§ 10. Рациональные спектральные плотности

В настоящем параграфе мы рассмотрим стационарные в широком смысле процессы с абсолютно непрерывными спектральными функциями, у которых спектральные плотности являются рациональными функциями от

где ни одно из не совпадает ни с одним из Это выражение для может быть упрощено следующим образом. Прежде всего ясно, что ни одно из не равно по модулю единице, так как интегрируемая функция; что касается то любое должно входить в выражение для четное число раз (ибо Далее, в силу действительности функции

Следовательно, любому соответствует некоторое и любому соответствует Так как при как нетрудно видеть,

то которое, будучи неотрицательным, равно абсолютной величине любого из трех написанных выше равных между собой выражений, можно представить в виде

В последнем выражении это те из корней фигурировавших в первоначальной формуле, которые по модулю меньше единицы, а также половина тех из которые равны по модулю единице; что касается то они точно совпадают с теми из которые по модулю меньше единицы. Иначе говоря, мы можем представить окончательно в виде

где все корни многочлена по модулю меньше единицы, а все корни по модулю не превосходят единицы, причем оба эти многочлена не имеют общих корней.

В частном случае, когда процесс действительный, функция является четной. Отсюда вытекает, что в этом случае каждому корню соответствует корень и каждому корню корень довательно, совокупность чисел разбивается на пары комплексно сопряженных чисел, и коэффициенты и или являются действительными, или же могут быть сделаны действительными при помощи умножения многочленов в числителе и в знаменателе (10.1) на соответствующие постоянные (на

Согласно результатам § 8, спектральное представление стационарных в широком смысле процессов рассматриваемого здесь типа может быть записано в виде

где вероятностный процесс с ортогональными приращениями. Корреляционная функция нашего процесса равна

Так как последний интеграл можно переписать в виде

то совпадает с коэффициентом разложения рациональной функции от в ряд Лорана по степеням в некотором кольце, содержащем окружность Отсюда следует, что значения при убывают по показательному закону (так как рассматриваемый ряд Лорана сходится в указанном кольце). Точное значение легко может быть получено с помощью теории вычетов. Действительно, предположим, как и выше, что все корни многочлена 2 по модулю меньше 1. В таком случае, если все эти корни различны (например, равны то теория вычетов дает для выражение вида

(Заметим, что все корни многочлена обязательно превосходят по модулю единицу: они равны Если процесс действительный, то каждому корню, не являющемуся действительным, соответствует корень такой, что Если некоторые из корней являются кратными, то коэффициенты будут многочленами относительно Полученноевыражение для показывает, что эта функция удовлетворяет линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами; действительно,

так как дробь, стоящая под знаком интеграла, не имеет полюсов при и принимает значение при Определим теперь случайные величины равенством

Тогда

Используя соотношение (10.4) и это выражение для мы получаем, что

Случай 1. . В этом случае

где

так что образуют ортонормированную последовательность. Таким образом, в этом случае процесс является процессом, получаемым при помощи скользящего суммирования (см. § 8), где суммирование распространяется на последовательных членов. Заметим, что при Обратно, если выполняется последнее условие относительно то в силу (3.5) функция будет абсолютно непрерывной, а соответствующая спектральная плотность будет равна квадрату модуля многочлена от степень которого не превосходит а.

Теорема 10.1. Если стационарный в широком смысле процесс удовлетворяет разностному уравнению (10.5), где коэффициенты произвольны, за исключением того, что и многочлен не имеет корней, по модулю равных единице, и где случайные величины удовлетворяют первому, из соотношений (10.7) и то спектральная функция процесса абсолютно непрерывна и ее производная задается равенством (10.1) при некоторых При этом конечные полюса дроби тогда и только тогда будут все по модулю меньше единицы, когда справедливо первое из соотношений (10.6).

Если условия теоремы выполнены, то процесс является стационарным в широком смысле процессом того типа, который рассматривался в случае 1. В то же время если процесс имеет спектральвую функцию и удовлетворяет ссотнсшению (10.5), то спектральной функцией процесса, стоящего в левей части (10.5), согласно результатам § 9, является функция

Приравнивая два получаемых таким образом выражения для спектральной плотности процесса мы будем иметь

Следовательно, функция абсолютно непрерывна и ее производная задается формулой (10.1). Если нули многочлена все по модулю меньше единицы, то, как мы уже доказали, соотношение будет выполняться. То же самое доказательство показывает, что оба равенства (10.6) выполняются, если все конечные полюса дроби, фигурирующей в условии теоремы, по модулю меньше 1. Обратно, если первое из равенств (10.6) верно, то

Следовательно, разложение в ряд Лорана на окружности дроби, стоящей в квадратных скобках под знаком интеграла, не содержит степеней больших чем а содержит только конечное число положительных степеней Отсюда вытекает, что это отношение не имеет конечных полюсов при что и требовалось доказать.

Теорема 10.2. Если стационарный в широком смысле процесс имеет, абсолютно непрерывную спектральную функцию со спектральной плотностью (10.1) и если корни многочлена все по модулю меньше единицы, то корреляционная функция удовлетворяет разностному уравнению

Обратно, если корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса удовлетворяет этому разностному уравнению (с заменой числа во второй строке правой части произвольным числом) при некоторых значениях постоянных В таких, что и некотором целом то величины определенные равенством (10.5), удовлетворяют первым из равенств (10.6) и (10.7) и условиям

Прямое утверждение этой теоремы нами уже было доказано. Проверка обратного утверждения является тривиальной. Заметим, что процесс фигурирующий в этом обратном утверждении, может быть полностью охарактеризован при помощи теоремы 10.1.

В предыдущих теоремах мы не рассматривали случай, когда разностное уравнение (10.5) удовлетворяется при Этот случай фактически и не относится к рассматриваемым здесь процессам, поскольку ему отвечает спектр процесса состоящий из конечного числа точек, т. е. ступенчатая спектральная функция.

Случай В этом случае определенная выше последовательность в силу соотношения (10.7) является ортонормированной последовательностью. Если при т. е. если все корни многочлена по модулю меньше 1 (см. теорему 10.1), то сумма, стоящая в левой части равенства (10.5) ортогональна ко всем случайным величинам Следовательно, здесь случайная величина

является проекцией величины на замкнутое линейное многообразие случайных величин, порожденное всеми предыдущими В частности, если то процесс является марковским в широком смысле. Таким образом, случай 2 включает все те процессы, для которых проекция любого на его прошлое содержит только конечный отрезок этого прошлого и не совпадает с самим (последняя оговорка нужна для того, чтобы исключить случай Эта проекция является наилучшим (с точки зрения метода наименьших квадратов) линейным прогнозом величины в терминах его прошлого; ошибка прогноза при этом равна а средний квадрат этой ошибки равен

В частном случае, когда процесс действительный и гауссовский и когда для всех процесс является также стационарным в узком смысле, а рассмотренные проекции превращаются в условные математические ожидания; если то процесс является марковским, а если то сложным -связным) марковским процессом.

В заключение заметим еще, что если в условиях теоремы 10.1, т. е. если в (10.7), то, как показывает доказательство теоремы, предположение о том, что многочлен не имеет корней, равных по модулю 1, становится излишним.