§ 2. Процесс брауновского движения

Процесс брауновского движения был определен в § 9 гл. II. Так называется действительный процесс [в качество выбирается обычно некоторый интервал, чаще всего интервал или имеющий независимые гауссовские приращения, у которого

где с — положительная постоянная. Этот процесс является очень важным как из-за той центральной роли, которую он играет в теории стационарных гауссовских процессов (см. гл. X и XI), так и из-за его многочисленных физических приложений.

В дальнейшем мы будем пользоваться неравенством

Теорема 2.1. Для сепарабелъного процесса брауновского движения

Предположим, что Тогда в соответствии с теоремой 2.2 гл. III

Выбирая последовательность все более плотной и переходя к пределу, получим в силу теоремы 2.2 гл. II

Чтобы доказать обратное неравенство, положим тогда, применяя вторую половину теоремы 2.2 гл. III, получим, что при каждом

Теорема 2.2. Почти все выборочные функции сепарабелъного процесса брауновского движения являются непрерывными функциями.

Предположим, для определенности, что областью значений параметра является интервал Мы докажем, что, за исключением -множества вероятности 0, при достаточно больших

Используя теорему 2.1, находим, что

Правая часть последнего неравенства является членом сходящегося ряда; следовательно, по лемме Бореля — Кантелли, с вероятностью 1 интересующее нас событие произойдет лишь конечное число раз. Отсюда вытекает, что с вероятностью 1 указавная верхняя грань не превосходит при достаточно большом Таким образом, верно неравенство (2.5), которое показывает (при соответствующем выборе и что почтп все выборочные функции равномерно непрерывны в каждом конечном интервале изменения

Проведенное нами доказательство непрерывности выборочных функций использует оценку вероятности даваемую теоремой 2.1. В действительности нам здесь была нужна лишь верхняя граница для этой вероятности, т. е. лишь одна половина теоремы 2.1, а именно неравенство (2.3). Допустим, что нам известно только неравенство (2.3), а не (2.3). Доказательство теоремы 2.2 не потребует при этом никаких изменений. Если уже доказана непрерывность выборочных функций, то, используя так называемый принцип отражения Дезире Андре, легко вычислить вероятность (2.3), а также и другие аналогичные величины. Чтобы проиллюстрировать этот метод, мы выведем равенство (2.3), используя только непрерывность выборочных функций.

Очевидно,

(мы можем писать в этом равенстве вместо так как с вероятностью 1 выборочные функции непрерывны). С другой стороны, рассмотрим непрерывные выборочные функции, удовлетворяющие условиям

Если наименьшее значение при котором то поведение функции после момента не зависит от ее поведения до момента и поэтому одинаково вероятно, что приращение функции после момента будет положительно или отрицательно) мы не изменим распределение вероятностей, отразив при выборочные функции относительно прямой Это значит, что

Складывая (2.6) и (2.8), получаем (2.3). Доказательство остается, конечно, неполным, пока не уточнено утверждение, выделенное курсивом. На самом деле, однако, рассмотрение, проведенное в предположении, что пробегает дискретный ряд значений дает в пределе (при ) точный результат так что при желании утверждение, выделенное курсивом, можно считать сокращенной записью рассуждения, основанного на указанном предельном переходе; поэтому можно обойтись без разбора деликатных вопросов, связанных с точным обоснованием утверждения, выделенного курсивом.

Хотя (почти все) выборочные функции сепарабельного процесса брауновского движения являются непрерывными, они устроены на самом деле очень нерегулярным образом. Например, мы сейчас покажем, что при любом фиксированном с вероятностью 1

Другими словами, при каждом с вероятностью 1 почти все выборочные функции имеют бесконечные верхние производные. Это означает (так как по теореме 2.5 гл. II наш процесс измерим), что для почти всех выборочных функций их верхние производные равны во всех точках, за исключением некоторого множества лебеговой меры 0. Разумеется, это исключительное множество значений меняется при переходе от одной выборочной

функции к другой. Чтобы доказать соотношение (2.9), предположим, что X — некоторое положительное число, и рассмотрим вероятность

Достаточно доказать, что эта вероятность стремится к а это следует из того, что

так как величина имеет при любом 8 нормальное распределение со средним и дисперсией

Мы можем привести и еще более поразительные факты о нерегулярном характере выборочных функций процесса брауновского движения. Пусть любая фиксированная непрерывная функция от и пусть Тогда

Следовательно, если функция непрерывна на интервале и если сумма, стоящая справа, ограничена постоянной, не зависящей от т. е. если функция имеет ограниченную вариацию (говоря геометрически, если ее график имеет конечную длину), то стоящая слева сумма стремится к при Согласно следующей теореме, для почти всех выборочных функций нашего процесса эта сумма не стремится к нулю, и поэтому почти все выборочные функции процесса брауновского движения имеют неограниченную вариацию.

Теорема 2.3. Пусть процесс брауновского движения, и - последовательность точек, всюду плотная в интервале Пусть это точки расположенные в порядке возрастания, так что Тогда с вероятностью 1

а это предельное равенство выполняется также и в смысле сходимости в среднем.

Действительно, пусть сумма, стоящая слева. Предположим сперва, что это соответственно точки и Точки получаются тогда добавлением точки между двумя из точек Мы покажем, что последовательность случайных величин (обратите внимание на порядок) образует мартингал. Достаточно показать, что для любой пары положительных целых чисел типе вероятностью 1

т. е. с вероятностью 1

Мы опустим подробный вывод этого факта, основанный на соображениях симметрии, и проведем доказательство лить для (ясно, что если наше

соотношение верно при то оно будет верно при Имеются две возможности: или точки попадают в один и тот же интервал или в разные интервалы. В обоих случаях применяется один и тот же метод, и мы рассмотрим поэтому лишь первую возможность. В этом случае соотношение (2.10) вытекает из следующего утверждения: пусть взаимно независимые случайные величины, причем первые три величины имеют гауссовское распределение с нулевым средним значением; тогда с вероятностью 1

Чтобы доказать соотношение (2.11), заметим, что из соображений симметрии с вероятностью 1

Но так как величина не зависит от величин то, следовательно, с вероятностью 1

и (2.11) получается, если взять от обеих частей равенства (2.12) условные математические ожидания относительно условий, используемых в (2.11). [Дело в том, что эти условия менее ограничительны, чем условия, фигурирующие в (2.12).]

Так как последовательность случайных величин образует мартингал, то с вероятностью 1 существует предел (см. теорему 4.2 гл. VII). Чтобы показать, что этот предел равен мы покажем, что числу равен соответствующий предел в среднем. В самом деле,

Мы закончили, таким образом, доказательство теоремы в том частном случае, когда . В общем случае положим

Мы показали только то, что с вероятностью 1

Так как с вероятностью 1

то мы получаем отсюда и утверждение нашей теоремы в общем случае.