§ 3. Приложение к выводу теоремы Кемпбелла
Предположим, что какие-то события происходят в случайные моменты времени в соответствии с законом Пуассона, причем средняя плотность числа событий за единицу времени равна 
Пусть каждое событие имеет некоторую интенсивность 
и вызывает эффект, величина которого через время 
после момента возникновения этого события равна и 
Обозначим через 
суммарный эффект в момент 
от всех событий, 
чившихся до этого момента; тогда
где 
всевозможные предшествующие 
моменты появления событий, а 
интенсивности соответствующих событий. Мы будем предполагать, что 
-взаимно независимые случайные величины, имеющие одинаковую функцию распределения. Пусть 
вероятностный процесс, выборочные функции которого постоянны в промежутках между событиями, а в момент возникновения события возрастают на соответствующую интенсивность и 
Тогда этот процесс имеет стационарные независимые приращения, и
где
Выражения для 
мы можем теперь записать в виде
если положить 
при Следовательно, 
есть стационарный в узком смысле вероятностный процесс, а именно процесс, получаемый скользящим суммированием. Если обозначить
то мы будем иметь
В частном случае, когда распределение вероятностей для и сосредоточено в одной точке, 
В этом специальном случае формула (3.6) для дисперсии в 
называется теоремой Кемпбелла.
Согласно теореме 
для каждого 
можно определить таким образом, чтобы процесс 
был измерим. Тогда математические ожидания в (3.6) можно отождествить с временными средними: действительно, так как процесс 
стационарен в узком смысле и метрически транзитивен (см. § 1 гл. XI), то из закона больших чисел для стационарных в узком смысле вероятностных процессов (т. е. из эргодической теоремы; см. теорему 2.1 гл. XI) вытекает, что с вероятностью 1
В большинстве приложений средняя плотность с числа событий весьма велика. В таком случае нетрудно доказать (например, при помощи мегода характеристических функций), что распределения для приращений процесса 
а также для значений процесса 
близки к гауссовским. Это означает, что процесс 
очень близок к процессу брауновского движения (см. § 2 гл. VIII). Для того чтобы сформулировать этот факт более четко, введем в рассмотрение процесс 
с независимыми гауссовскими приращениями, удовлетворяющий условию (3.2), так что процесс 
будет процессом брауновского движения. Определим 
при помощи равенства
Тогда 
есть стационарный в узком смысле гауссовский процесс, и процесс 
асимптотически сближается с (I) при с 
; в приложениях обычно рассматривают именно процесс 
а не сам процесс 0.
