§ 5. Процессы с некоррелированными или с ортогональными значениями

Процессом с некоррелированными значениями называется процесс, для которого образующие его случайные неличины попарно некоррелированы, т. е. такой процесс, у которого

и

С этим типом процессов тесно связаны процессы с ортогональными значениями, т. е. процессы, для которых выполнено (5.1) и для которых

Если процесс х, имеет некоррелированные значения, то процесс определенный соотношением

является процессом с ортогональными значениями. Так, если а: — действительная случайная величина, равномерно распределенная в интервале то случайные величины

образуют сразу и процесс с некоррелированными значениями и процесс с ортогональными значениями (и нулевыми средними). С другой стороны, случайные величины

обраауют процесс с некоррелированными значениями, но не процесс с ортогональными значениями.

Как мы уже отмечали во введении, теория вероятностей — это лишь один из аспектов теории меры. Этот факт ярко проявляется, в частности, в рассматриваемом вопросе. Математики занимаются теорией ортогональных рядов и функций более 100 лет, но они никогда не считали эту теорию частью теории вероятностей. С современной точка зрения последовательность ортогональных функций является последовательностью ортогональных случайных величин, и теоремы, подобные теореме Фишера — Рисса из теории ортогональных рядов, становятся теоремами теории вероятностей. Вероятностный подход, однако, налагает в некотором смысле неоправданное условие о том, что основное пространство с мерой имеет полную меру 1. До настоящего времени это условие вводилось, исходя из физической интерпретации нероятностей. В то же время многие идеи и определеппя, используемые в теории вероятностей, не являются внутренне связанными с этим условием. Некоторые физические явления (например, свободная частица в квантовой механике, которая равнораспределена во всем пространстве) указывают даже на полезность вероятностной меры со значением

на всем пространстве. По этой причине, а также из-за приложений, которые делаются в этой книге, мыоткажемся при изучении ортогональных рядов в гл. IV от предположения о конечности меры; для того чтобы избежать недоразумений, мы будем использовать в этой главе не язык теории вероятностей, а обычный язык теории меры.

Как уже отмечалось и § 3, процессы с ортогональными значениями являются вариантом в широком смысле процессов с независимыми значениями. Хотя такая терминология и не является общепринятой, однако этот подход разъясняет некоторые стороны вопроса.