Глава VIII. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

§ 1. Общие замечания

Процессы с независимыми приращениями были определены в § 9 гл. II. Случай, когда значениями параметра являются целые числа, был уже рассмотрен ранее: в самом деле, мы заметили в § 9 гл. II, что если процесс, образованный случайными величинами имеет независимые приращения, то является частной суммой ряда из взаимно независимых случайных величин, а такие суммы были изучены в гл. III. Практически термин «процессы с независимыми приращениями» используют только в случае непрерывного параметра. Иногда пользуются также терминами «дифференциальные процессы», «аддитивные процессы» и «интегралы от независимых случайных элементов». Последний термин подсказан формальной записью

в которой дифференциальные элементы взаимно независимы.

Процессы с независимыми приращениями имеют вариант в широком смысле — процессы с некоррелированными (или ортогональными) приращениями; последние рассмотрены в гл. IV (случай дискретного параметра) и гл. IX (случай непрерывного параметра).

Нам будет удобно в некоторых дальнейших параграфах обозначать случайные величины, образующие процесс, через а не через как обычно.

Если процесс с независимыми приращениями, и некоторая функция, определенная на множестве то процесс также является процессом с независимыми приращениями. Нам окажется иногда удобным заменять х, на где функция подбирается таким образом, чтобы выборочные функции нового процесса обладали простыми свойствами непрерывности. Если множество содержит минимальный элемент а, то обычно оказывается удобным заменить х, на при этом получается новый процесс с независимыми приращениями, почти все выборочные функции которого обращаются в нуль при