§ 9. Линейные операции над стационарными процессами

Пусть стационарный в широком смысле вероятностный процесс, имеющий спектральное представление

Линейной операцией над процессом мы будем называть преобразование, цереводящее процесс в новый процесс либо конечная сумма вида

либо предел в среднем последовательности таких конечных сумм. Так как сходимости в среднем фигурирующих в последнем равенстве величин соответствует сходимость в среднем с весом кций в квадратных скобках в правой частп последнего равенства, то юлее общий процесс дается формулой

где произвольный предел в среднем конечных сумм вида

т. е. произвольная функция, измеримая относительно и такая, что

Функцию С мы будем называть ядром линейной операции. Таким образом, каждая линейная операция имеет ядро, и каждое ядро определяет некоторую линейную операцию, переводящую в новый стационарный в широком смысле процесс. Этот новый процесс также удовлетворяет условию непрерывности (3.1), поскольку

Новая корреляционная функция равна

так что новой спектральный функцией будет

это значит, что спектральные интенсивности при применении нашей линейной операции умножаются на Если ядро тождественно равно 1., то линейная операция будет тождественным преобразованием.

Если линейная операция с ядром С, переводит процесс в процесс а операция с ядром переводит в процесс то операция с ядром будет переводить так что если задается равенством (9.1), то

Единственными условиями (кроме измеримости), которые здесь надо наложит на являются условия

Если, кроме того,

то можно сперва применить к линейную операцию с ядром а затем к получившемуся процессу операцию с ядром С, и при этом получится опять тот же процесс Таким образом, последовательное применение нескольких линейных операций равносильно применению одной линейной операции с ядром, равным произведению всех ядер отдельных операций; при этом наши операции коммутативны в том смысле, что если можно применять операции в том или ином порядке, то получаемый процесс не будет зависеть от принятого порядка операции.

Сумма двух линейных операций определяется как операция с ядром, равным сумме ядер этих операций. Она приводит к процессу, являющемуся суммой процессов, получаемых при помощи операций - слагаемых.

Пример 1. Дифференцирование. Предположим, что и рассмотрим операцию с ядром

Так как

то из равенства

[здесь предел в среднем берется с весом ] вытекает, что

так что является производной в среднем квадратичном процесса в этом обобщенном смысле выборочные функции процесса в рассматриваемом случае имеют производную. Если теперь, как обычно, обозначить через значение случайной величины в точке то мы усилим предыдущий результат, доказав, что в случае сепарабельного процесса почти все его выборочные функции абсолютно непрерывны, и что если есть производная выборочной функции по I, то при каждом I с вероятностью 1

Не предполагая сепарабельности мы можем только доказать следующий (эквивалентный предыдущему) результат: если — произвольное счетное множество значений параметра, то почти все выборочные функции совпадают на с функциями, определенными для всех являющимися абсолютно непрерывными и такими, что их производная удовлетворяет написанному выше соотношению. Для заданного значения случайная величина определена однозначно с точностью до значений на -множествах вероятности 0. В § 3 мы видели, что благодаря этой неопределенности всегда можно считать, что наша случайная величина определена таким образом, что процесс измерим и почти все его выборочные функции интегрируемы по Лебегу на любом конечном интервале. Но тогда интеграл

для почти всех определяет абсолютно непрерывную функцию от и каждая такая функция от I при почти всех имеет производную Более того, опуская, как обычно, букву в обозначениях, с вероятностью 1 мы имеем

поскольку здесь можно изменить порядок интегрирования (см. § 2 гл. IX). Последнее равенство нужно понимать следующим образом: для каждого I правая и левая его части равны с вероятностью 1. Но тогда эти две части равны с вероятностью 1 и одновременно для всех значений из любого заданного счетного множества . В случае сепарабельного процесса множество можно выбрать таким образом, чтобы верхний и нижний пределы почти всех выборочных функций процесса на открытых интервалах совпадали с соответствующими пределами при значениях принадлежащих множеству и расположенных в тех же интервалах; отсюда следует что здесь почти каждая выборочная функцпя процесса будет абсолютно непрерывной и будет иметь производную что и требовалось доказать.

Мы показали, что линейная операция с ядром 2-й. отвечает дифференцированию в среднем квадратичном, а также и обычному дифференцированию. Обратно, предположим, что возможно дифференцирование в среднем квадратичном, т. е. что существует предел

на языке функций от X это означает, что существует предел

(здесь «предел в среднем» понимается как «предел в среднем с весом Последний предел должен равняться так как если существуют пределы и в среднем, и в обычном смысле, то они должны совпадать; отсюда вытекает, что

Таким образом, мы доказали, что операция дифференцирования в среднем квадратичном следовательно, и обычного дифференцирования) возможна тогда и только тогда, когда т. е. тогда и только тогда, когда интенсивность высоких частот не слишком велика. Заметим, что из существования обыкновенной производной еще не вытекает, что обязательно существует и производная в среднем квадратичном; это легко видеть на следующем примере. Пусть сепарабельный процесс Пуассона со средней плотностью числа событий с и пусть . Процесс стационарен как в широком, так и в узком смысле: его спектральная функция абсолютно непрерывна, а спектральная плотность равна

Так как

то производная в среднем квадратичном здесь не существует. С другой стороны, производная для каждого существует и равна всюду, за исключением счетного множества значений действительно, можно ограничиться только ступенчатыми выборочными функциями,

возрастающими скачками величиной единица, так как в рассматриваемом случае совокупность таких выборочных функций имеет вероятность 1.

Пример 2. Интегрирование. Предположим, что ядро С представимо в виде преобразования Фурье интегрируемой функции С,

Соответствующая линейная операция всегда выполнима, так как такая функция С непрерывна и ограничена. Эта операция сводится к интегральному осреднению

(изменение порядка интегрирования здесь законно в силу результатср § 2 гл. IХ). Обратно, предположим, что имеется интегральное среднее

где условия на весовую функцию С пока не уточнены. Естественно потребовать здесь абсолютной сходимости двойного интеграла

а это условие в силу неравенства

приводит нас к первоначальному условию Поэтому в дальнейшем при рассмотрении интегрального осреднения мы всегда будем предполагать, что весовая функция С абсолютно интегрируема на интервале Ядром операции в таком случае будет преобразование Фурье С этой функции, так что спектральные интенсивности будут умножаться на Поучительно рассмотреть следующий вырожденный случай: пусть процесс имеет ортогональные приращения и . В таком случае, как мы видели, производная (I) формально является процессом с постоянной спектральной плотностью . В соответствии с этим интегральное среднее

должно было бы иметь спектральную плотность а действительно, процесс является процессом с такой спектральной плотностью,

получаемым с помощью скользящего суммирования (см. § 8); относительно С здесь естественно требовать, чтобы выполнялось неравенство

Если последовательно произвести несколько операций интегрального осреднения, то результирующая линейная операция также будет интегральным осреднением; окончательная весовая функция будет при этом композицией отдельных весовых функций. Мы докажем это сейчас для случая двух операций. Предположим, что две весовые функции; требуется доказать, что если С определено равенством

то С является весовой функцией, соответствующей последовательному осуществлению наших двух осреднений, т.е. что и что весовой функции С отвечает ядро (ее преобразование Фурье) Но ясно, что

что

последнее равенство и завершает доказательство. Разумеется, наш вывод сводится к простой проверке того общеизвестного факта, что композиции функций соответствует произведение их преобразований Фурье. Изменения порядка интегрирования, использованные в наших рассуждениях, законны в силу абсолютной сходимости соответствующих интегралов.

Рассмотрим теперь ядра вида где С, как и выше, есть преобразование Фурье интегрируемой функции С, и выполняется условие (необходимое для того, чтобы могло быть ядром

Соответствующую линейную операцию можно при этих условиях считать результатом последовательного выполнения двух операций: интегрального осреднения с. весовой функцией С и затем дифференцирования. Условие (9.2) делает законным это дифференцирование. Так как мы не предположили,

что то изменить порядок операций здесь, вообще говоря, нельзя. Однако мы покажем, что результат применения наших двух операций всегда может быть представлен в виде

что сводится к результату дифференцирования и последующего интегрального осреднения, т. е. к

если только так что процесс существует. Мы рассмотрим более общий вопрос, а именно вопрос о смысле интегралов вида

где произвольный стационарный в широком смысле процесс. Есль имеет спектральное представление

и если мы примем обычное в нашей книге условие относительно связи функций, обозначаемых одной и той же буквой со звездочкой и без звездочки:

то формально мы будем иметь

Интегралы, подобные стоящему в правой части (9.5), были определены нами в § 2 гл. IX. Условие, наложенное в этом параграфе на подинтегральную функцию, в нашем случае обращается в требование

Мы определим теперь для любой функццп преобразование Фурье которой удовлетворяет условию (9.6), левую часть (9.5) как интеграл в правой части этого равенства. Способ определения функции по должен быть однозначным с точностью до значений этой функции на множестве точек X, по которому ишеграл равен нулю (иначе наш стохастический интеграл не будет однозначным) и должен быть линейным в том смысле, что функции должно соответствовать (иначе

ческий интеграл не будет линеен относительно подинтегральной функции). Кроме того, как мы видели, должно быть обыкновенным преобразованием Фурье функции если, например, последняя функция абсолютно интегрируема на интервале Для дальнейшего нам будет достаточно ограничиться рассмотрением класса функций интегрируемых по всем конечным интервалам и таких, что предел

существует для всех X и определяет преобразование функции удовлетворяющее (9.6). Этот класс, разумеется, допустим с точки зрения сформулированных выше двух общих принципов. Тогда, согласно определению (9.5),

В частности, если то производная процесса существует,

и, комбинируя наше определение с тем, что мы имели в примере 2, - мы находим, что

если только

Используя предыдущие результаты, мы получаем, что если С абсолютно интегрируема на интервале и если С удовлетворяет неравенству (9.6), то, как и утверждалось выше,

так что операция с ядром может быть представлена в виде (9.3).