§ 5. Обобщение стохастического интеграла, введенного в § 2

Пусть вероятностный процесс, — функция от от Стохастические интегралы вида

многократно используются в этой книге. При этом каждый раз предполагается, что процесс является процессом некоторого специального типа и что функции принадлежат некоторому линейному классу функций, зависящему от заданного процесса а в качестве множеств А берутся множества из некоторого специального класса -множеств. Общий принцип, используемый при определении стохастического интеграла, состоит в следующем. Всегда предполагается, что является интервалом, быть можег бесконечным. В простейшем случае, когда ступенчатая функция, стохастический интеграл определяется при помощи задаваемой естественным образом суммы Римана—Стильтьеса. Для и произвольной функции стохастический интеграл определяется затем при помощи предельного перехода. Наконец, интеграл по произвольному множеству А определяется равенством

где

Подобное построенпе было уже проделано в § 2. Случай, рассматриваемый в настоящем параграфе, тесно свнзан со случаем, рассмотренным в § 2. Мы будем считать здесь, что Обобщение на другие совершенно очевидно. Мы примем следующие предположения.

Процесс является мартингалом (см. § 1 гл. VII). Существует монотонно неубывающая функция такая, что при с вероятностью 1

В частности, если если процесс действителен и если почти все выборочные функции процесса непрерывны, то (согласно теореме 11.9 гл. VII) процесс будет процессом брауновского движения. Этот частный случай является наиболее важным.

12. Функция измерима относительно меры При каждом фиксированном функция измерима по относительно поля Наконец,

Стохастический интеграл

будет определен так, чтобы для интегралов соответствующих подинтегральным функциям удовлетворялись соотношения

Эти соотношения обобщают равенство (2.13), к которому они сводятся, если зависят только от Из предположения следует, что процесс имеет ортогональные приращения. Стохастический интеграл, определяемый в этом параграфе, с одной стороны, является более общим, чем интеграл, определенный в § 2, так как теперь под интегральная функция может зависеть как от так и от однако, с другой стороны, он является менее общим, так как теперь предполагается, что это мартингал, а в предполагалось лишь, что процесс с ортогональными приращениями.

Мы будем использовать в дальнейшем следующий факт, не оговаривая его каждый раз особо. Если функция, измеримая относительно поля и если то (в предположении при

и

Для того чтобы доказать (5.3) и (5.4), заметим, что если верно (5.3), то в. силу неравенства Шварца

и, следовательно,

Таким образом, первое из соотношений (5.4) выполнено, и второе доказывается точно так же. Нам остается только показать, что при должно выполняться условие (5.3). Чтобы сделать это, положим

Тогда (5.3) будет верно с замененным на так что в сплу уже доказанного

При из этого соотношения вытекает (5.3).

Мы определим теперь стохастический интеграл (5.1). Предположим сперва, что функция имеет вид

где функция измерима относительно Любую такую функцию мы будем называть -ступенчатой функцией. В этом случае мы положим

Точнее говоря, мы будем называть интегралом любую случайную величину, равную почти всюду сумме, стоящей справа. При этом интеграл определяется по функции однозначно с точностью до -множества меры 0, и для наших интегралов имеют место соотношения (5.2). Мы получаем тем самым соответствие между -измеримыми ступенчатыми функциями и некоторыми случайными величинами при котором линейным комбинациям функций отвечают соответствующие линейные комбинации величин Если определить расстояние между парами функций удовлетворяющих условию 12, и между парами случайных величин при помощи формул

то из соотношения (5.2) будет следовать, что наше соответствие сохраняет расстояние.

Далее, так же как и в § 2, если является пределом (в смысле расстояния, введенного для функций последовательности -ступенчатых функций, то мы определим стохастический интеграл (5.1) как предел (в смысле расстояния, введенного для величин т. е. в смысле сходимости в среднем) соответствующих интегралов. Ясно, что при таком определении условие (5.2) будет всегда выполняться. Остается только доказать, что в замыкание класса -ступенчатых функций входят все функции, удовлетворяющие условию 12, т. е. доказать, что если класс функций, удовлетворяющих условию и допускающих сколь угодно точную (в смысле расстояния аппроксимацию при помощи -ступенчатых функций, то в 231 входят все функции, удовлетворяющие условию 12. Перейдем к доказательству этого утверждения. Мы можем записать функцию в виде

где монотонно неубывающая функция, возрастающая только скачками в точках являющихся точками разрыва функции монотонно неубывающая непрерывная функция. Мы будем предполагать в дальнейшем, что Если вначале это было не так, то при помощи замены переменного всегда можно перейти к такой функции (Если функция ограничена, то после такой замены мы придем к интегралу с конечными пределами, но это не потребует изменений в наших рассуждениях. В том случае, когда преобразование от не является взаимно однозначным, нужио сделать очевидные дополнительные оговорки.) Мы докажем сперва, что если при заданном к функция измерима относительно поля и то функция от определенная равенством

входит в класс Мы докажем это утверждение, построив последовательность -ступенчатых функций, сходящуюся смысле -расстояния.

В самом деле, функция определенная равенством

является -ступенчатой функцией и

Множество функций является линейным многообразием. Следовательно, конечные суммы функций рассмотренного выше типа также входят в Так как замкнуто в смысле -расстояния, то функция определенная равенством

также входпт в если каждая из функций измерима относительно поля и если

Всамом деле, такая функция является пределом в смысле -расстояния конечных сумм функций рассмотренного выше типа. Мы доказали, таким образом, что в входят все функции удовлетворяющие условию и обращающиеся в нуль при Предположим теперь, что функция непрерывна, так что и докажем, что если удовлетворяет условию , то Очевидно, это утверждение достаточно доказать для ограниченных функций обращающихся в нуль вне некоторого конечного интервала значений параметра Предположим, что обладает этими свойствами. Положим

Тогда является -ступенчатой функцией, и нам достаточно показать, что точку можно выбрать так, чтобы выполнялось соотношение

Чтобы сделать это, мы докажем сперва, что если -любая ограниченная измеримая по Лебегу функция от обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала, то

В самом деле, для каждого существует непрерывная функция обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала, для которой

Используя неравенство Минковского, мы получаем отсюда

что и доказывает (5.5). В соответствии с (5.5) для почти всех

Значит, при каждом для почти всех

Следовательно,

т. е. подынтегральная функция при сходится к в среднем по -мере. Но тогда существуют последовательность целых чисел и значение 5 таете, что

что и требовалось доказать.

Мы показали таким образом, что если функция непрерывна, то в класс функций входят все функции удовлетворяющие условию ; кроме того, раньше мы показали, что при любой функции класс содержит все функции удовлетворяющие условию 12 и обращающиеся в нуль вне точек разрыва функции Эти два результата можно скомбинировать следующим образом. Пусть функция удовлетворяет условию I,. Положим

Тогда обе функции удовлетворяют условию 12 и

так как эта функция обращается в нуль при Остается показать, что функция удовлетворяющая условию обращающаяся в нуль при также входит в Мы уже показали, что существует последовательность функций входящих в более того, являющихся -ступенчатыми функциями), такая, что

Если мы видоизменим каждую из функций положив ее равной О при то видоизмененная функция все еще будет входить в и мы будем иметь

Следовательно, что требовалось доказать.

Определение интеграла (5.1) теперь закончено. Мы определили этот интеграл сначала для функций являющихся -ступенчатыми функциями, а затем распространили это определение на все функции, являющиеся пределами -ступенчатых функций в смысле расстояния Мы показали, что в полученный таким образом класс функппй, имеющих интегралы, входят все функции, удовлетворяющие условию . В действительности, этот класс функций является даже несколько более широким. Стохастический интеграл по любому борелевскому -множеству пли по -множеству, измеримому относительно меры можно определить, положив подинтегральную функцию равной вне этого множества. Отметим, что из использованного здесь метода определения интеграла следует, что стохастический пнтеграл определен лишь с точностью до -множества меры 0, т. е. что любой подинтегральной функции соответствует целое семейство интегралов, из которых каждые два совпадают при почти всех

Если функция на самом деле зависит лишь от одного то наш интеграл сводится к интегралу, определенному в § 2. Однако, как мы видели в § 2, в этом частном случае наш метод доказательства требует лишь, чтобы процесс имел ортогональные приращения.

В частном случае, когда подинтегральная функция обращается в нуль всюду, кроме точек множества разрывов функции стохастический пнтеграл, как легко видеть, равен

где ряд (если число точек бесконечно) сходится в среднем. И вообще, при вычислениях удобно пользоваться тем, что если если функция определена равенством

и функция непрерывна в точках то

Пример. Пусть Мы хотим вычислить для двух различных процессов интеграл

В каждом из этих частных случаев так что последний член в (5.6) имеет вид

Следовательно, если мал, то стохастический интеграл от функции будет близок к интегралу от Первый из этих интегралов нетрудно вычислить, так как функция является ступенчатой функцией, и поэтому

Положив находим отсюда, что

Заметим, что формальное интегрирование дало бы лишь первый из этих двух членов. Предположим теперь, что где является пуассоновским процессом (см. § 4 гл. VIII) со средней плотностью числа событий 1, так что

Тогда с вероятностью 1 и с вероятностью, стремящейся к 1 при любые два соседних члена этой конечной последовательности отличаются друг от друга не больше чем на 1. Отсюда следует, что при почти всех

(если рассматривать лишь точки I, из некоторого счетного множества). Следовательно, здесь

В качестве второго примера предположим, что процесс брауновского движения (см. § 2 гл. VIII) с дисперсионным параметром 1. Тогда соотношения (5.7) снова выполняются, а соотношение (5.8) надо заменить в соответствии с теоремой 2.3 гл. VIII соотношением

так что интересующий нас стохастический интеграл равен в этом случае

Рассмотрим теперь процесс определенный равенством

Этот процесс определен не однозначно в том смысле, что при каждом величина определена лишь с точностью до ее значений на (-множестве вероятности 0, и, следовательно, мы можем при каждом произвольно изменять значение на -множестве меры 0. В соответствии с теоремой 2.4 гл. II эта свобода выбора дает возможность определить так, чтобы процесс был сепарабельным.

Теорема 5.1. Процесс определяемый равенством (5.9), всегда является мартингалом.

Пусть некоторое фиксированное число. Мы показалп, что существует последовательность -ступенчатых функций такая, что

Стохастический интеграл определенный равенством

является просто конечной суммой, и при любом фиксированном

так как

Далее, из вида суммы, определяющей следует, что при вероятностью 1

т. е.

При в это соотношение переходит в

так что с вероятностью 1

Последнее равенство означает, что процесс является мартингалом.

Теорема 5.2. Стохастический интеграл (5.9) можно определить при каждом так, чтобы процесс был сепарабельным мартингалом. Почти все выборочные функции этого процесса будут иметь тогда во всех точках односторонние пределы. Фиксированными точками разрыва процесса являются точки разрыва функции Если почти все выборочные функции процесса непрерывны, то будут также непрерывными и почти все выборочные функции сепарабельного процесса

Нам осталось доказать только два последних утверждения теоремы. Так как

то фиксированные точки разрыва процесса должны быть точками разрыва функции Если почти все выборочные функции процесса непрерывны, то должна быть непрерывна также и функция Это следует из того, что

В этом случае в соответствии с теоремой 11.9 гл. VII после замены временного параметра процесс становится процессом брауновского движения. Для доказательства того, что здесь непрерывны почти все выборочные функции (сепарабельного) процесса заметим, что это утверждение очевидно, когда является -ступенчатой функцией; после этого доказательство сделанного утверждения в общем случае может быть проведено при помощи аппроксимации заданной функции ступенчатыми функциями. Ясно, что интересующее нас утверждение достаточно доказать для значений заключенных в конечном интервале Пусть это -ступенчатая функция, для которой

Зададим процесс при помощи равенства

Тогда

так что процесс является мартингалом, причем соответствующим выбором при каждом можно добиться, чтобы процесс был сепарабельным. Следовательно, согласно варианту теоремы 2.1 гл- III для случая непрерывного параметра (или в соответствии с теоремой 3.2 гл. VII), примененному к процессу

Так как в правой части последнего неравенства стоит член сходящегося ряда, то из леммы Бореля — Кантелли (гл. III, теорема 2.1) следует, что для всех достаточно больших с вероятностью 1

Отсюда вытекает, что с вероятностью 1 выборочные функции процесса равномерно сходятся к выборочным функциям процесса что и доказывает искомый результат.

Для некоторых приложений к гл. VI желательно обобщить данное выше определение стохастического интеграла (5.1) при условии, что функция абсолютно непрерывна, на более широкий класс процессов Условие мы заменим условием

Процесс является мартингалом, причем для всех

существует неотрицательная функция измеримая относительно меры и такая, что при каждом фиксированном функция измерима по относительно поля что при

и. с вероятностью 1

Условие мы заменим условием функция измерима относительно меры При каждом фиксированном функция измерима по относительно поля Наконец,

В частном случае, когда функция зависит только от введенные предположения сводятся к и I, с

Мы опишем теперь определение стохастического интеграла (5.1) при наших новых предположениях. При этом потребуются лишь несущественные изменения. Так, (5.2) надо заменить на

Расстояние между функциями используемое при определении интеграла, надо задать как

Новые -ступенчатые функции определяются аналогично старым с тем, однако, отличием, что в обозначениях первоначального определения предположение об интегрируемости заменяется предположением о том, что

При доказательстве того, что любая функция удовлетворяющая условиям может быть сколь угодно близко (в смысле нового расстояния) аппроксимирована новымн -ступенчатыми функциями, мы можем, не ограничивая общности, предположить, что функция ограничена, и что она обращается в вне конечного интервала Тогда функция удовлетворяет условию 12 и, следовательно, существует последовательность -ступенчатых (в первоначальном смысле) функций таких, что

Далее, проведенное выше обсуждение показывает, что мы можем предположить, что Тогда сходится к по мере так что сходится по мере к 0, и эту последнюю последовательность можно мажорировать интегрируемой по мере функцией Следовательно,

а это и есть искомый результат об аппроксимировании. Теоремы 5.1 и 5.2 остаются в силе, и метод их доказательства не требует никаких изменений. В теореме 5.2 теперь не нужно, конечно, рассматривать фиксированные точки разрыва.

Заметим, наконец, что если положить

то в соответствии с теоремой 5.1 процесс кбудет мартингалом, с вероятностью 1

где

Таким образом, процесс и функция удовлетворяют тем же самым предположениям, что и процесс и функция Это означает, что мы можем рассматривать стохастические интегралы вида

Далее,

так как это равенство верно, когда является -ступепчатой функцией. В частности, если фупкцпя по обращается в пли обращается

в не более, чем на множестве -меры О, то

Рассмотрим теперь следующий вопрос: какие процессы можно представить в виде (5.9), если является процессом брауновского движения. Как мы уже впдели, не будет ограничением предположить, что определенный таким образом процесс сепарабелен. Если мы предположим, что процесс брауновского движения имеет дисперсионный параметр 1, то мы найдем, что при с вероятностью 1

Далее, в соответствии с теоремой 5.2 почти все выборочные функции процесса непрерывны. Следующая теорема показывает, что двух этих условий также достаточно для того, чтобы процесс мог быть представлен в требуемом виде.

Теорема 5.3. Пусть мартингал, обладающий следующими свойствами:

(II) Почти все выборочные функции процесса непрерывны на отрезке

(III) Существует неотрицательная функция измеримая относительно меры и такая, что при любом фиксированном измерима относительно поля и что при соотношение (5.10) выполняется с вероятностью 1. Тогда, если функция почти нигде на пространстве не обращается в нуль, то существует процесс брауновского движения такой, что при каждом с вероятностью 1

Без дополнительного предположения о необращении в нуль функции утверждение теоремы остается верным после присоединения к процессу процесса брауновского движения.

О понятии присоединения к заданному процессу другого процесса см. в § 2 гл. II. В качестве тривиального примера того случая, когда необходимо ткое прпсоединенпе, рассмотрим -пространство, состоящее одной точки, и положим при всех Предположения нашей теоремы в этом примере, конечно, выполнены и Очевидно, здесь не существует процесс брауновского движения так как наше -пространство имеет слишком простую структуру для того, чтобы на нем можно было определить такой процесс.

В силу предположений теоремы мы можем определить процесс равенством

(положив при Процесс является мартингалом, и при с вероятностью 1

В частности, если функция вообще нигде не обращается в нуль или если она не равна нулю почти всюду по то отсюда следует, что правая часть этого соотношения равна Далее, согласно теореме 5.2, можно определить процесс так, чтобы почти все его выборочные функции были непрерывны. Следовательно, по теореме 11.9 гл. VII процесс является процессом брауновского движения, и обращение формулы, определяющей дает (5.11). Если функция может обращаться в нуль, то правая часть предыдущего соотношения уже не равна и поэтому использованные выше рассуждения неприменимы. Предположим, однако, что существует процесс брауновского движения такой, что при с вероятностью 1

Такой процесс можно всегда получить посредством присоединения. Положим

выбрав интегралы так, чтобы процесс был сепарабельным. Тогда по теореме 5.2 процесс будет иметь непрерывные выборочные функции. Далее, так как то, используя выведенные выше правила обращения со стохастическими интегралами, находим, что

Теперь легко проверить следующие соотношения (выполняющиеся с вероятностью 1):

и

Далее, из (5.14) следует, что с вероятностью 1

и из (5.12) вытекает, что первый из этпх интегралов равен нулю. Наконец, процесс является процессом брауновского движения, так как (см. теорему 11.9 гл. VII) почти все его выборочные функции непрерывны и верно (5.13). Таким образом, соотношение (5.15) сводится к (5.11).