11. Мартингалы с непрерывным параметром.

В предыдущих параграфах мы занимались главным образом мартингалами и полумартингалами, зависящими от дискретного параметра, хотя в определении этих процессов требуется лишь, чтобы область значений параметра была упорядоченным множеством. В настоящем параграфе мы будем, как всегда, предполагать, что некоторое множество точек на прямой, быть может включающее точки и не будем, как правило, накладывать на никаких дальнейших ограничений. Теоремы, которые мы будем рассматривать, включают в себя как частный случай теоремы о последовательностях случайных величин, доказанные в предыдущих параграфах; однако основную роль в этом параграфе будут играть приложения к случаю непрерывного параметра, в частности к случаю, когда -интервал, чем и объясняется заглавие параграфа.

Обобщения относящихся к случаю дискретного параметра теорем предыдущих параграфов окажутся просто вариантами для случая общего множества значений параметра соответствующих теорем для дискретного параметра. Мы не будем, однако, приводить обобщения на случай произвольного множества значений параметра всех без исключения рассматривавшихся ранее теорем, так как в некоторых случаях такие обобщения неинтересны и ненужны, поскольку в первоначальных формулировках не накладывалось никаких ограничений на множество параметра (например, теоремы 1.1 и 3.1), а в других случаях такие обобщения неизвестны. В связи с последней возможностью заметим, что, например, неизвестно, при каких условиях представление (1. 5) случайных величин, образующих полумартингал, в виде суммы мартингала и частных сумм ряда из неотрицательных случайных величин остается верным для случая, когда множества вначений параметра является интервалом.

Мы отложим на некоторое время также рассмотрение вариантов для случая общего множества значений параметра теорем об играх, содержащихся в § 2.

(Теорема 3.2.) Если сепарабелъный полумартингал а множество содержит максимальный элемент то для любого вещественного X

Для доказательства заметим, что в силу теоремы 3.2 написанные выше аеравенства выполняются, если заменить множество любым его конечным подмножеством, содержащим точку Используя очевидный предельный переход, мы видим, что эти неравенства остаются верными, если заменить множество любым его счетным подмножеством, содержащим точку . Наконец, верно и само утверждение теоремы, так как по определению сепарабельного вероятностного процесса (см. § 2 гл. II) существует счетное подмножество множества обладающее тем свойством, что (если пренебречь подмножеством вероятности 0) все выборочные функции имеют на множестве те же верхнюю и нижнюю грани, что и на множестве Так как при замене на 5 теорема справедлива (ибо мы всегда можем предположить, что содержит то она верна и без такой замены. Заметим, что если то второе неравенство становится тривиальным. Если множество содержит минимальный элемент а, то

если Т не содержит минимального элемента, то

(Теорема 3.4.) Эта теорема обобщается точно так же, как и теорема 3.2, и ее формулировку мы поэтому опускаем.

(Теорема 4.1.) Пункт (V), повидимому, не обобщается сколько-нибудь интересным образом на случай общего множества значений параметра. Пункт (IV) будет распространен на этот случай позже. Пункты (1), (II) и обобщаются без затруднений, и мы приведем здесь только обобщение пункта чтобы показать новую форму этого утверждения. Пусть процесс является мартингалом. Тогда величина монотонно не убывает с ростом редположим, что

то существует случайная величина такая, что для любой последовательности значений из из условия следует, что с вероятностью 1. Если процесс сепарабелен, то с вероятностъю 1 выполняется более сильное предельное соотношение

В частности, если все величины х, действительны и неотрицательны или все действительны и неположительны.

В этом утверждения может быть как конечным, так и бесконечным. Для того чтобы доказать существование предела мы заметим сперва, что если последовательность значений параметра, монотонно сходящаяся к то процесс является мартпнгалом, удовлетворяющим условию так что в силу пункта (I) теоремы 4.1 с вероятностью 1 существует и конечен предел Предельная случайная величина с точностью до значений на множестве вероятности не зависит от выбора последовательности так как любые две последовательности можно объединить в одну общую последовательность, которой также будет соответствовать последовательность случайных величин, сходящаяся с вероятностью 1. Кроме того, предел должен существовать с оятностыо 1 и в том случае, когда последовательность сходится к не является обязательно, монотонной, так как любую такую последовательность можно превратить в монотонную при помощи переупорядочения ее членов. Таким образом, доказано, что существует величина ивляющаяся пределом по любой последовательности. Но мы знаем (см. теорему 2.3 гл. II), что если процесс сепарабелен, то предельный переход по последовательностям можно заменить обычным предельным переходом. Остальные утверждения, содержащиеся в варианте пункта (I) теоремы 4.1 для случая общего множества значений параметра, доказываются в точности тем же путем, что и в случае дискретного параметра.

(Теорема 4.1s.) Эта теорема обобщается точно так и теорема 4.1, и ее доказательство тоже основано на сведении к случаю дискретного параметра.

(Теоремы 4.2, 4.2s.) Обобщение проводится точно так же, как и обобщение теорем

(Теорем случайная величина, для которой в пусть каждому из одномерного множества соответствует борелевское поле измеримых -множеств причем при Положим

и пусть наименьшее борелевское поле -множеств, содержащее Тогда условные математические ожидания можно определить при каждом таким образом, чтобы с вероятностью

Чтобы доказать эту теорему, заметим, что в силу теоремы 4.3 интересующие нас предельные соотношения выполняются, если переходить к пределу по некоторой, последовательности значений Далее, так как каждое из условных математических ожиданий можно изменить произвольным образом на -множестве вероятности 0, то вероятностный процесс можно сделать сепарабельным процессом путем подходящего выбора этих условных математических ожиданий. Если такой выбор сделан, то в соответствии с теоремой 2.3 гл. II уже можно не ограничиваться предельным переходом только по последовательностям.

Тот факт, что рассматриваемый в этой теореме вероятностный процесс, может быть определен так, чтобы он стал сепарабельным, означает, что

для этого процесса будут выполнены свойства выборочных функций, о которых идет речь в теоремах 11.2 и 11.5, если только сам процесс выбран подходящим образом.

Пример 1. Пусть - мартингал. Зададим процесс равенством

Тогда процесс является сепарабельным мартингалом. Его выборочные функции могут иметь разрывы лишь при целых значениях аргумента и при каждом делом разрыв всегда имеет место, если только

Пример 2. Пусть процесс с независимыми приращениям которого

Тогда процесс

является мартингалом. Этот тип мартингалов с непрерывным параметром соответствует мартингалам с дискретным параметром, образуемым частными суммами ряда из взаимно независимых величин с нулевыми математическими ожиданиями. В частном случае пуассоновского процесса (см. § 9 гл. II и § 4 гл. VIII)

В § 4 гл. VIII будет показано, что если то выборочные функции процесса можно использовать для описания числа событий определенного типа, наступивших за промежуток времени от момента до момента если это процесс сепарабелен, то почти все его выборочные функции являются монотонно неубывающими функциями и возрастают единичными скачками. Далее, при каждом с вероятностью 1

т. е. точки скачков меняются при переходе от одной выборочной функции к другой таким образом, что хотя при любом заданном значении вероятность скачка равна 0, но вероятность наличия хотя бы одного скачка в любом интервале времени положительна.

Мы покажем ниже, что в отношении свойств непрерывности выборочных функций два предыдущих примера являются характерными и для общего случая. Почти все выборочные функции сепарабельного мартингала непрерывны всюду, кроме точек разрыва, в которых существуют (конечные) пределы справа и слева, причем имеется самое большее счетное число значений параметра, при которых вероятность разрыва положительна. Процесс броуновского движения (см. § 9 гл. II и § 2 гл. VIII) является нетривиальным примером сепарабельного мартингала, почти все выборочные функции которого непрерывны есть частный случай примера 2).

Теорема 11.1 Пусть вероятностный процесс а совокупность предельных точек множества Предположим, что при каждом существует по крайней мере один из пределов по вероятности

Тогда существует не более чем счетное подмножество множества такое, что если то существуют оба предела по вероятности

вероятностью 1,

и

если

В условиях теоремы подразумевается, что в точках являющихся лишь односторонними предельными точками для множества не накладывается никаких предельных условий на поведение Заметим, что множество односторонних предельных точек множества не более чем счетно. В самом деле, каждая точка множества является граничной точкой замкнутого отрезка, не содержащего ни одной точки из Поэтому каждый такой отрезок может пересекаться не более чем с еще одним отрезком того же типа, так что можно предположить, что эти отрезки попарно не пересекаются. Совокупность рассматриваемых отрезков является, таким образом, не более чем счетной, откуда следует, что не более чем счетным является и множество Поэтому мы можем дальше предполагать, что каждая точка множества является двусторонней предельной точкой множества

В наиболее важных приложениях теоремы 11.1 множество является интервалом, и известно, что пределы по вероятности существуют в каждой точке множества Теорема утверждает в этом случае, что при каждом не входящем в некоторое исключительное не более чем счетное множество значений параметра, с вероятностью 1

Чтобы доказать эту теорему, определим расстояние между любыми двумя случайными величинами х и у, как наибольшую нижнюю грань значений для которых

При таком определения расстояния равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда В этом случае при каждом случайная величина оказывается точкой полного метрического пространства, так что случайные величины, образующие процесс определяют функцию от принимающую значения из этого метрического пространства. По предположению, для каждого существует один из пределов или Чтобы доказать теорему, нам надо показать, что множество точек из в которых колебание функции положительно, не более чем счетно. Для этого достаточно показать, что при любом не более чем счетно множество точек в которых колебание функции больше Если и если существует [соответственно ], то является правым (соответственно левым) концом интервала, содержащего точку и не содержащего никаких других точек множества Мы получили, таким образом, совокупность интервалов, которые мы можем считать попарно непересекающимися и каждый из которых содержит только одну точку множества сумма этих интервалов содержит внутри себя все Так как совокупность непересекающихся интервалов не может быть более чем счетной, то не более чем счетным является и само множество

В дальнейшем мы будем называть точку фиксированной точкой разрыва вероятностного процесса если не для любой последовательности с вероятностью 1

Если процесс сепарабелен, то согласно этому определению является фиксированной точкой разрыва тогда и только тогда, когда для нее неверно утверждение, состоящее в том, что с вероятностью 1

т. е. тогда и только тогда, когда с положительной вероятностью выборочная функция процесса имеет разрыв в точке Любую точку разрыва выборочной функции сепарабельного процесса, не являющуюся фиксированной точкой разрыва, мы будем называть подвижной точкой разрыва. Даже если нет фиксированных точек разрыва, то отсюда вовсе не следует, что выборочные функции сепарабельного процесса почти все (т. е. с вероятностью 1) являются непрерывными функциями, так как эти выборочные функции могут обладать подвижными точками разрыва. Так, например, обстоит дело в случае процесса Пуассона (см. приведенный выше пример 2).

Теорема 11.2. Пусть полумартингал, и пусть соответственно минимальная и максимальная точки замыкания множества Определим множество как совокупность предельных точек множества с тем, однако, исключением, что точка считается не входящей в если и что точка а считается не входящей в если

(I) Каждой точке являющейся предельной точкой множества слева (справа), соответствует случайная величина (соответственно такая, что если (соответственно то (соответственно с вероятностью 1). Если процесс сепарабелен, то эти пределы по последовательностям можно заменить обычными пределами (соответственно

(II) Для каждого за исключением не более чем счетного множества значений, с вероятностью 1. выполняется следующее соотношение между теми из трех входящих в него величин, которые при данном определены:

В частности, фиксированных точек разрыва имеется не более чем счетное число.

Пусть предельная точка множества слева. Существование предела х, будет следовать из варианта для случая общего множества значений параметра теоремы примененного к полумартпнгалу

если только мы покажем, что при некотором

Пусть точка из множества такая, что такая точка существует, поскольку В качестве возьмем любую точку из для которой Тогда, в силу пункта (II) теоремы 3.1,

Таким образом, здесь применим вариант теоремы для случая общего множества значений параметра, и тем самым существование величины доказано. Существование следует из теоремы Наконец, пункт (II) следует из теоремы 11.1. Заметим, что если бы величина была

ограничена при близких к то течку теже межно было бы включить в

Пусть полумартингал. В §§ 1—3 мы рассмотрели различные условия, при которых величины х, равномерно интегрируемы. Следующая теорема дает для этого необходимые и достаточные условия.

Теорема 11.3. В предположениях теоремы 11.2 имеют место следующие соотношения:

Если то величины при равномерно интегрируемы тогда и только тогда, когда

для всех являющихся предельными слева точками множества

Неравенства, связывающие математические ожидания, при некоторых значениях могут оказаться тривиальными, потому что рассматриваемые случайные величины определены не обязательно для всех Однако входящее в формулировку теоремы двустороннее неравенство выполняется при всех значениях в том смысле, что если какие-нибудь две из фигурирующих в этом неравенстве случайные величины, существуют, то верно приведенное неравенство между их математическими ожиданиями. Эти неравенства были нами доказаны для случая дискретного параметра и не требуют дальнейшего обсуждения. Утверждение о равномерной интегрируемости следующим образом выводится из соответствующего утверждения для частного случая дискретного параметра. Интересующие нас величины х, равномерно интегрируемы тогда и только тогда, когда равномерно интегрируемы величины х, из любой последовательности и мы можем даже ограничиться монотонными последовательностями Далее, в пункте (IV) теоремы 3.1 мы показали, что если монотонно убывающая последовательность, то величины равномерно интегрируемы тогда и только тогда, когда

в пункте (II) теоремы мы показали, что если монотонно возрастающая последовательность и то величины равномерно интегрируемы тогда и только тогда, когда

Эти два условия и есть условия нашей теоремы.

Согласно теореме 11.3, случайные величины полумартингала х, равномерно интегрируемы, при где входит в множество значений параметра, если, например, монотонная функция ограничена по и не имеет скачков, т. е. если пробегает все значения из некоторого интервала (этот интервал может вырождаться в точку). Это будет верно, в частности, если процесс х, является мартингалом, так как для мартингала постоянно. Однако мы не получаем для этого случая ничего нового, так как в соответствии с пунктом (III) теоремы 3.1 (примененным к процессу случайные величины равномерно интегрируемы при

Теоремы 4.4 и 4.4s показывают, как можно раеттрдть множество значений параметра для некоторых простых типов мартингалов и полумартингалов. Следующая теорема является вариантом этих теорем для случая общего множества значений параметра.

Теорема 11.4. Пусть полумартипгал (мартингал) и I — замкнутый интервал, концами которого служат минимальная и максимальная точки замыкания множества с тем, однако, исключением, что правый конец считается не входящим в I, если он не входит в и что левый конец считается не входящим в I, если Тогда можно определить величины х, и поля при таким образом, чтобы процесс был полумартингалом (мартингалом).

Пусть процесс х, является полумартингалом (мартингалом). Если предельная справа точка множества то положим

Используя вариант теоремы (соответственно теоремы 4.1) для случая общего множества значений параметра, легко убедиться, что процесс с таким расширенным множеством значений параметра является полумартингалом (мартингалом), (См. также теорему 4.4.) Пусть теперь замкнутый интервал, такой, что его начальная и конечная точки и только эти его точки входят в замыкание множества Величина и поле уже определены. Положим

и

если еще не определены. Получившийся в результате процесс будет тогда полумартингалом (мартингалом). В заключение отметим, что в ряде случаев построенное нами расширение процесса не является единственно возможным.

Теорема 11.4 показывает, что при изучении мартингалов и полумартингалов мы можем, если хотим, предполагать, что множество значений параметра является интервалом.

Пример 3. В § 8 был дан пример мартингала удовлетворяющего следующим условиям:

с вероятностью 1. Положим

Процесс будет тогда пол ума ртингалом, случайные величины которого не являются равномерно интегрируемыми. Множеством I из теоремы 11.4 будет в этом случае интервал причем с вероятностью 1. Определение величин с нецелым I такое, как при доказательстве теоремы 11.4, дает

В этом примере можно было бы взять в качество любую неотрицательную случайную величину с конечным математическим ожиданием, но никаким выбором величины нельзя добиться того, чтобы этот процесс стал мартингалом.

В дальнейшем, как и в § 1 гл. V, мы будем говорить, что функция имеет скачок в некоторой точке, если эта точка является течкой разрыва; функции, прпчем в ней существуют пределы функции справа и слева.

и само значение функции в точке заключено между этими пределами. Если функция принимает комплексные значения, то мы будем говорить, что она делает скачок, если делают скачок ее действительная и мнимая части или если одна из этих двух частей делает скачок, а другая непрерывна.

Теорема 11.5. За исключением, быть может, множества выборочных функций вероятности. О, все выборочные функции сепарабелъного полумартингала обладают следующими свойствами:

(I) Они ограничены на каждом -множестве вида где если процесс мартингал, то требуется лишь, чтобы При каждом являюгцемся предельной точкой слева (справа), они имеют конечные пределы слева (справа).

(III) Всюду, за исключением, быть может, фиксированных точек разрыва, разрывы выборочных функций являются скачками.

Так как функция, имеющая конечные пределы слева и справа при всех значениях аргумента, которые являются предельными точками слева (справа), имеет не более чем счетное число точек разрыва, то почти все выборочные функции полумартингала имеют не более чем счетное число точек разрыва. Теорема остается верной и для комплексных мартингалов, так как она верна для их действительных и мнимых частей.

Пункт (I) сразу вытекает из варианта теоремы 3.2 для случая общего множества значений параметра. При доказательстве пунктов (II) и (III) мы предположим, что множество бесконечно (в противном случае утверждения этих пунктов выполняются тривиальным образом). В силу пункта (I) существует -множество вероятности такое, что каждая выборочная функция процесса соответствующая точке ограничена на любом конечном интервале, концы которого принадлежат В соответствии с определением сепарабельности вероятностного процесса существуют последовательность всюду плотная на множестве и -множество вероятности такие, что каждая из выборочных функций, соответствующих точке имеет на любом открытом интервале те же самые верхнюю и нижнюю грани, что и на совокупности значений содержащихся в этом интервале, т. е. что

Пусть теперь точки выбраны так, что и множество не пусто. Возьмем множество точек, образованное точками и теми по порядку точек вторые содержатся в Обозначим все точки этого множества через занумеровав их при этом так, что Пусть действительные числа, — число пересечений интервала последовательностью

Согласно теореме 3.3,

Следовательно, если положить то

так что

Предположим, что выборочная функция соответствующая точке не имеет в некоторой точке предела справа или слева, так что

либо

либо эти неравенства выполняются при Тогда те же самые неравенства останутся выполненными, если будет стремиться к пробегая лишь значения параметра из так что число пересечений интервала последовательностью становится бесконечным при Таким образом, если есть множество точек которым соответствуют выборочные функции описанного вида, то

В силу (11.1) пересечение по к стоящих в правой части -множеств имеет вероятность 0. Обозначим это пересечение через и положим

где суммированпе проводится по всем парам рациональных чисел и где (соответственно минимальный (соответственно максимальный) элемент множества если такой элемент существует; в противном случае суммирование проводится по некоторой последовательности чисел (соответственно содержащихся в сходящейся к (соответственно Тогда

выборочная функция процесса, соответствующая точке не входящей в имеет конечные пределы слева и справа в каждой точке разрыва. Далее, из определяющих свойств последовательности следует, что разрывы таких функций в любой из точек, отличной от должны быть скачками. Если точка не является фиксированной точкой разрыва, то с вероятностью 1 выборочные функции непрерывны в точке Следовательно, исключив еще одно -множество имеющее вероятность О, мы можем сказать, что для всех выборочных функций, соответствующих точкам не лежащим ни в одном из множеств разрыв такой функции является скачком всегда, кроме, быть может, тех исключительных случаев, когда эта точка разрыва является одновременно одной из точек и фиксированной точкой разрыва. На этом доказательство теоремы заканчивается.

Теорема 11.5, так же как некоторые из предыдущих результатов настоящего параграфа, относится лишь к сепарабельным, а не к любым полумартингалам. Однако из результатов § 2 гл. II (теоремы 2.4 гл. II) следует, что для любого полумартингала существует сепарабельный полумартингал такой, что при каждом

Наши опирающиеся на сепарабельность результаты применимы тогда к процессу Можно также сформулировать эти результаты, не используя понятие сепарабельности. Чтобы показать, как это делается, мы приведем здесь следующую перефразировку пункта (II) теоремы 11.5.

[Теорема Пусть процесс является полумартингалом и конечное или счетное подмножество множества Тогда почти все выборочные функции процесса обладают следующим свойством:

они совпадают на множестве с функциями, определенными на всем и имеющими конечные пределы слева (справа) при каждом являющемся предельной точкой множества слева (справа).

Так как

то из первоначального варианта теоремы 11.5 вытекает этот новый вариант. С другой стороны, взяв в качестве У, конечное или счетное множество, входящее в определенно сепарабельности, мы видим, что из нашего нового варианта теоремы 11.5 следует также и ее первоначальный вариант.

Мы продолжим теперь рассмотрение вариантов теорем предыдущих параграфов, относящихся к случаю общего множества значений параметра.

(§ 5, закон нуля или единицы.) Пусть процесс с независимыми приращениями и случайная величина, которая при каждом измерима относительно семейства разностей

Тогда с вероятностью 1. Как и в случае дискретного параметра, доказательство может быть проведено либо прямым методом, либо с помощью теория мартингалов.

Мы займемся теперь изучением сепарабельного вероятностного процесса В частности, нас будут интересовать разности Мы будем использовать в дальнейшем без особых ссылок тот очевидный факт, что если процесс х, является сепарабельным и любая случайная величина, то процесс также является сепарабельным.

(Теорема 5.1.) Пусть сепарабельный вероятностный процесс с независимыми приращениями и пусть множество имеет минимальную точку а и максимальную точку Тогда, если то

(Придерживаясь ближе формулировки теоремы 5.1, можно было бы высказать несколько более общий результат, однако такое обобщение оказывается немедленным следствием теоремы 5.1 и не представляет самостоятельного интереса.) Сформулированный здесь результат можно доказать, повторяв для случая непрерывного параметра доказательство теоремы 5.1; с другой стороны, его можно свести к теореме 5.1, заметив, что, согласно этой теореме, искомое неравенство выполняется, если заменить левую часть неравенства на

конечное подмножество множества Отсюда следует, что неравенство остается выполненным, если взять в качестве счетное подмножество множества Так как процесс сепарабелен. то последовательность можно выбрать таким образом, чтобы с вероятностью 1 выполнялось равенство

и теорема полностью доказана.

Обобщение теоремы 5.2 на случай общего множества значении параметра очевидно, мы не будем приводить поэтому его подробную формулировку.

(§ 6, усиленный закон больших чисел для взаимно независимых случайных величин с одинаковой функцией распределения.) Пусть

сепарабельный процесс со стационарными независимыми, приращениями, у которого Тогда с вероятностью 1

Чтобы доказать эту теорему, заметим прежде всего, что в соответствии с ее вариантом для случая дискретного параметра, содержащимся в § 6,

и что с вероятностью 1

(В силу варианта теоремы 5.1 для случая общего множества значений параметра последнее математическое ожидание конечно.) Тогда

причем мы можем, очевидно, заменить здесь множитель на Вычитая получающееся соотношение из предыдущего предельного равенства, находим, что с вероятностью 1

Комбинируя этот результат с соотношением (11.4), получаем, что с вероятностью 1

что и требовалось доказать. Эту теорему можно было бы также доказать, установив сначала, что при

и показав затем при помощи варианта теоремы 4.2 пли 4.3 для случая непрерывного параметра, что члены этого равенства сходятся к пределу при По закону нуля или единицы этот предел должен быть постоянной величиной, причем эта постоянная равна 0, так как наш предел является случайной величиной того же самого мартингала, в который входит и величина значит, имеет одинаковое с ней математическое ожидание.

Сейчас мы займемся предварительным обсуждением некоторых вопросов, в ходе которого мы придем к вариантам теорем 2.1 и 2,2 для случая общего множества значений параметра. По сравнению с § 2 наше изложение будет более цельным, так как в § 2, имея в виду удобство дальнейших ссылок (в § 4), мы отдельно рассмотрели теорему 2.1 и лишь затем перешли к теореме 2.2.

Смысл интересующих нас вариантов теорем 2.1 и 2.2 состоит в том, что в предположении, что процесс является полумартингалом

или мартингалом, утверждается, что новый процесс получаемый из прэцссса при иомоща некоторого выбора, также является полумартннгалом пли мартингалом. В теоремах оба множества

я были множествами целых чисел. В рассматриваемом теперь более общем случае каждое из этих множеств может быть произвольным множеством на числовой прямой. Мы сделаем следующие предположения, которые сводятся в случае дискретного параметра к предположениям, принятым в § 2:

- вероятностный процесс.

052. При каждом задано борелевское поле измеримых -множеств, причем

б) величина или измерима относительно или совпадает почти всюду с функцией, измеримой относительно .

0S3. Почти все выборочные функции процесса имеют при всех конечные пределы справа

вероятностный процесс, определенный на том же пространстве что и процесс и обладающий следующими свойствами.

а) при каждом значения, принимаемые величиной входят в множество

б) величина является при фиксированном монотонно неубывающей функцией от а;

в) если а то или

или же стоящее слева -множество отличается не более чем на множество вероятности от некоторого множества из

Если каждое из полей содержит все -множества вероятности О, то более слабые альтернативные предположении в пунктах становятся ненужными. Предположение о том, что каждое из полей содержит все -множества вероятности 0, не является ограничением, так как если этого не было, то можно заменить борелевским полем, порожденным множествами из и множествами вероятности 0.

Мы определим теперь процесс получаемый из процесса при помощи свободного выбора. Пусть при каждом а через обозначена (не более чем счетная) совокупность всех тех значений величины которые она принимает с положительной вероятностью. Определим равенством

Это определение имеет смысл на -множестве вероятности 1, соответствующем тем выборочным функциям процесса для которых существуют пределы справа при всех значениях параметра, с тем исключением, что не определено, когда принимает с вероятностью одно из не более чем счетного числа значений из не являющихся предельными точками для справа. Другими словами, с вероятностью 1 мы определили при каждом а Мы докажем, что при таком определении величина является случайной величиной, т. е. измеримой функцией от Следует ожидать, что точно так же, как и в случае дискретного параметра, свойства мартингала и полумартингала для процесса перейдут в аналогичные свойства процесса Заметим, что, по теореме 11.5, предположение выполняется, когда процесс является сепарабельным мартингалом или полумартингалом.

Наиболее важным частным случаем свободного выбора является свободное прекращение, определяемое следующим образом. Пусть выполнены предположения и пусть случайная величина удовлетворяет следующему условию:

OS. а) Величина принимает значения только из множества а также, быть может, значение

или стоящее слева -множество отличается не более чем на множество вероятности от некоторого множества из Если мы положим, далее, и

то величина будет удовлетворять предположению и определенный таким способом свободный выбор мы будем называть свободным прекращением. Согласно этому определению

с тем, однако, исключением, что если принимает значение с положительной вероятностью, то

Предположим, что выполнены условия Мы будем пользоваться следующим методом аппроксимации. Для каждого положительного целого выберем конечную совокупность точек

так, чтобы первые точек из множества точки которого занумерованы в каком-то порядке, входили в совокунность чтобы любая точка множества лежащая в интервале отстояла от векоторои точки на расстояние, не большее чем и чтобы бесконечные точки, содержащиеся в также были бы среди Положим

Тогда величина будет измеримой функцией от , т. е. случайной величиной, и с вероятностью 1

Следовательно, также является случайной величиной. Нам будет полезно разобраться более полно в свойствах борелевского поля относительно которого измерима величина х. Наиболее важным является тот факт, что это борелевское поле определяется при помощи полей и величин а, и его определение не связано, таким образом, с Фиксируем

При каждом положительном целом обозначим через борелевское поле, порожденное -множествами вероятности и -множествами вида

где числа с не обязательно конечны, одна из первых точек множества не является внутренней точкой интервала и Не будет ограничением предположить при этом, что Если то мы понимаем указанные выше множества как

Положим

Определенный выше аппроксимирующий процесс х измерим относительно при достаточно большом у. Следовательно, каждом случайная величина измерима относительно так что измерима также и относительно Далее, при имеет место включение Чтобы доказать это, мы покажем, что для всех А для этого достаточно проверять, что каждое множество из класса множеств, порождающих входит в Достаточно рассмотреть множества из вида

где конечно; случай бесконечного требует лишь тривиальных изменений в рассуждениях. Заметим, что Так как то

и это выражение в виде суммы показывает что А, является одним из множеств

Цель дальнейших рассуждений состоит в том. чтобы показать, что при подходящих условиях регулярности полумарпшгал (мартингал) переходит в результате преобразования свободного выбора в полумартингал (мартингал) Заметим, что если беровская функция от и если определить равенством

то для процесса удовлетворяющего условиям и процесс также будет удовлетворять этим условиям с тем же самым семейством борелевских полей. Далее, если 9, удовлетворяет условию и если свободном выборе, - определяемом величинами та, для которых верно процесс переходит в процесс то при выполнении некоторых предположений о регулярности процесс также будет мартингалом (полумартцнгалом). Здесь поля определены так же, как и выше, и не зависят от выбора функции В частности, если функция непрерывна, то

и процесс 9, удовлетворяет условию если этому условию удовлетворяет процесс это наиболее важный частный случаи.

Перейдем теперь к рассмотрению варианта теоремы 2.2 для случая общего множества значений параметра. Для большей ясности мы разделим наши результаты на серию лемм и теорем. Эти результаты будут содержать теорему 2.2 как частный случай и будут даже усиливать ее в некоторых направлениях. Частный случай свободного прекращения, соответствующий теореме 2.1, не будет рассматриваться отдельно. Мы будем предполагать во всех доказательствах, что наши процессы действительны, опуская тривиальные замечания, которые нужно сделать для перехода к комплексному случаю. Во всем дальнейшем обсуждении мы будем предполагать, что полумартингал или мартингал, удовлетворяющий условиям и что он преобразуется в процесс при помощи величин удовлетворяющих условию

Лемма 11.1. Если , то

Для того чтобы доказать это соотношение, мы, предположив сперва, что скажем, что это по порядку точка множества упорядоченного так, как при определении полей Мы лишь усилим утверждение леммы, показав, что (11.6) верно для всех Достаточно рассмотреть только множества А вида

так как множества такого вида порождают Для каждого такого множества

что и требовалось доказать. В качестве второго случая предположим, что не является предельной точкой множества справа (в этом случае может как принадлежать, так и не принадлежать Выберем число настолько большим, что

Тогда мы снова лишь усилим утверждение леммы, еслп покажем, что (11.6) верно даже при Достаточно рассмотреть множества А того же вида, что и выше, с тем, однако, изменением, что точка может теперь лежать в интервале Однако в соответствии с нашим выбором числа если то в этом интервале справа от точки не лежит ни одна точка множества Следовательно,

Предположим, наконец, что и что является предельной точкой множества справа. Мы докажем сперва, что если то

при

Достаточно рассмотреть только те из множеств входящих в которые имеют вид

Из нашего предположения относитзльно следует, что если то так что

Мы доказали, таким образом, соотношение (11,6). Из этого соотношения следует, что

Так как в соответствии с предположением, что

так что

то мы вывели искомое соотношение (11.6).

Лемма 11.2. Предположим, что процесс х, мажорируется полумартингалом. Тогда если и если случайная величина интегрируема на -множестве равномерно относительно а. Если, является при каждом одной из точек а), то случайные величины, составляющие последовательность интегрируемы на -множестве равномерно относительно а и выбора чисел

Напоминаем, что полумартингал называется мажорирующим для процесса если

Если процесс является мартингалом, то мы можем положить Мы можем, конечно, положить если процесс является полумартингалом, образованным неотрицательными случайными неличинами. И вообще, так как положительные части величин образуют процесс являющийся полумартингалом, то условие существования процесса является условием на размеры отрицательных частей величину, т. е. на Если существует случайная величина для которой

то полумартингал мажорирующий процесс можно определить, как

В соответствии с пунктом (IV) теоремы 1.2, каждый полумартингал, для которого совокупность значений параметра является множеством целых положительных чисел, мажорируется некоторым полумартингалом, так что в этом случае всегда существует процесс Этот факт объясняет отсутствие упоминания о процессе в теоремах 2.1 и 2.2. Заметим, однако, что даже без предположения о существовании процесса можно доказать,

что величины интегрируемы на -множество , если принять несколько более слабое допущение

Приступая к доказательству леммы, положим

Пользуясь свойством полумартингала для процесса получаем

где совокупность тех из точек которые содержатся в интервале Далее, в соответствии с теоремой 3.2

Следовательно, равномерно по 5

Поэтому левая часть неравенства (11.7) стремится к при равномерно по и всевозможным набором В силу равномерной интегрируемости, (11.7) приводит при к соотношению

где - некоторое конечное или счетное подмножество множества содержащееся в интервале Так как соотношение (11.8) выполняется для конечных множеств, то оно выполняется и для счетных множеств. Следовательно, вероятность области интегрирования для интеграла, стоящего в правой части соотношения (11.9), стремится к при равномерно по V, откуда и следует справедливость леммы.

Лемма 11.3 Предположим, что процесс х, мажорируется полумартингалом. Пусть Тогда если, процесс х, является полумартингалом, то

и

Если процесс является мартингалом, то эти неравенства превращаются в равенства.

Предположим, что процесс является полумартингалом. Выберем точки сразу для и для так, что теперь определена обе величины и и с вероятностью 1

Положим

Тогда в силу леммы 11.1

так что, используя свойство полумартингала для процесса получаем, что

Предположим теперь, что при каждом точка — одна из точек Тогда, выбрав в предыдущем неравенстве так, чтобы было и суммируя по всем находим, что

В соответствии с леммой 11.2 подинтегральные функции интегрируемы здесь (по указанным областям интегрирования) равномерно по Следовательно, при мы получаем (11.10). Для того чтобы получить (11.11),

применим неравенство полумартингала к первой строке соотношений (11.12); тогда будем иметь

Суммируя по всем и положив получаем отсюда (11.11). В случае мартингала все использованные неравенства обращаются в равенства, так что равенство имеет место также в (11.10) и (11.11). Теорема 11.6. Предположим, что

и что

Тогда если, процесс является полумартингалом (мартингалом), то и процесс также является полу мартингалом (мартингалом), причем

В случае мартингала эти неравенства превращаются в равенства.

Мы предположим сначала, что процесс мажорируется полумартингалом Позже мы укажем, как можно избавиться от этого ограничения.

Применяя лемму 11.2 при видим, что Положив соотношении (11.10), находим, что

Это и есть неравенство полумартингала для процесса Согласно лемме 11.3, если процесс является мартингалом, то в последнем соотношении можно заменить неравенство на равенство, так что процесс также будет мартингалом. Положив в мы получаем правое из неравенств (11.13), причем в случае мартингала это неравенство превращается в равенство. Так как в случае мартингала первый и третий члены неравенства (11.13) равны друг другу, то и в левом из соотношений (11.13) будет при этом равенство. Остается доказать левое из неравенств (11.13) для случая полумартннгала. Если множество пмеет минимальный элемент а, то левое из неравенств (11.13) доказывается точно так же, как и в случае дискретного параметра, где (см. доказательство теоремы 2.2), и мы не станем повторять здесь этот вывод. Покажем теперь, что мы можем всегда предположить, что множество содержит минимальный элемент. Именно покажем, что если вначале не имело минимального элемента, мы можем присоединить к такой минимальный элемент, причем из выполнения рассматриваемого нами неравенства для расширенного процесса будет следовать его справедливость и для первоначального процесса. Сделав, если нужно, монотонное преобразование множества мы можем добиться того, чтобы множество стало ограниченным. Итак, пусть ограничено, но не имеет минимального элемента: положим По условиям теоремы

Тогда в соответствии с пунктом (I) теоремы 11.2 с вероятностью 1 существуют пределы

(здесь мажорирующий полумартингал), где стремится к а по любой последовательности значений параметра. Присоединив к точку и положив

мы получим искомый процесс, обладающий минимальным значением параметра. Мы присоединили к точку не точку а, для того, чтобы не нужно было проверять свойство для нового значения параметра.

Избавимся теперь от предположения о существовании мажорирующего полумартингала. Если полумартингал и если где отрицательное целое число, то процесс также является полумартингалом, и

Правая часть этого неравенства является полумартингалом, мажорирующим полумартингал Применяя теорему 11.6 к процессу и переходя к пределу при найдем, что утверждение этой теоремы верно и для самого процесса Теорема 11.7. Всегда

причем если величины неотрицательны, то множитель 3 можно заменить на 1.

Сделав, если нужно, монотонное преобразование множества значений параметра, мы мэжзм считать, что это множзство ограничено. Пусть наименьшая верхняя грань математических ожиданий, входящих в правую часть (11.14), и Определим равенством

Пусть

и пусть множество состоит из точек множества и точки Тогда семейство величин удэвлетвэряет условию Предположим, что процесс переходит в результате свободного выбора, определяемого семзйством величин в процесс Так как множество содержат последний элемент то в соответствии с теоремой 11.6 прэцзсс является полумартингалом. Следовательно, для этого преобразования свободного выбора удовлетворяется соотношение (11.13), которое показывает, что

В соответствии с пунктом (II) теоремы 3.1

Вспомнив определение величин находим, что это неравенство эквивалентно при неравенству

откуда при следует (11.14). Как видно из доказательства, оценку можно заменить на

В частном случае, когда неотрицательны, неравенство (11.13) показывает, что

При это неравенство приводит к неравенству (11.14) с той разницей, что в правой части вместо будет теперь Использованный здесь способ вывода можно было бы также применить для получения правой части неравенства (11.13).

Лемма 11.4. При имеет место неравенство

Для доказательства этой леммы введем случайные величины определяемые равенствами

Семейство случайных величин, состоящее из двух величин и удовлетворяет условию Пусть в результате свободного выбора, определяемого величинами и процесс переходит в процесс, образованный двумя случайными величинами Так как совокупность. значений параметра содержит последний элемент то по теореме. 11.6 процесс является полумартингалом, и в силу неравенства полумартингала мы имеем

что и требовалось доказать. Теорема 11.8. Пусть

(1) Если процесс х, является полумартингалом, если

и если

то процесс также является полумартингалом, причем

(II) Если выполнено условие (11.15) и если

то неравенство (11.17) можно усилить до неравенства

при этом, если процесс х, является мартингалом, то процесс также является мартингалом и в соотношении (11.17) имеет место равенство.

(III) Из каждого из указанных ниже условий вытекает соотношение (11.15). Из каждого из условий вытекает также соотношение (11.16), а из условия вытекает соотношение (11.16).

С1. Величины, равномерно интегрируемы.

С2. Каждая из величин с вероятностью 1 ограничена сверху некоторой постоянной, входящей в и

C. Существует постоянная обладающая следующими свойствами. Множество значений параметра содержит все целые числа, большие или равные К (но не содержит ). Для каждого целого и каждого а с вероятностью 1

Кроме того,

и

(IV) Из указанного ниже условия [соответственно следует выполнение условий (11.15) и (11.16) [соответственно (11.15) и (11.16)].

С. Выполнено соотношение (11.15), и существуют случайная величина и последовательность чисел такие, что

С. Процесс является мартингалом, выполняется условие (11.15) и существуют случайная величина и последовательность чисел такие, что

Доказательство пунктов (I) и (II). Мы могли бы использовать для доказательства пункта (1) теорему 11.6, рассуждая аналогично тому, как это было сделано при выводе леммы 11.3. Однако в нашем распоряжении уже есть необходимые неравенства, и мы поступим поэтому по-другому. Мы предположим при доказательстве, что процесс мажорируется полумартингалом. Переход к общему случаю проводится точно так же, как в конце доказательства теоремы 11.6. Согласно лемме 11.3, если

и если процесс является полумартиягалом, то

При мы в силу (11.15) и (11.16) получаем

так что процесс является полумартингалом. Неравенство (11.17) доказывается точно тем же путем, что и левое из неравенств (11.13). При условиях (11.15) и (11.16) правое из неравенств (11.17) следует из (11.11) при Этим заканчивается доказательство пунктов (I) и (II) для случая полумартингала. В случае мартингала знак неравенства в первой строке (11.21) заменяется на знак равенства; это равенство и приводит при к равенству мартингала для процесса В случае мартингала крайние члены неравенства (11.17) равны друг другу.

Доказательство пункта (III). Если величины равномерно интегрируемы, т. е. если выполнено условие то ограничено по и тогда в силу теоремы Таким образом, условие (11.15) выполнено. Вэтом случае выполняется также и предельное соотношение (11.16), так как при область интегрирования в (11.16) стягивается к множеству вероятности 0. Если каждая из величин с вероятностью 1 ограничена сверху некоторым числом, принадлежащим т. е. если верно то (11.15) выполняется в силу леммы 11.2. (По тем же соображениям, что и выше, здесь несущественно использованное в лемме 11.2 предположение о существовании мажорирующего полумартингала.) Так как в этом случае интеграл в (11.16) обращается в нуль при значениях достаточно близких к то выполняется, также условие (11.16). (Изучение случая мсжно было бы свести тривиальным образом к случаю, рассмотренному в теореме 11.6.)

Пусть теперь выполнено условие Мы предположим сначала, что существует полумартингал мажорирующий процесс и такой, что при каждом

Впоследствии мы покажем, каким образом мсжно избавиться от этого ограничения. Положим

Мы предположили здесь, что К — целое число. Если это не так, то К можно заменить любым целым числом, большим К. Полежим также

Тогда

По предположению, -множество принадлежит полю Следовательно, мы можем использовать условия (11.18) и (11.19) для того, чтобы продолжить это неравенство и получить

Предположим теперь, что точки входят в число точек а. Тогда

Учитывая, что подинтегральная функция в левой части неравенства интегрируема равномерно по мы находим, что при это неравенство переходит в неравенство

Мы получаем, таким образом, что если — целое число и то

Так как из леммы 11.2 мы уже знаем, что величина имеет конечный интеграл по множзству то мы показали тем самым, что соотношение (11.15) верно при условии Так как последний интеграл в предыдущем неравенстве стремится к при то верно также и условие (11.16), а следовательно, и более слабое условие (11.16).

Откажемся теперь от предположения о существовании мажорирующего мартингала Для этого мы положим, аналогично тому, как это было уже сделано раньше, где целое число, и введем полумартингал

мажорирующий процесс Из основного предположения (11.18) следует, что для полумартингала верно условие (11.18). Значит, для процесса выполнены условия (11.15) и (11.16). Переходя к пределу при получаем искомое утверждение теоремы.

Доказательство пункта В случае условие (11.15) выполняется по предположению. Чтобы доказать соотношение (11.16), заметим, что в случае с вероятностью 1

Отсюда следует, что если фиксировано и то

Таким образом, условие (11.16) выполнено. Наконец, в случае надо применить только что развитые соображения не к процессу а к процессу и отсюда будет следовать искомый результат.

Доказательство теоремы теперь полностью закончено. В приложениях в качестве поля выбирают обычно поле -множеств, определяемых условиями, наложенными на при и мы будем считать в дальнейшем, что поля задаются именно таким образом, если только специально не будет оговорено противное.

Данное нами определение произвольного выбора оказывается полезным для многих целей. Его можно, однако, видоизменять различными способами. Например, мы можем увеличить каждое множество присоединяя к нему любое конечное или счетное множество точек из и меняя тем самым определение (11.5) величин При таком изменении как полученные только что результаты, так и их доказательства остаются в силе.

В качестве приложения свободного выбора рассмотрим обобщение результатов о последовательном анализе, полученных для случая дискретного параметра в § 10. Пусть сепарабельный однородный по времени процесс с независимыми приращениями, и пусть Мы примем следующие предположения регулярности (в гл. VIII мы увидим, что эти предположения в значительной степени вытекают из только что данного качественного описания процесса).

SA. Почти, все выборочные функции процесса непрерывны справа при всех значениях параметра.

где а — постоянная.

Пусть случайная величина, удовлетворяющая условию для функции, определяющей преобразование свободного прекращения. Мы хотим вычислить Естественно ожидать, что

Мы введем поэтому дополнительное ограничение, состоящее в существовании выводе искомого соотношения мы будем действовать точно так же, как и в случае дпскретного параметра, рассмотренном в § 10.

Пусть Тогда процесс х, является мартингалом с независимыми приращениями. Применим к этому процессу теорему 11.8. Множество в этом примере состоит только из одной точки, и соответствующая величина равна просто Условие выполняется в нашем случае с

Согласно теореме 11.8,

т. е. в нашем случае

что и дает искомое выражение для

Пример 4. Пусть процесс является мартингалом. Определим величину как наибольшее целое число, не превосходящее Тогда семейство случайных величин (все эти случайные величины являются, конечно, константами) определяет преобразование свободного выбора, а процесс получаемый в результате этого выбора, задается равенством

так что полученный мартингал совпадает с мартингалом, рассмотренным в примере 1. Здесь множество неотрицательных целых чисел, а множество неотрицательных действительных чисел.

Пример 5. Пусть сепарабельный процесс брауновского движения (см. пример 2) с В гл. VIII будет показано, что почти все выборочные функции этого процесса непрерывны во всех точках. Для каждого соответствующего непрерывной выборочной функции, определим как наименьшее значение параметра, при котором эта выборочная функция принимает значение Здесь некоторая фиксированная отличная от нуля константа. Случайная величина х удовлетворяет условию и ее можно поэтому использовать для определения преобразования свободного прекращения, приводящего к процессу такому, что

Согласно теореме 11.8, процесс является мартингалом, причем

хотя, конечно, в отличие от распределение величины уже не будет симметричным. Продолжая рассмотрение этого примера, покажем, что Чтобы сделать это, определим систему свободного выбора, в которой множество состоит только из одной точки, и соответствующая величина совпадает с х. Тогда условия теоремы 11.8 должны нарушаться, так как иначе мы получили бы, что

ибо — по определению В частности, не может выполняться условие С, теоремы 11.8. Поскольку условие (11.18) выполняется при

то не может выполняться вторая половина условия соотношение откуда

Пример 6. Пусть сепарабельный пуассоновскпй процесс, у которого

В гл. VIII будет показано, что почти все выборочные функции процесса непрерывны всюду, за исключением точек, где они делают скачки величины 1. Для каждого соответствующего такой выборочной функции, определим случайную величину как значение параметра, котором выборочная функция делает свой первый скачок. Тогда величина имеет распределение, задаваемое плотностью и

Положим

Тогда процесс окажется мартингалом. Мы иллюстрируем теорему 11.8 одним примером, в котором можно провести точные вычисления. Определим преобразование свободного выбора, в котором множество состоит только из одной точки, причем соответствующее так что Тогда

Здесь приложима теорема 11.8 (используется условие и мы находим, что

Тем самым мы еще раз вычислили Этот пример иллюстрирует также вариант для случая непрерывного параметра рассмотренных выше результатов, относящихся к последовательному анализу.

[Теорема 4.1s (IV).] Пусть сепарабельный полумартингал, и пусть почти все выборочные функции этого процесса являются непрерывными функциями. Тогда предел существует и конечен почти всюду, где

Прежде чем доказать эту теорему, мы заметим, что по теореме 11.5 два -множества

отличаются не больше, чем на -множество вероятности 0. Пусть первое значение параметра (если такое значение существует), для которого где некоторая постоянная. Зададим преобразование свободного прекращения, определяемое величиной Тогда процесс состоит из неположительных случайных величин и является полумартингалом. Следовательно, в соответствии с вариантом для случая общего множества значений параметра пункта (I) теоремы предел существует и конечен с вероятностью 1, т. е. предел существует и конечен почти всюду, где откуда, так как произвольно, следует, что этот предел существует конечен всюду, где Этим заканчивается доказательство теоремы. Используя по существу те же самые рассуждения, можно было бы вывести утверждение теоремы, заменив предположенпе о

непрерывности выборочных функций предположением о том, что

(Нужно также предположить измеримость этой верхней грани.)

Сделаем теперь небольшое отступление, вернувшись к теории мартингалов с дискретным параметром. Пусть действительные чайные величины, удовлетворяющие условиям

и

где неотрицательные постоянные. Положим

и

Мы уже отмечали, что условие (11.23) означает просто, что процесс является мартингалом, для которого

Пусть — борелевское поле -множеств, задаваемое условиями, наложенными на величины или, что то же самое, условиями на величины Тогда из (11.23) и (11.24) следует, что с вероятностью 1

Другими словами, если выполнены соотношения (11.23) и (11.24), то процесс также является мартингалом (один из способов обнаружить этот факт основывается на замечании, что, поскольку процесс является мартингалом, процесс является полумартингалом, и что в представлении (1.5) для этого полумартиягала величины сводятся к константам). Обратно, если выполнено соотношение (11.23), и если процесс является мартингалом, то выполнено также и соотношение (11.24). В частности, (11.24) верно, если величины взаимно независимы и имеют нулевые математические ожидания и конечные дисперсии. В этом частном случае приложима центральная предельная теорема (см. § 4 гл. 111), которая показывает, что при соответствующих дополнительных ограничениях, сводящихся по существу к требованию, чтобы был мал величина имеет приблизительно гауссовское распределение.

Доказательство этого утверждения методом характеристических функций состоит, грубо говоря, в том, что если характеристическая функция случайной величины Характеристическая функция величины то (приблизительно)

так что (приблизительно)

Как мы сейчас увидим, эти соображения применимы и в общем случае, когда величины удовлетворяют лишь условиям Пренебрегая остаточными членами, находим, что

так что (приблизительно)

Складывая эти соотношения, находим, что (приблизительно)

так же как и в случае суммы независимых случайных величин Таким образом, ясно, что центральная предельная теорема приложима к мартингалам так же, как и к суммам взаимно независимых случайных величин.. Этот факт был отмечен впервые Леви. Мы не будем здесь подробно рассматривать случай дискретного параметра, но нам пригодится один результат в этом направлении, относящийся к случаю непрерывного параметра. Мы будем рассматривать действительные мартингалы для которых Тогда процесс также является мартивгалом относительно полей так что процесс является полумартингалом относительно тех же полей. Следовательно, функция определяемая равенством

является монотонно неубывающей функцией. Более того, легко проверить, что процесс имеет ортогональные приращения, так что

Фиксированные точки разрыва процесса являются точками разрыва функции По аналогии с (11.24) мы будем считать, что для любой пары чисел с вероятностью 1

Это условие эквивалентно условию, состоящему в том, что процесс

является мартингалом. Если допустить, что функция непрерывна, что процесс не имеет фиксированных точек разрыва, то замена параметра где сводит наш процесс к частному случаю, когда Этот случай мы теперь и рассмотрим.

Теорема 11.9. Пусть процесс является действительным мартингалом и пусть почти все выборочные функции этого процесса непрерывны. Предположим, что

и что для каждой пары чисел где с вероятностью 1

т. е. что процесс является мартингалом. Тогда процесс является процессом с независимыми прирагцениями, а именно процессом брауновского движения.

Основной пункт доказательства этой теоремы состоит в том, чтобы доказать, что разность имеет гауссовское распределение. Такой характер распределения интуитивно ясен, так как разность может быть представлена как сумма большого числа малых случайных величин.

Величины удовлетворяют условию так что естественно ожидать, что в этом случае применима центральная предельная теорема, которая и приведет к искомому результату. В приводимом ниже формальном доказательстве интересующей теоремы отчетливо видны упрощения, которые вносит правильное использование теоремы 11.8. Для того чтобы упростить обозначения, мы положим Далее, мы предположим, что каждое из полей содержит все -множества вероятности О (как мы показали выше, это предположение не ограничивает общности). Заменив, если это нужно, на мы можем предположить, что Пусть некоторое положительное число, положительное целое число и наименьшее значение для которого

если не существует такого значения (мы игнорируем здесь разрывные выборочные функции). Тогда и условие является ограничением на поведение непрерывных выборочных функций только при значениях параметра, не превосходящих так что Действительно, если и если ограничиться только непрерывными выборочными функциями, то

где рациональны. Следовательно, и мы можем определить при помощи случайной величины преобразование свободного прекращения, в котором задается равенством

Так как оба процесса являются мартингалами, то, согласно пунктам (I) и (III) теоремы 11.8, процессы

также являются мартингалами, так что

Следовательно,

Подинтегральная функция в левой части неравенства измерима относительно поля а само неравенство верно для всех Следовательно, с вероятностью 1

Процесс обладает, таким образом, почти теми же тремя основными свойствами, что процесс А именно, процесс является мартингалом, почти все выборочные функции процесса непрерывны и выполнено условие (1.26) [заменяющее теперь более сильное условие (1.25); условпе (1.26) эквивалентно утверждению, что процесс является нижним полумартингалом]. Далее, процесс обладает тем простым свойством, что при малых приращения за время равномерно ограничены. В частности, если

то

Из свойства мартингала, примененного к процессу и неравенства (11.26) следует, что с вероятностью 1

Мы покажем теперь, используя соотношения (11.27) и (11.28), что распределение величины близко к нормальному. Выберем так, чтобы при и чтобы удовлетворяло еще некоторым условиям, которые мы укажем ниже. При мы имеем

где под (и здесь, и в дальнейшем) понимается любое выражение, которое при стремится к О равномерно по всем переменным, от которых оно зависит, при X, заключенном в некотором конечном интервале, а под понимается любое выражение, остающееся ограниченным при тех же условиях. Отсюда следует, что при

Следовательно»

Складывая эти неравенства, находим, что

так что

Далее, при заданном мы можем, выбрав достаточно большое сделать вероятность сколь угодно близкой к 1; следовательно, выбрав достаточно большое , мы можем добиться того, что характеристические функции величии окажутся сколь угодно близкими друг к другу равномерно на любом фиксированном конечном интервале. Таким образом, можно выбрать настолько большим, чтобы имело место неравенство

Далее, из неравенства вытекает, что и поэтому

Мы выбрали настолько большим, чтобы вероятность была близка к 1, так что близка к 1 и вероятность Следовательно, последний интеграл в предыдущем неравенстве равен о (1), и это показывает, что

Так как от зависит только последний член то этот член должен равняться нулю, и, следовательно, величина имеет гауссовское распределение вероятностей с математическим ожиданием и дисперсией 1. Изменив тривиальным образом проведенное выше рассуждение, можно показать, что при

Тогда

откуда следует, что величины образуют гауссовский процесс с независимыми приращениями, что и требовалось доказать.