§ 7. Мартингалы

Вероятностный процесс называется мартингалом, если при всех каковы бы ни были с вероятностью 1

Приведенное определение — это определение в узком смысле, и слово «мартингал» всегда будет означать мартингал в узком смысле. Вероятностный процесс, образованный случайными величинами называется мартингалом в широком смысле, если при всех каковы бы были вероятностью 1

Пользуясь правилами оперирования с (вывод этих правил для см. в § 3 гл. IV), легко проверить, что последовательность случайных величин является мартингалом тогда и только тогда, когда и с вероятностью 1

и мартингалом в широком смысле тогда и только тогда, когда и с вероятностью 1

Если определить как

то в случае, когда процесс является мартингалом, всегда и с вероятностью 1

Величины являются частными суммами ряда величины удовлетворяют условию (7.3). Обратно, частные суммы любого такого ряда образуют мартингал. Если процесс является мартингалом в широком смысле, то соответствующее свойство случайных величин у. состоит в их взаимной ортогональности.

Процессы удовлетворяющие условию (7.3), представляют самостоятельный интерес и заслуживают дальнейшего изучения. Условие (7.3) является промежуточным между условием независимости и условием некоррелированности величин Действительно, условие некоррелированности величин состоит в том, что

Условие (7.3) может быть переформулировано следующим образом: для любой ограниченной беровской функции

А это, конечно, сильнее, чем некоррелированность (из (7.3) следует С другой стороны, условие независимости эквивалентно еще более сильному условию: для любой из определенных выше функций и любой ограниченной беровской функции

В определении марковского процесса используются в некотором смысле более сильные ограничения, чем в определении мартингала, так как Марков скоэ свойство относится к распределениям вероятностей, а не к математическим ожиданиям; с другой стороны, марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Пример 1. Пусть любые случайные величины такие, что

Тогда, если положить

то процесс будет мартингалом. Действительно, с вероятностью 1

Поэтому, поскольку величины измеримы относительно семейства величин то с вероятностью 1

Взяв от обеих частей (7.8) условные математические ожидания относительно , мы получим (7.2).

Аналогичный пример мартингала с непрерывным параметром получается при

где и произвольные случайные величины, если не считать требования

Если заменить в рассмотренном примере на то возникающие процессы будут мартингалами в широком смысле; наше доказательство при этом остается в силе.

Пример 2. Если случайные величины можно представить в виде

где взаимно независимы и то процесс будет мартингалом (если то он будет также мартингалом в широком смысле). Это частный случай изученного выше общего вида мартингала с дискретным параметром. Аналогичный пример с непрерывным параметром будет рассмотрен в § 9.

Пример 3. Пусть любые случайные величины. Предположим, что совместное распределение величин задается плотностью распределения являющейся беровской функцией от точки -мерного пространства. Тем самым определяется последовательность плотностей распределения Пусть - вторая такая же

последовательность; распределениями величин мы будем здесь считать распределения, задаваемые плотностями Определим случайную величину

Заметим, что знаменатель этой дроби обращается в нуль лишь с вероятностью 0. Мы докажем, что если всюду, где то величины образуют мартингал. Для доказательства этого утверждения предположим (что можно сделать в соответствии с теорией изображений § 6 гл. I), что являются координатными функциями в бесконечномерном пространстве. Тогда существует плотность условного распределения вероятностей величины относительно заданных

так что

Взяв условное математическое ожидание относительно от обеих частей (7.12), мы получим (7.2).

Определяемый равенством (7.11) мартингал имеет важные статистические приложения. В математической статистике отношение, определяющее называется «отношением правдоподобия». Отметим, что если интерпретировать не как плотности вероятностей, а как вероятности того, что случайные величины примут значения то процесс определяемый (7.11), снова будет мартингалом. (Интегралы в (7.12) становятся при этом суммами.) Более общий класс мартингалов определяется следующим образом. Пусть последовательности случайных величин (последовательность не должна обязательно быть определена том же самом -пространстве, где определена последовательность Пусть меры -мерных борелевских множеств А, определенные равенствами

Предположим, что если т. е. что мера абсолютно непрерывна относительно Тогда, в силу теоремы Радона — Никодима, существует плотность меры относительно т. е. беровская функция от переменных такая, что

Положим

Тогда величины образуют мартингал. Доказать это можно или так же, как в предыдущем частном случае, или же обращаясь непосредственно к определению рассматриваемых условных математических ожиданий. Отношение правдоподобия будет изучено более детально с точки зрения мартингалов в гл. VII.