§ 2. Стохастические интегралы

Пусть процесс с ортогональными приращениями. В дальнейшем под мы все время будем понимать конечный или бесконечный интервал. Пусть не случайная (т. е. не зависящая от функция от

Наша цель состоит в том, чтобы определить величину

для широкого класса функций и множеств Интеграл о будет случайной величиной. Поскольку выборочные функции процесса за исключением некоторых специальных случаев, имеют неограниченную вариацию, нельзя определить просто как обыкновенный интеграл Стильтьеса от отдельных выборочных функций процесса Однако рассматриваемый нами интеграл является обобщением интеграла Стильтьеса; поэтому, для того чтобы он и выглядел более похожим на этот интеграл, мы заменим обозначение на т. е. будем писать

В дальнейшем мы предположим, что совпадает со всей прямой изменения, необходимые в случае, когда -отличный от всей прямой интервал, будут очевидны. Определим сперва для ступенчатых функций специального типа и Если и

мы положим 107

Точнее говоря, мы примем за любую случайную величину, равную с вероятностью 1 сумме справа. Однако под интегралом мы всегда будем понимать некоторую определенную случайную величину, а не класс эквивалентных между собой случайных величин.

Формула (2.1) определяет интеграл функции однозначно (если только пренебречь значениями на мнсжестве вероятности 0), причем линейным комбинациям функций соответствуют такие же линейные комбинации величин и

Будем теперь интерпретировать равенство (2.1), как соотношение, устанавливающее соответствие между некоторыми функциями переменного именно, ступенчатыми функциями и случайными величинами Если в пространстве функций и в пространстве случайных величин определить расстояния между парами эмементов при помощи соотношений

то равенство (2.2) будет означать, что наше соответствие между элементами двух рассматриваемых пространств сохраняет расстояние. Предположим теперь, что является пределом (в смысле сходимости относительно определенного нами расстояния) некоторой последовательности ступенчатых функций рассмотренного выше типа. Тогда

т. е.

где под понимается предел в среднем с весом При этом из того, что соответствие (2.1) сохраняет расстояние, следует, что существует также и являющийся некоторойслучайной величиной причем как предел в среднем, определяется лишь с точностью до значений на множестве вероятности нуль. За исключением этой естественной неоднозначности, не зависит от специального выбора последовательности действительно, любые две последовательности, сходящиеся в среднем к одной и же функция могут быть объединены в одну последовательность, сходящуюся к той же функции, откуда вытекает, что соответствующая этой объединенной последовательности функций последовательность случайных величин сходится в среднем. Получаемую с помощью такого предельного перехода случайную величину так же как и любую величину, совпадающую с у с вероятностью 1, мы и примем по определению за

При этом класс функций для которых определен наш интеграл, будет совпадать с классом функций от измеримых относительно меры Лебега—Стильтьеса задаваемой равенством

и таких, что

(Заметим, что наше определение интеграла является простым приложением общего принципа, согласно которому функция, равномерно непрерывная на точечном множестве метрического пространства и принимающая значение из другого полного метрического пространства, всегда может быть доопределена по непрерывности для всех точек замыкания ее области определения.) Заметим еще, что из того, что равенство (2.2) верно для ступенчатых подиитегральных функций, следует, что оно будет верно и в общем случае.

Наконец, если А — борелевское множество значений или вообще любое множество значений измеримое относительно меры функция, равная на А и нулю вне А, то мы положим по определению

(если только интеграл правой части существует). При таком определении равенство (2.2) будет справедливо и при замене произвольным множеством А. Очевидно, определенный намп стохастический интеграл линеен и однороден относительно подинтегральной функции аддитивен относительно области интегрирования (как всегда, с точностью до значений на множестве вероятности 0).

В приложениях очень часто оказывается, что

В таком случае, очевидно,

поскольку это равенство немедленно вытекает из (2.1) для ступенчатой подинтегральной функции

Заметим еще, что если то

так как если интеграл справа существует, то

Легко показать, что если функция непрерывна на конечном интервале даже только интегрируема в смысле Римана — Стильтьеса относительно то

где

и все точки являются точками непрерывности функции Здесь питеграл понимается, как пнтеграл по замкнутому интервалу при этом если разрывна в точках то в левой части этого равенства надо заменить на на Для доказательства предельного равенства (2.6) введем в рассмотрение функцию определяемую равенством

Тогда математическое ожидание квадрата модуля разности между суммой и интегралом, фигурирующими в (2.6), равно

В силу сделанных относительно предположений, функция ограничена равномерно по всем выборам значений и стремится к нулю при для почти всех (относительно меры значений Отсюда следует, что правая часть последнего равенства стремится к нулю при что и требовалось доказать. Если допустить, что могут совпадать с точками разрыва функции то аппроксимирующие суммы будут соответствовать полузамкнутым интервалам, но доказательство при этом не изменится.

В дальнейшем нам нужен будет критерий сходимости последовательности стохастических интегралов. Так как

то последовательность стохастических интегралов сходится в среднем к тогда и только тогда, когда подинтегральные функции сходятся к в среднем [с весом ] на А.

Предположим теперь, что процесс имеет ортогональные приращения и что Как обычно, мы будем считать; что является интервалом. В дальнейшем нам придется использовать двойные интегралы вида

где .4 — двумерное борелевское множество или, в более общем случае, множество, измеримое относительно двумерной меры Лебега — Стильтьеса задаваемой равенством

Интеграл (2.7) мы определим как повторный интеграл. При этом нам понадобится следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть процесс с ортогональными приращениями, у которого и измеримая относительно меры Лебега-Стильтьеса функция такая, что

для почти всех (относительно меры Лебега) значений . В таком случае стохастический интеграл

может быть определен так, чтобы процесс был измерим.

Задача заключается в том, чтобы, воспользовавшись неоднозначностью задания стохастического интеграла, определить так, чтобы получить измеримую функцию от Для доказательства теоремы предположим

еперва, что является конечной суммой вида

где первые множители измеримы по Лебегу, вторые — по и

Тогда равенство

показывает, что стоящий здесь слева стохастический интеграл представим в виде суммы произведений функций, измеримых относительно отдельных переменных, и, следовательно, является измеримой функцией относительно совокупности обоих переменных. После этого общий случай доказывается с помощью обычного предельного перехода.

Вернемся теперь к определению двойного интеграла (2.7). Достаточна рассмотреть только тот случай, когда А является бесконечной полосой поскольку интеграл по другим множествам А можно определить, используя функции, заданные на этой бесконечной полосе и равные нулю на дополнении к А. Итак, предположим, что есть функция, определенная на нашей бесконечной полосе, измеримая относительно меры и такая, что или

или

Если верно (2.8), то повторный интеграл

определяется естественным образом, причем будет ограничено левой частью неравенства (2.8). Если верно то естественным образом определяется повторный интеграл

где надо только выбрать результат первого интегрирования так, чтобы он был измерим относительно а это всегда можно сделать в силу теоремы 2.1; здесь будет ограничено левой частью неравенства При этом если верны одновременно неравенства (2.8) и то

так что порядок интегрирования несущественен. Для доказательства этого факта предположим опять, что задается формулой

где измеримы относительно меры Лебега, а относительно меры и

Тогда справедливы оба неравенства (2.8) и и (2.10) проверяется тривиальным образом. Доказательство равенства (2.10) в общем случае, когда выполнены (2.8) и может быть после этого осуществлено при помощи обычного предельного перехода. Таким образом, двойной пнтеграл (2.7) при А, совпадающем с бесконечной полосой — определен нами для всех случаев, когда справедливо (2.8) или как повторный интеграл. Согласно этому определению наш интеграл равен любой величине из совокупности случайных велпчпн, каждые две величины из которой равны между собой с вероятностью 1 и в которую входит любая случайная величина, равная с вероятностью 1 входящей в нее величине.

В качестве приложения определенного здесь двойного интеграла рассмотрим следующий специальный случай. Пусть абсолютно непрерывная функция от на интервале Положим

Тогда, подсчитывая двойной интеграл с помощью повторного интегрирования в том и другом порядке, мы найдем, что если функция непрерывна в точках то с вероятностью

Таким образом, мы получили формулу, интегрирования по частям. Если функция не обязательно непрерывна в точках а то эта. формула слегка изменится; изменения, разумеется, зависят от того, включаются пли нет точки в область интегрирования.

Во многих приложениях процесс является процессом не с ортогональными, а с независимыми приращениями. В последнем случае процесс будет пметь ортогональные приращения, если только определить равенством

Мы распространим на этот случай наше определение стохастического интеграла, положив

(здесь предполагается, что функция достаточно регулярна, так что последний интеграл может быть определен обычным образом). При таком определении, если

то

Полезно еще иметь формулу для дисперсии стохастического интеграла:

Рассмотренный здесь стохастический интеграл впервые был введен Винером (предполагавшим, что это процесс брауновского движения). В следующих главах мы рассмотрим приложения этого интеграла к теории стационарных процессов. Два простых практических приложения будут даны здесь.