§ 2. Наилучший линейный прогноз как полиномиальная аппроксимация

В настоящем параграфе существенную роль будет играть спектральное представленпе процесса

где процесс с ортогональными приращениями. Мы видели в § 2 гл. IX, что если стохастический интеграл

определяет случайную величину с Например, если то Из рассмотрений § 2 гл. IX немедленно вытекает, что и что, обратно, любой случайной величине соответствует функция для которой выполнено (2.2). Случайная величина однозначно определяется функцией с точностью до значений на множестве вероятности 0, а функция однозначно определяется случайной величиной с точностью до значений на множестве нулевой меры Многообразие соответствует приэтом многообразию а соответствует Любой конечной сумме соответствует сумма причем

Используя это соответствие, задачу об отыскании можно следующим образом сформулировать на языке функций от X: требуется найти функцию минимизирующую интеграл

Другими словами, требуется аппроксимировать функцию линейной комбинацией функций Равенство

устанавливает точную эквивалентность этих двух задач. Решение

является проекцией на очевидно, оно определено однозначно с точностью до значений на множестве нулевой меры В силу соответствия

аналогично, в более общем случае

С некоторой точки зрения рассмотренные здесь две задачи об аппроксимации, одна в терминах случайных величин, а другая в терминах функций от X, не только эквивалентны, но даже тождественны. В самом деле, предположим для простоты, что и определим вероятность как меру, задаваемую функцией на оси Тогда последовательность будет последовательностью случайных величин, стационарной в широком смысле и имеющей спектральную функцию Задача о прогнозе для этого вероятностного процесса, очевидно, в точности совпадает с задачей о прогнозе для процесса сформулированной на языке функций от

В этой последней формулировке задача о прогнозе для стационарной последовательности тесно связана с классической задачей о приближении многочленамп. В самом деле, рассмотрим задачу о минимизации величины где фиксировано, а пробегает всевозможные многочлены степени Если «минимизацию» понимать как «минимизацию среднего квадрата по окружности с произвольной весовой функцией», то наша задача сведется к нахождению многочлена минимизирующего интеграл

при ааданных если то этот интеграл обращается в

Таким образом, эта задача аппроксимации многочленами совпадает с тем, что мы выше назвали задачей о прогнозе по конечному отрезку прошлого.

Функция будет называться прогнозирующей функцией на шагов вперед. Если — средний квадрат ошибки этого прогноза, то, очевидно,

Так как равно нижней грани квадрата ошибки аппроксимации величины линейной комбинацией случайных величин нижней грани квадрата ошибки при аппроксимации линейной комбинацией величин то ясно, что Таким образом,

Если то процесс называется регулярным, а если то сингулярным или детерминированным. В регулярном случае не принадлежит так что последовательность линейных многообразий строго возрастает. В сингулярном случае принадлежит так что все эти линейные многообразия совпадают между собой, каждое из них совпадает с все равны нулю. Заметим, что в регулярном случае последовательность о, может не быть строго возрастающей; так, например, если образуют ортонормированноемножество случайных величин, то . В сингулярном случае прошлое процесса, очевидно, полностью определяет его будущее. Это может быть верно и в регулярном случае, но в регулярном случае будущее не может быть полностью определено с помощью линейных операций, примененных к прошлому.

В дальнейшем мы полностью решим задачу о прогнозе, найдя явные выражения для Заметим, что формально, если дается рядом

то дается формулой

представляющей в виде результата применения явной линейной операции к прошлому процесса. Может случиться, однако, что нельзя будет представить в виде простой суммы сходящегося ряда такого вида; при этом также будет выражаться более сложной формулой.