§ 3. Сохраняющие меру преобразования

Определение. Пусть — абстрактное пространство точек [соответственно Пусть [соответственно -мера, определенная на множествах борелевского поля [соответственно множеств пространства 2 [соответственно 2]. Пусть однозначное преобразование, определенное на точках 2 и переводящее их в точки 2. Через где мы будем обозначать -множество Преобразование называется однозначным сохраняющим, меру точечным преобразованием, если выполняются следующие два условия:

(II) Если то существует такое, что

В соответствии с этим определением, так что

По той же причине, если образ множества 2 при отображении и если то

Таким образом, имеет внешнюю меру в том смысле, что каждое измеримое -множество, содержащее имеет меру

Каждой точке соответствует -множество точек, переходящих в отображении Эти -множества мы будем называть в. дальнейшее элементарными множествами. Так как каждое множество является прообразом некоторого то каждое множество из является суммой элементарных -множеств, и если х есть измеримая функция от то постоянно на каждом элементарном -множестве. Далее, каждая функция х от определяет единственную функцию х от (которую мы будем обозначать через такую, что

Здесь нужно понимать как любой прообраз точки Если -измеримая функция от то будет измеримой функцией от так как если А — борелевское множество и если определено как

то

и поэтому -множество, написанное слева, измеримо. Обратно, если х есть измеримая функция от то существует измеримая функция х от (которую мы будем обозначать через такая, что Другими словами, образ функции х, определяемый указанным выше соотношением между только на может быть определен на так, чтобы получилась измеримая функция от Это расширение на неоднозначно, но любые два измеримых образа функции х совпадают на и совпадают, следовательно, на -множестве меры так как они совпадают на некотором измеримом множестве, содержащем Мы получим образ функции х следующим способом (мы можем предположить, что

действительная функция). Пусть при рациональном и пусть измеримое -множество такое, что

По предложению, такое множество существует. Положим, далее,

Тогда измеримо и

Очевидно,

Положим теперь

Преобразование рассматриваемое как преобразование, действующее на измеримые функции от неоднозначно; оно становится, однако, однозначным, если считать идентичными функции от , совпадающие почти всюду. С другой стороны, обратное преобразование (также рассматриваемое как преобразование функций) однозначно. В частности, преобразование примененное к функциям, принимающим только значения и 1, индуцирует преобразование, действующее на измеримые -множества и переводящее их в измеримые -множества. Это преобразование множеств однозначно, если отождествлять -множества, отличающиеся на множество меры 0. Обратное отображение просто однозначно.

Теперь можно проверить без труда следующие свойства преобразования рассматриваемого как преобразование функций.

Если измеримые функции от и беровская переменных, то

Если измеримые функции от то предел

существует для почти всех тогда и только тогда, когда

существует для почти всех причем если эти пределы существуют, то они переходят друг в друга при отображении (с точностью до значений функций на множестве меры нуль). Если измеримая функция от то х интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема х, причем если эти функции интегрируемы, то

Последнее утверждение требует некоторых пояснений. Если принимает только значения и 1, то то же самое верно и для и равенство

интегралов сводится к тому, что сохраняет меру измеримого множества. Так как класс функций х, для которых верно утверждение о равенстве интегралов, содержит линейные комбинации входящих в него функций, то отсюда следует, что это утверждение верно для всех функций х, принимающих конечное число значений. Общий случай может быть, очевидно, сведен к случаю неотрицательного х. Итак, предположим, что х неотрицательно, и положим

Тогда и если то отсюда следует, что

для всех Кроме того,

так что

Так как принимает только конечное число значений, то

При мы получим искомое равенство интегралов от (эти интегралы могут принимать и бесконечные значения).

Отметим, наконец, что существенной отправной точкой наших рассмотрений было предположение о существовании однозначного преобразования действующего на измеримые множества из и переводящего их в множества из и притом так, что дополнения, суммы и пересечения множеств из переходят в дополнения, суммы и пересечения соответствующих множеств из В действительности первоначальное задание как однозначного точечного преобразования нужно было нам лишь для того, чтобы определить как такое преобразование множеств, и все рассуждения можно было бы провести, постулировав лишь требуемые свойства преобразования Мы этого не сделали потому, что достигаемая таким способом большая общность не требуется для приложений в гл. I (см. также следующие примеры и § 6 гл. более общий подход развит в § 1 гл. X).

Пример 3.1. Пусть — абстрактное пространство точек Пусть, далее, есть мера, определенная на множествах некоторого борелевского поля -множеств, и действительная измеримая функция от Обозначим через — борелевское поле -множеств вида где А — одномерные борелевские множества. Пусть 2 — действительная прямая, класс мерных борелевских множеств и мера на борелевских множествах, определенная равенством

Для каждого полошим Тотда будет преобразованием, переводящим точку в действительное число При этом преобразовании 2 переходит в какое-то одномерное множество Отметим, что преобразование однозначно, но обратное к нему преобразование, вообще говоря.

многозначно. Для любого одномерного борелевского множества обозначим через множество всех таких, что Заметим, что если А — борелевское множество и то

где интеграл является интегралом Лебега—Стильтьеса. В самом деле, как мы уже видели в примере 2.2, в такой форме может быть записана при соответствующим образом подобранной функции любая мера на борелевских множествах, причем достаточно выбрать так, чтобы это равенство было выполнено для множеств А, являющихся правыми полузамкнутыми интервалами. В нашем случае рассматриваемое равенство для такта А выполняется по определению Если мы будем теперь понимать под «измеримыми -множествами» только множества поля то предыдущие результаты будут попросту означать, что является однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием. Заметим, что если -беровская функция от одного переменного, то

так что в соответствии с нашими общими результатами

В частности, мы получаем, что

хорошо известный факт, вытекающий тацже тривиальным образом из того обстоятельства, что суммы, используемые обычно для аппроксимации левого интеграла, совпадают с суммами Римана — Стильтьеса, используемыми при аппроксимации правого интеграла.

Пример 3.2. Этот пример является обобщением предыдущего на случай произвольного числа измерений. Пусть абстрактное пространство точек Пусть, далее, мера, определенная на множествах некоторого борелевского поля -множеств, и семейство действительных измеримых функций. Положим Обозначим, далее, через класс действительных функций Пусть функция от принимающая значение если есть функция так что Пусть поле -множеств вида

где может быть любым целым положительным числом, произвольный -мерный правый полузамкнутый интервал или конечная сумма таких интервалов. Обозначим через борелевское поле -множеств, порожденное полем Для каждого положим равным функции от получающейся из при переменном Тогда будет однозначным точечным преобразованием, переводящим в Обратное преобразование, вообще говоря, неоднозначно; мы определим для А, являющихся -множествами, как -множество, на котором Тогда из того, что будет вытекать, что Действительно,

согласно нашему определению, это верно, если а так как множества из для которых верно это утверждение, образуют борелевское поле, то это верно и для всех множеств из Если то положим

Заметим, что если -бесконечное множество, то определенная таквм способом мера совпадает с мерой, возникающей из меры на множествах при ее расширении до меры на всем так, как это делалось в примере 2.3. Действительно, эти меры совпадают на является борелевским полем, порожденным Преобразование будет однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием, если понимать под -измеримыми множествами только множества В соответствии с нашими общими результатами о таких преобразованиях,

и вообще, если конечное подмножество множества беровская функция переменных, то

Это равенство означает, что если хотя бы один из входящих в него интегралов определен, то оба интеграла определены и равны между собой. Таким образом, во многих случаях семейство функций от можно заменить семейством функций от Величины х, являются координатными переменными в прэстранстве, размерность которого равна кардинальному числу множества