§ 4. Ряды из ортогональных случайных величин

Теорема 4.1. Если -взаимно ортогональные случайные величины с ряд сходится в среднем тогда и только тогда, когда

Эта теорема вытекает из следующей оценки:

С другой стороны, рассматриваемая теорема может быть сведена к теореме о рядах Фурье: достаточно заметить, что величины образуют ортонормированную последовательность (члены, для которых при этом отбрасываются). Эта теорема является вариантом в слабом смысле теоремы 2.3 гл. III.

Для многих целей желательно иметь достаточные условия, обеспечивающие сходимость ряда с вероятностью 1. Теорема 4.2 дает одно из таких условий. Ее доказательство опирается на следующую предварительную лемму.

Лемма 4.1. Если -взаимно ортогональные случайные величины с

то

Заметим, что если заменить левую часть этого неравенства на то она будет равна Множитель позволяет ввести под знак математического ожидания символ Если то (4.1) выполняется с множителем, равным 1. Если то определим целое число при помощи условия

и положим при Пусть - сумма всех выражений вида и параметры пробегают значения При любом фиксированном сумма указанных выше слагаемых по всем допустимым имеет математическое ожидание так что

Мы можем теперь разбить сумму на частичные суммы имеющие вид где такие, как выше:

где содержит 2 членов и Тогда в силу неравенства Шварца

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 4.2. Пусть взаимно ортогональные случайные величины с Тогда, если то ряд сходится в среднем и сходится с вероятностью 1.

Сходимость ряда в среднем обеспечивается теоремой 4.1. Пусть сумма (в среднем) этого ряда и . Тогда

Отсюда следует, что при

так что в силу леммы Бореля-Кантелли для достаточно больших с вероятностью 1

Далее, в соответствии с леммой 4.1 при

Здесь, если то Выберем так, чтобы выполнялись условия

Тогда (4.3) дает нам оценку

Следовательно (снова по лемме Бореля-Кантеллн), при достаточно большом с вероятностью 1

Соединяя получаем, что ряд сходится с вероятностью 1.

Заметим, что если независимы и имеют нулевые математические ожидания, то условие теоремы 4.2 можно заменить более слабым условием (теорема 2.3 гл. III).