§ 4. Процессы с взаимно независимыми значениями

Указанные в заглавии параграфа процессы рассматриваются только в случае дискретного параметра, так как в случае непрерывного параметра соответствующие выборочные функции были бы слишком нерегулярными для того, чтобы они могли возникать в практических задачах. Мы будем поэтому рассматривать просто последовательности независимых случайных величин. Большинство исследований по «основаниям теории вероятностей», в которых обычно, в ущерб для математических обоснований теории, отождествляются ее математические и философские обоснования, пмеют своей Целью изучение последовательностей взаимно независимых случайных величин с одинаковой функцией распределения.

Мы уже отмечали, что если любая последовательность функций распределения, то существует последовательность взаимно независимых случайных величин с этими функциями распределения. Из предположения о независимости следует, что совместные функции распределения для величин являются просто произведениями функций Вполне возможно изучать такие процессы, не упоминая слова «вероятность». Например, если то функция распределения случайной величины является композицией (сверткой) функций распределения величин т. е.

Изучение многпх свойств частичных сумм ряда может быть поэтому сведено к изучению повторных композиций функций, без всякого упоминания о вероятностях. Для того чтобы доказать (4.1), заметим, что если координатные функции в -мерном пространстве точек то вероятности -множеств совпадают с вероятностями точечных множеств этого -мерного пространства и

Тогда (4.1) является просто результатом вычисления неличины где А задано неравенством при помощи повторного интегрирования. Наконец, из теории изображений (гл. I, § 6) следует, что при доказательстве

равенства (4.1) мы имели право предполагать, что случайные неличины являются координатными функциями. Только что проведенные рассуждения доказывают также следующее, несколько более общее соотношение, которое нам пригодится в дальнейшем: