит несчетное число слагаемых, то это равенство не влечет за собой измеримости множества, стоящего слева, и, действительно, это множество, вообще говоря, оказывается неизмеримым. Продолжая это исследование, мы обнаруживаем, что вероятность того, что выборочные функции являются ограниченными, или непрерывными, или измеримыми, или интегрируемыми и т. д., может быть не определена, так как соответствующие -множества могут оказаться неизмеримыми. И, что еще хуже, если даже эти множества измеримы, то их меры не определяются единственным образом конечномерными распределениями. При заданных конечномерных распределениях меры этих множеств могут изменяться в широких пределах. Ото значит, что выбор -меры, который был сделан при ее первоначальном задании, может оказаться не тем выбором, который приводит к плодотворной теории.

В качестве примера рассмотрим следующий очень простой случай. Пусть множеством значений параметра является прямая линия — и конечномерные распределения определяются равенствами

В случае, когда конечное или счетное множество (и только в этом случае), отсюда следует, что

Пусть множество определяется условием

Для многих целей хотелось бы иметь возможность утверждать, что Однако в конце этого параграфа мы построим примеры, в которых множество неизмеримо; множество измеримо и множество измеримо и Конечно, желательным является только второй случай, но другие случаи нельзя исключить без применения каких-то новых критериев. Критерий сепарабельности, вводимый в следующем абзаце, представляется простейшим подходящим критерием.

Пусть действительный вероятностный процесс с множеством значений параметра, лежащим на прямой линии. Пусть А — какая-то система одномерных борелевских множеств. Процесс будет называться сепарабельным относительно А, если существуют последовательность значений параметра и -множество вероятности 0, такие, что если и если I — любой открытый интервал, то -множества

отличаются друг от друга самое большее на подмножество множества Второе из этих двух -множеств является, очевидно, измеримым -множеством, содержащим первое множество. При гипотезе сепарабельности первое множество также оказывается измеримым, хотя если несчетно, то в общем случае это не обязательно так. Укажем два наиболее важных частных случая.

(I) А является классом всех (конечных и бесконечных) замкнутых интервалов. Это наименьший класс множеств А, для которого полезно понятие сепарабельности, и в соответствии с этим мы будем говорить просто сепарабельный вместо сепарабельный относительно класса является классом всех замкнутых множеств.

Очевидно, сепарабельность относительно некоторого класса множеств влечет за собой сепарабельность относительно любого более узкого класса множеств. В этой книге нам понадобится лить сепарабельность относительно однако в некоторых вопросах необходима сапарабельность относительно более широкого класса множеств. Примеры будут даны ниже. В дальнейшем мы будем называть последовательность удовлетворяющей условиям определения сепарабельности (относительно некоторого заданного класса множеств А или относительно если класс множеств не указан), если существует -множество такое, что обладаю» свойством, входящим в определение сепарабельности.

Понятие сепарабельности можно очевидным образом обобщить на случайные величины, принимающие произвольные абстрактные значения. В частности, для случайных величин с комплексными значениями нужно лишь взять в данном выше определении в качестве А класс двумерных борелевских множеств. Мы будем называть процесс с комплексными случайными величинами х, сепарабельным, если сепарабельны (относительно процессы, образуемые действительными и мнимыми частями случайных величин Другими словами, в комплексном случае за минимальный класс множеств, соответствующий классу использованному в действительном случае, нужно взять класс всех замкнутых прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

Вернемся к случайным величинам с действительными значениями. В соответствии с определением сепарабельности относительного класса замкнутых интервалов, если обладает свойством, входящим в это

определение, и если то для любого открытого интервала

Очевидно и обратное; если существует -множество А такое, что и при и любом открытом интервале I выполнены равенства (2.2), то продесс является сепарабельным. Заметим, что для всех

так что если утверждение (2.2) выполнено, то оно остается выполненным и после добавления к любого множества значений Следовательно, сепарабельность означает, что для почти всех будет выполнено для любого достаточно большого счетного множества Мы можем, очевидно, заменить (2.2) условием

Так как правые части равенств (2.2) являются случайными величинами (т. е. измеримыми функциями от то в сепарабельном случае для любого открытого интервала I

также являются случайными величинами (с конечными или бесконечными значениями). В связи с примером, обсуждавшимся выше, заметим, что если при каждом значении параметра

то и для любой последовательности значений параметра

В частности, если процесс сепарабелен и если последовательность удовлетворяет условиям определения сепарабельности, то из предыдущего соотношения следует, что

Мы уже отмечали, что это утверждение неверно без каких-либо дополнительных гипотез, подобных сепарабельности.

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании сепарабелькых процессов, мы докажем три теоремы, на которые будем ссылаться в дальнейшем.

Теорема 2.1. Пусть действительный вероятностиый процесс.

(I) Если существует последовательность значений параметра такая, что для любого открытого интервала. I найдется -множество для которого при выполнено (2.2), то процесс сепарабелен и последовательность удовлетворяет условиям определения сепарабельности.

(II) Если процесс сепарабелен и если для некоторой последовательности значений параметра найдется система множеств

такая, что при любом и при выполнено (2.2), то последовательность удовлетворяет условиям определения сепарабельности. Чтобы доказать положим где интервалы с рациональными концами. Тогда и (2.2) будет выполнено при для каждого открытого интервала Последовательность удовлетворяет, таким образом, условиям определения сепарабельности. Докажем теперь утверждение -последовательность значений параметра, удовлетворяющая условиям определения сепарабельности, так что при где выполнено (2.2) с замененными на Тогда, если

Эти неравенства являются на самом деле равенствами, так как третий член в первой (второй) строке не может быть, очевидно, больше (меньше) первого. Таким образом, последовательность удовлетворяет условиям определения сепарабельности.

Теорема 2.2. Пусть сепарабельный вероятностный процесс, и пусть при каждом

(I) Если последовательность значений параметра является всюду плотной в то эта последовательность удовлетворяет условиям определения сепарабельности.

(II) Пусть I — конечный замкнутый интервал содержащий точки из редположим, что при каждом где в

разбиение становится при всюду плотным в Тогда если процесс действительный, то с вероятностью 1

(III) Если усилить условие теоремы, заменив предел по вероятности пределом с вероятностью 1, то и утверждение (II) можно усилить аналогичным образом.

В формзлпровке этой теоремы предполагается, что если одна из величин принимает с положительной вероятностью бесконечное значение, то определение предела по вероятности претерпевает очевидные видоизменения. А именно, мы условимся считать, что где у может принимать значения если Поэтому мы можем предположить, если это нужно при доказательстве, что случайные величины, образующие процесс, равномерно ограничены.

Заметим, в частности, что если каждое является одним из то минимум и максимум при возрастании меняются монотонно, так что в этом случае рассматриваемые пределы существуют, при предположениях (II), с вероятностью 1.

Справедливость (I) является очевидным следствием утверждения (II) теоремы 2.1. Докажем теперь второе из предельных соотношений (II). Не ограничивая общности, можно считать, что Пусть последовательность значений параметра, удовлетворяющая условиям определения сепарабельности. Мы предположим, что входят в и что эти конечные точки являются точками последовательности Мы будем предполагать также, что случайные величины, задающие процесс, равномерно ограничены. Тогда из условия теоремы следует, что для любого целого положительного и любого

Но в таком случае, если обозначить через величину, стоящую в этом соотношении под знаком предела, то

что и требовалось доказать. Чтобы доказать (III), предположим снова, что и заметим, что при условии, указанном в формулировке предложения (III), при каждом с вероятностью 1 выполняется неравенство

Следовательно, с вероятностью 1

Так как максимум, стоящий справа, при каждом больше величины, стоящей слева, то отсюда следует, что второе из доказываемых соотношений утверждения (III) справедливо. Первое из соотношений доказывается точно таким же образом.

В дальнейшем нам будет часто удобно использовать обозначения вместо и

Теорема 2.3. Пусть действительный сепарабельный вероятностный процесс и пусть предельная точка -множества Тогда существует последовательность точек из такаяг что и с вероятностью 1

Из этой теоремы следует, например, что если существует с вероятностью 1 для любой последовательности то, даже если исключительное -множество зависит от последовательности все равно предел существует с вероятностью 1, т. е. почти все выборочные функции имеют пределы при При доказательстве этой теоремы мы предположим, что входящие в условия теоремы верхний и нижний пределы конечны. Общий случай сводится к этому заменой на Возьмем теперь последовательность удовлетворяющую условиям определения сепарабельности, так что для птои последовательности (2.2) выполнено с вероятностью 1 для всех открытых интервалов

Выберем для каждого конечное число значений скажем удовлетворяющих условиям

Если совокупность всех значений упорядоченная в монотонную последовательность, то

Из этих предельных соотношений вытекает утверждение теоремы, так как входящие в эти соотношения верхние и нижние грани сходятся при к соответствующим верхним и нижним пределам.

Две предыдущие теоремы показывают фундаментальную важность понятия сепарабельности. Но мы еще не выяснили, насколько сильным ограничением на процесс является предположение о его сепарабельности. Если множество значений параметра счетно, то, очевидно, сепарабельность вовсе не является ограничением, так как в этом случае 8а последовательность удовлетворяющую условиям определения сепарабельности (относительно любого класса А), можно взять само множество Следующая лемма 2.1 является очень важной. Заметим, что при ее доказательстве не используется наше обычное предположение о том, что множество значений параметра принадлежит прямой лпнпи. Последующие рассмотрения могут быть поэтому обобщены на процессы с абстрактным множеством значений параметра, а также на процессы со случайными величинами, принимающими произвольные значения.

Лемма 2.1. Пусть вероятностный процесс. Тогда каждому одномерному борелевскому множеству А соответствует конечная или счетная последовательность такая, что

Более того, пусть конечный или счетный класс одномерных борелевских множеств и пусть А — класс множеств, являющихся пересечениями последовательностей множеств из Тогда существует конечная или счетная последовательность такая, что каждому соответствует -множество и

Покажем сперва, что из первого утверждения леммы вытекает ее второе, очевидно, более общее утверждение. Действительно, если верна первая часть леммы, то каждому соответствует некоторая последовательность значении параметра, для которой выполнено (2.3), и еслп последовательность является объединением всех этих последовательностей, то (2.3) выполнено при всех Далее, при том же выборе последовательности обозначим -множество, входящее в (2.3), через

и положим

Тогда, если то

и (2.4) вытекает из предположения о том, что А — это пересечение последовательности множеств из Перейдем теперь к доказательству первой части леммы. Пусть произвольная точка из Если уже выбраны, положим

Тогда Если то является искомой последовательностью. Если же то выберем в качестве какое-нибудь из значений для которого вероятность в правой части предыдущего равенства превышает Тогда, если при всех к, то

Так как -множества

не пересекаются, то их вероятности образуют сходящийся ряд, так что

Это равенство в соединении с предыдущим неравенством доказывает первую часть леммы.

Следующая теорема показывает, что сепарабельность относительно класса замкнутых множеств не является ограничением, наложенным на конечномерные распределения вероятностного процесса т. е. на совместные распределения вероятностей для конечных совокупностей величин На языке § 1 это означает, что условие сепарабельности относительно замкнутых множеств не является ограничением на вероятности множеств из поля Другими словами, это условие накладывается лишь на вероятности событий, связанных с несчетным числом величин Этот результат — лучшее, на что можно было надеяться.

Теорема 2.4. Пусть - вероятностный процесс с множеством значений параметра лежащим на числовой прямой. Тогда существует вероятностный процесс определенный на том же самом пространстве сепарабельный относительно класса замкнутых множеств, и такой, что

(здесь х, могут принимать значения

Заметим, что совместное распределение вероятностей для любой конечной совокупности величин совпадает с соответствующим распределением величин При каждом -множество имеет вероятность 0, но это -множество может зависеть от Если сумма таких -множеств по всем имеет вероятность 0, то и сам процесс х, сепарабелен относительно замкнутых множеств.

Мы дадим доказательство теоремы 2.4 для случая действительного процесса; для перехода к комплексному случаю понадобится лишь внести в это доказательство очевидные изменения. Пусть класс множеств на прямой, являющихся конечными суммами открытых или замкнутых

(не обязательно конечных) интервалов с рациональными концами. Пусть А — класс множеств, являющихся пересечениями последовательностей множеств из Тогда в А входят все замкнутые множества. Пусть любой открытый интервал с рациональными концами (может быть, и бесконечный). Мы применим предыдущую лемму к вероятностному процессу и только что определенным классам . В силу леммы существуют не более, чем счетное, множество и -множество такие, что

Положим

Пусть замыкание множества значений при фиксированном пробегающем множество . В множество могут входить значения Оно замкнуто, непусто, и

Следовательно, если положить

то это множество будет также замкнуто, непусто, и

Для любых и определим как

а при положим равным любому числу, входящему в Докажем теперь, что определенный таким образом процесс удовлетворяет условиям теоремы. Условие (2.5) выполняется очевидным образом. Пусть замкнутое множество. Предположим, что интервал, концами которого являются рациональные точки или точки и что некоторого

или, другими словами, Из нашего определения вытекает, что если то

Таким образом,

при всех Каждый открытый интервал может быть представлен в виде

где интервалы имеют концами рациональные точки или точки как приведенное выше равенство верно для то взяв пересечение по мы обнаружим, что оно верно и при Этим завершается

доказательство теоремы. Заметим, что мы не можем исключить бесконечные значения так как множество может не содержать ни одной, конечной точки. Однако если все значения заключены с вероятностью 1 в некотором борелевском множестве X, точнее, если

то функцию можно определить так, чтобы она принимала только значения из замыкания множества X на бесконечной прямой (здесь предполагается, что присоединением точек бесконечвая прямая превращена в компактное множество). Например, если X — конечный замкнутый интервал, то можно предположить, что все значения принадлежат этому интервалу и, следовательно, что х, принимает только конечные значения. Если X — множество положительных целых чисел, то областью значений х, будет множество, состоящее из положительных целых чисел и числа если только это последнее значение не исключается какими-либо дополнительными предположениями о распределениях рассматриваемых величин. И, конечно, во всех случаях при фиксированном величина х, принимает с вероятностью 1 конечные значения.

Мы закончим наше изучение сепарабельности некоторыми замечаниями о теоремах 2.1 и 2.2. В этих теоремах мы рассматривали лишь сепарабельность относительно класса замкнутых интервалов, и теперь уместно сказать несколько слов об обобщении этих теорем на случай сепарабельности относительно класса замкнутых множеств. Мы опустим детали, так как мы не будем использовать эти результаты в нашей книге. Пусть открытый интервал, вероятностный процесс некоторое, не более чем счетное, подмножество множества Пусть замыкание множества значений при и и пусть и определены вполне аналогично, с тем лишь отличием, что пробегает все множество По определению, удовлетворяет условиям определения сепарабельности относительно класса замкнутых множеств, если существует -множество такое, что и для любого открытого интервала I и любого замкнутого множества А два (-множества

отличаются на подмножество множества или, другими словами,

Оказывается (ср. теорему 2.1 (I)), можно ослабить это условие, разрешив множеству А зависеть от Если известно, что процесс селарабелев относительно класса замкнутых множеств, и если

то (ср. теорему 2.1 (II)) множество удовлетворяет условиям определения сепарабельности относительно класса замкнутых множеств. Отсюда следует, что теорема. верна и для сепарабельности относительно класса замкнутых множеств.

Пусть вероятностный процесс. Для того чтобы полностью использовать возможности, предоставляемые аппаратом теории меры, во многих случаях нужно предполагать, что определяет измеримую функцию от пары переменных Здесь за -меру берется лебегова мера за -меру — заданная вероятностная мера и за -меру — обычное произведение этих двух мер, предполагаемых независимыми. Выбор в качестве -меры лебеговой меры, а не какого-нибудь другого расширения меры борелевских множествах оси объясняется тем, что в

приложениях обычно интересуются обыкновенным интегралом Лебега от выборочных функций, а также свойствами вероятностных процессов, инвариантными относительно сдвигов оси Дадим поэтому следующее определение: вероятностный процесс называется измеримым, если множество значений параметра измеримо по Лебегу и определяет функцию, измеримую относительно пары переменных

Теорема 2.5. Пусть сепарабельный процесс и множество измеримо по Лебегу. Предположим, что существует -множество лебеговой меры такое, что

Тогда процесс измерим.

Определим как

Тогда величины образуют семейство случайных величин, причем всем лежащим в интервале соответствует одна и та же случайная величина. Следовательно, является соизмеримой функцией. Определим теперь аналогичные величины с той только разницей, что заменяется на Тогда

В силу предположений теоремы при каждом крайние члены этого неравенства сходятся с вероятностью 1 к его среднему члену. Так как эти крайние члены являются измеримыми функциями от то (по теореме Фубини) они имеют при почти всех общий предел, так же измеримый, как функция от Так как этот общий предел должен совпадать с то отсюда следует, что определяет измеримую по ( функцию, что и требовалось доказать.

Следующая теорема охватывает все специальные вероятностные процессы, изучаемые в этой книге. Ее значение будет обсуждено несколько ниже.

Теорема 2.6. Пусть процесс с измеримым по Лебегу множеством значений параметра Предположим, что существует -множество лебеговой меры такое, что

Тогда существует процесс определенный на том же самом пространстве Q, сепарабельный относительно класса замкнутых множеств, измеримый и такой, что

(Величины могут принимать значения

В соответствии с теоремой 2.4 можно без ограничения общности считать, что процесс сепарабелен относительно класса замкнутых множеств. Мы будем предполагать также, что множество ограничено и «то для всех общий случай может быть сведен к этому простыми преобразованиями. Пусть открытый интервал, и фиксировано. Обозначим через замыкание множества значений и положим

Пусть последовательность значений параметра, удовлетворяющая условию определения сепарабельности относительно класса замкнутых множеств. Заметим, что и что любой процесс удовлетворяющий условиям

также является сепарабельным относительно класса замкнутых множеств. При каждом положительном обозначим через значения расположенные в порядке возрастания. Положим в

Тогда является -измеримой функцией и в силу

Из этого предельного соотношения следует, что

и, следовательно,

Отсюда вытекает, что последовательность сходится по -мере и, следовательно, некоторая ее подпоследовательность сходится при почти всех к функции заданной в точках сходимости этой подпоследовательности и измеримой по мере По теореме Фубини существует подмножество множества имеющее лебегову меру 0, такое, что последовательность -функций сходится с вероятностью 1, если Мы можем предположить, что Тогда в силу (2.6)

Отметим, что, вообще говоря, функция определена не для всех Определим теперь Если определена и то положим Если же не определена или если то положим При таком определении

Далее, так как то При всех значение Поэтому, согласно замечанию, сделанному в начале доказательства, процесс сепарабелен относительно класса замкнутых множеств. Наконец, этот процесс измерим, так как при почти всех

Приведенное только что доказательство использует лишь тот факт, что (2.6) верно, когда и поэтому предположения теоремы могут быть соответствующим образом ослаблены. Однако в действительности теорема от этого не усилится. Если при каждом значении из некоторого множества значений параметра существует или то, как нетрудно показать (см. гл. VII, теорема 11.1), для всех точек этого множества, за исключением не более чем счетного числа точек, существуют оба эти предела и оба они равны

Следующая теорема дает нам типичный пример приложения понятия измеримости вероятностного процесса. Она обосновывает существование всех интегралов от выборочных функций, используемых в этой книге.

Теорема 2.7. Пусть измеримый вероятностный процесс. Тогда почти все выборочные функции зтого процесса являются измеримыми по Лебегу функциями от Если существует при то это математическое ожидание определяет измеримую по Лебегу функцию от Если А — измеримое по Лебегу множество значений параметра и

то почти все выборочные функции интегрируемы по Лебегу на множестве А.

По предположению, является измеримой функцией от Отсюда следует (по теореме Фубини), что определяет при почти всех измеримую функцию от т. е. что почти все выборочные функции измеримы по Лебегу, и что если существует, то оно является измеримой функцией от . В частности, всегда определяет измеримую по Лебегу функцию от хотя эта функция и не обязательно принимает только конечные значения. Второе предположение теоремы состоит в том, что конечен повторный интеграл от взятый сначала по а затем по Повторный интеграл, взятый в обратном порядке, также конечен, и интеграл

является поэтому конечным при почти всех Это значит, что почти все выборочные функции интегрируемы по Лебегу на множестве А, что и требовалось доказать. Так как неличина абсолютно сходящегося повторного интеграла не зависит от порядка интегрирования, то

Предположим, что измеримая и интегрируемая по Лебегу функция, определенная на конечном интервале Во многих случаях важно уметь аппроксимировать интеграл от суммами Римана

Ясно, что не всегда может служить хорошим приближением к интегралу, даже если мало, так как мы не предположили, что интегрируема по Риману. Однако мы увидим, что дает хорошее приближение к пптегралу при соответствующим образом выбранных Если а и если мы заменим на (мы предполагаем здесь, что и берем вместо если то мы получим новую сумму Римана Мы покажем, что если 3 мало, то для большинства (в смысле, который будет уточнен позже) значений сумма дает хорошее приближение к интегралу от Чтобы доказать это, положим

Тогда, легко видеть, отличаются друг от друга не более, чем тремя слагаемыми суммы, определяющей и одним слагаемым суммы, определяющей так что

(Мы считаем здесь, что что, разумеется, не является ограничением.) Мы докажем теперь, что

Это соотношение показывает, в частности, что при малых 5 мала мера множества тех значений для которых преобразованные не дают суммы Римана, хорошо аппроксимирующей интеграл Лебега. Перейдем теперь к доказательству (2.9). Пусть положительное число и непрерывная функция на отрезке такая, что

Тогда

Так как может быть выбрано произвольно малым, то (2.9) верно, если заменить в нем на а стало быть, учитыная (2.8), верно и в той форме, в какой оно приводится. В следующей теореме этот результат будет применен к вероятностным процессам.

Теорема 2.8. Пусть измеримый вероятностный процесс ( конечны). Тогда, в обозначениях предыдущего абзаца,

для всех измеримых и интегрируемых по Лебегу выборочных функций. Если почти все выборочные функции измеримы по Лебегу и интегрируемы, то для каждого можно выбрать числа скажем так, что

Первое утверждение теоремы является тривиальным следствием доказанного выше результата. Чтобы доказать второе утверждение, положим

Из (2.10) следует, что для любого лебегова мера множества значений при которых стремится к при о для почти нсех Отсюда вытекает, что -мера -множества, на котором стремится к нулю, так что

Поэтому, еслп о достаточно мало, то

на -множестве положительной меры. Следовательно, это неравенство выполнено при некотором наборе таких, что и некотором Совокупность значений может быть теперь выбрана как совокупность этих значений сдвинутых на величину Если, нв частности,

то нетрудно показать, что

Действительно, для этого нужно только заметить, что, как было сейчас показано, подинтегралъная функция этого двойного (по и по интеграла стремится к при по мере и что, как нетрудно показать, подинтегральные функции равкоиерно интегрируемы, так что законен переход к пределу под знаком интеграла.

Отметим, наконец, что если ныполнено (2.12) и если

то ооредняюшее интегрирование по в (2.10) и (2.13) становится излишним, так как при этих предположениях можно показать, что

Только что рассмотренные предельные соотношения позволяют определить как случайную величину, равную пределу (в соответстнуюшем смысле) сумм Римана. Однако при таком определении мы лишаемся полезной интерпретации интеграла, как обычного интеграла от каждой выборочной функции.

Пусть вероятностный процесс. В § 1 мы определили поле взмеримых -множеств, относительно которого измеримы все величины и в которое входят все подмножества содержащихся в нем множеств

вероятности 0. Конечномерные распределения задают меру множестн из но не определяют меры любого множества, не входящего в Пусть вероятностный процесс такой, что

я что для каждого множество значений при которых входит в Процесс удовлетворяющий этим условиям, мы будем называть в дальнейшем стандартной модификацией процесса Хотя мы и не оговаривали этого в формулировках теорем 2.4 и 2.6, однако, проглядев их доказательства, нетрудно убедиться, что процессы построенные в этих теоремах, являются стандартными модификациями процессов

Во многих случаях процесс можно заменить его стандартной модификацией. Эта замена не затрагивает конечномерные распределения, хотя поле может при этом измениться.

Если вероятностный процесс имеет две стандартные модификации то

и отсюда следует (по теореме Фубини), что для почти всех

для почти всех так что соответствующие выборочные функции с вероятностью 1 равны друг другу почти всюду. Таким образом, мы можем определить

как соответствующий интеграл для стандартной модификации заданного процесса; при этом полученная случайная неличина окажется однозначно ойределенной, если только пренебрегать ее значениями на -множестве вероятности 0. В дальнейшем такое определение будет иногда удобным.

Согласно теореме 2.4, любой процесс имеет сепарабельную стандартную модификацию. (Примеры несепарабельных процессов будут даны ниже.) Сепарабельность не является, таким образом, ограничением на конечномерные распределения. С другой стороны, если процесс имеет измеримое по Лебегу множество значений параметра то этот процесс автоматически оказывается измеримым, лишь если мера множества равна 0; если же имеет положительную лебегову меру, то измеримость процесса представляет собой некоторое ограничение, наложенное на конечномерные распределения. Мы приведем сейчас тривиальный пример неизмеримого процесса (с измеримым по Лебегу множеством значений параметра), не имеющего измеримых стандартных модификаций. Мы не будем налагать никаких ограничений на но предположим, что имеет положительную лебегову меру. Существует ограниченная функция зависящая от неизмеримая по Лебегу. Допустим, что конечномерные распределения определены равенством

При таком определении, если стандартная модификация процесса то и процесс х, не может быть измеримым, так как в противном случае, по теореме 2.7, было бы измеримо и Менее тривиальные примеры процессов, не имеющих измеримых стандартных модификаций, будут даны ниже.

При изучении свойства измеримости процесса с измеримым по Лебегу множеством значений параметра можно, не ограничивая общности, считать, что бесконзчная прямая Действительно, если это не так, то, положив при мы получим новый процесс с расширенным множеством значений параметра. Этот новый процесс измерим в том и только в том случае, когда измерим первоначальный процесс. Точпо так же измеримая стандартная модификация этого нового процесса существует тогда и только тогда, когда существует измеримая стандартная модификация первоначального процесса.

Итак, пусть некоторый вероятностный процесс. Положим при каждом с

Можно показать, что процесс х, имеет измеримую стандартную модификацию тогда и только тогда, когда существует значение с, для которого

при любом не входящем в некоторое множество лебеговой меры нуль (см. в приложении ссылку на эквивалентные результаты). Далее, можно показать, что из существования измеримой стандартной модификации всегда следует существование сепарабельной измеримой стандартной модификации. Заметим, что приведенное выше необходимое и достаточное условие является условием, наложенным на меры множеств т. е. на конечномерные распределения. Из этого условия следует, например, что если образующие процесс случайные величины взаимно независимы и имеют одинаковые распределения (не сосредоточенные в одной точке), то такой процесс не имеет измеримой стандартной модификации.

Пусть теперь вероятностный процесс, в котором -пространство — это пространство функций, а это координатная функция (как мы имели в § 1). Мы будем называть такие прэцзссы непосредственно заданными процессами (process of function space type). Процессы такого типа рассматриваются в литературе чаще всего, так как (см. гл. I, § 5) они могут быть определены просто заданием взаимно согласованного набора конечномерных распределений. Эти процессы обладают тем простым свойством, что для них точки основного пространства совпадают с выборочными функциями процесса. При изучении вероятностных процессов нельзя заранее предполагать, что все встречающиеся в рассмотрениях процессы являются непосредственно заданными процессами. Это положение можно иллюстрировать следующим примером. Предположим, что мы хотим, кроме основных случайных величин задающих процесс, рассматривать некоторые функции от скажем их квадраты, т. е. хотим рассматривать процесс Этот новый процесс уже не обладает тем свойством, что это выборочные функции процесса; он не является больше непосредственно заданным процессом, и, таким образом, даже в этом тривиальном случае оказывается необходимым использовать процессы других типов.

Несмотря на то, что предыдущий пример показывает, что нельзя рассматривать только непосредственно заданные процессы, поучительно все же посмотреть, как обстоит дело с понятиями сепарабельности и измеримости процесса в этом частном случае. Приводимые ниже рассуждения, в которых мы не будем давать полных доказательств, так как нам нигде впоследствии не прпдется использовать развиваемую здесь точку зрения,

показывают, как эти понятия могут быть изложены без перехода к другим типам процессов. Для этой цели нельзя использовать стандартные модификации, так как стандартная модификация непосредственно заданного процесса необязательно будет процессом того же типа.

При нашем изучении непосредственно заданных процессов мы будем применять обозначения, которые показывают явно область значений функции и класс измеримых множеств. Процесс это непосредственно заданный вероятностный процесс, в котором У — пространство всех функций с областью определения и областью значений класс измеримых множеств. В соответствии с ранее принятыми обозначениями через будет обозначаться наименьшее борелевское поле -множеств, относительно которого измеримы нее величины и через наименьшее борелевское поле -множеств, содержащее и такое, что входят все подмножества входящих в него множеств вероятности 0. Иногда нам придется предполагать, что X является замкнутым множеством точек на бесконечной прямой (или на плоскости в комплексном случае), и, говоря о таких замкнутых множествах, мы будем всегда считать, что бесконечная прямая пополвена прибавлением к ней двух «концов» и что плоскость является прямым произведением днух координатных осей, пополненных таким образом. Нас интересует вопрос о как, расширив борелевское поле получить класс измеримых -множеств, при котором процесс станет измеримым и сепарабельным. Можно показать, что если X — действительная прямая, с - любое действительное число и любое несчетное множество значений параметра (аналогичный факт можно доказать в предположении что X содержит по крайней мере дне точки) и если -множество

принадлежит классу то его вероятность равна 0. Отсюда следует, что если процесс сепарабелен (здесь X действительная прямая) и если последовательность значений параметра, удовлетворяющая условиям определения сепарабельности, и любой открытый интервал множества значений параметра, то

При некоторых заданиях конечномерных распределений вероятностей это соотношение будет выполнено, и рассматриваемый процесс может оказаться сепарабельным. Однако в наиболее интересных случаях это будет не так. Можно показать, что если множество X состоит не менее чем из днух точек, то процесс не будет измеримым ни при каком задании конечномерных распределений вероятностей. Эти факты указывают на необходимость попытаться расширить поле измеримых множеств. Метод, которым производится это расширение, будет описан в следующем абзаце.

Пусть некоторое -множество, имеющее внешнюю меру 1 относительно заданного поля измеримых множеств (это значит, что из соотношения следует, что Определим борелевское поле как класс всех -множеств представимых в виде

и для каждого такого А положим

Нетрудно показать, что определяется при таком задании однозначно и что

Вероятностный процесс с полем замененным на и мэрой замененной на называется стандартным расширением заданного процесса. Стандартное расширение зависит от выбора Заметим, что стандартное расширение процесса снова является непосредственно заданным процессом. Единственное отличие стандартного расширения от первоначального процесса состоит в том, что класс множеств -функций которым приписаны вероятности, является более широким. При таком подходе теореме 2.4 соответствует теперь

Теорема 2.4. Пусть непосредственно заданный процесс, причем X — замкнутое множество на бесконечной прямой (на плоскости в комплексном случае). Тогда сугцгствует стандартное расширение процесса, которое сепарабелъно относительно замкнутых множеств.

Мы опустим доказательство этой теоремы. (По существу эта теорема совпадает с теоремой 2.4.)

Проблема измеримости также решается вполне удовлетворительным образом. А именно, можно доказать следующую теорему.

Теорема 2.9. Пусть непосредственно заданный процесс, причем X — замкнутое множество на бесконечной прямой (на плоскости в комплексном случае), и множество измеримо по Лебегу. Тогда сепарабельное и измеримое стандартное расширение этого процесса существует в том и только в том случае, когда существует его измеримая стандартная модификация.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Мы закончим обсуждение непосредственно заданных процессов применением наших результатов к одному почти тривиальному примеру, уже рассматривавшемуся в начале этого параграфа. Пусть непосредственно заданный процесс с полем определенным так же, как и выше. Предположим, что

Ейли область X значений функции состоит из одной точки 0, то пространство функций 2 состоит из единственной функции, тождественно равной нулю. В этом случае

и процесс сепарабелен и измерим. Если содержат еще хотя бы одну точку, то процесс не является ни сепарабельным, ни измеримым и вероятность

не определена. Эта вероятность будет определена и равна 1 для каждого сепарабельного стандартного расширения процесса. Лзгко видеть, что в качестве (в-множества при помощи которого определялось стандартное расширение процесса, можно выбрать множество, состоящее из одной функции, тождественно равной нулю. При таком расширении процесс станет сепарабельным. По теореме 2.5 любое сепарабельное стандартное расширение нашего процесса измеримо. Однако можно получить другое стандартное расширение процесса, заменив только что использованное множество его дополнением.

При таком определении

Это стандартное расширение не является ни сепарабельным, ни измеримым. Приведенный пример показывает несколько произвольную природу стандартного расширения и необходимость новых критериев, таких, как сепарабельность, помогающих в выборе расширения. В этом отношении ситуация здесь такова же, как и в случае стандартных модификаций процесса. Там также должны быть использованы новые критерии, вроде сепарабельности, для выбора стандартной модификации.

Пусть 2 - пространство, на множествах которого определена вероятностная мера и пусть случайная величина с функцией распределения Предположим, что распределение, определяемое функцией не сосредоточено в одной точке. Положим Тогда мы можем рассматривать случайную величину как функцию от случайной величины х. Это, конечно, тривиально. Однако если у — случайная величина, заданная на некотором множестве и тождественно обращающаяся в нуль, то не всегда можно написать где х имеет функцию распределения по той простой причине, что может не существовать ни одной такой случайной величины х, определенной на 2. Например, если 2 состоит ровно из одной точки (которой, как точечному множеству, приписана вероятность 1), то ясно, что распределение каждой случайной величины, заданной на , сосредоточено в одной точке. Для того чтобы преодолеть трудности, подобные только что разобранным и возникающие, когда пространство 2 и вероятностная мера слишком просты по структуре для рассматриваемой задачи, мы определим следующим образом расширение при помощи присоединения. Пусть пространство множеств, на котором определена вероятностная мера Определим , как пространство пар и определим вероятностную меру на обычным образом, как произведение мер на и , считая эти меры независимыми, так что если измеримое -множество и измеримое -множество, то

Каждому соответствует некоторое -множество — множество точек с заданной первой координатой. Это соответствие переводит измеримые -множества в измеримые -множества той же самой вероятности. Любую случайную величину х, определенную на 21, также можно рассматривать как случайную величину, определенную на причем х будет иметь ту же функцию распределения. Если на пространстве был определен вероятностный процесс, то в результате нашего преобразования мы получим вероятностный процесс с теми же самыми конечномерными распределениями, свойствами сепарабельности и измеримости и т. д., определенный на пространстве . Мы будем говорить, что новый процесс получается присоединением к Разобранный метод присоединения является, конечно, тем же самым методом, который применяется при изучении независимых исрытаний и приводит к пространству и вероятностной мере более тонкой структуры, чем первоначальные. Например, если единичный интервал и вероятностной мерой на является лебегова мера, то на , а следовательно и на , будут существовать случайные величины со всевозможными функциями распределения.