§ 4. Спектральное представление стационарного процесса

В следующей теореме, так же как и в некоторых дальнейших теоремах о спектральном представлении стационарных пропессов, множество значений параметра все время будет предполагаться множеством всех целых чисел, а не, скажем, множеством положительных целых чисел. Обобщения, касающиеся этого последнего случая, мы опустим, так как они завели бы нас слишком далеко в сторону. Отметим только, что в последнем случае рассматриваемые ниже теоремы, вообще говоря, требуют некоторых изменений, однако в общих чертах характер выборочных последовательностей и здесь остается тем же самым.

Теорема 4.1. Каждый стационарный (в широком смысле) вероятностный процесс допускает спектральное представление

где процесс имеет ортогональные прирагцения и

При этом для процесса с ортогональными приращениями, удовлетворяющего равенству (4.1), выполняются соотношения

и при соответствующей нормировке функции эти соотношения однозначно определяют с точностью до значений на -множестве нулевой вероятности.

Если процесс действителен, то равенство (4.1) можно переписать в виде

где и действительные процессы с ортогональными приращениями, для которых

При этом для процессов с ортогональными приращениями,

удовлетворяющцих последним соотношениям и равенству (4.1), выполняются равенства

причем эти равенства определяют функции однозначно (с точностью до значений на -множестве вероятности 0), если только нормировать и соответствуюгцим образом.

Мы уже видели (см. § 3, пример 5), что любой процесс определяемый равенством (4.1) или (4.1) с функциями или удовлетворяющими указанным в формулировке теоремы условиям, является стационарным в широком смысле процессом. Заметим еще, что если то и для всех [в силу (4.2) верно и обратное], и что процесс оказывается гауссовским тогда и только тогда, когда гауссовским является процесс . Аналогичные замечания можно сделать и в отношении действительной формы спектрального представления.

Доказательство теоремы 4.1 отчасти является вероятностным аналогом доказательства теоремы 3.2 из § 3; мы будем здесь пользоваться теми же обозначениями, что и в этом последнем докавательстве. Поскольку ряд Фурье функции сходится к и частные суммы этого ряда ограничены, то он будет сходиться также и в среднем с любой весовой функцией относительно Следовательно, если случайные величины определевы равенством (4.1) то

откуда и вытекает (4.2). В последнем равевстве символ под знаком интеграла означает предел в среднем с весовой функцией а законность перехода к пределу в среднем под знаком интеграла была доказана в § 2 гл. IX.

Пусть теперь произвольный процесс, стационарный в широком смысле. Нетрудно доказать, что предел в среднем в равенстве (4.2) существует, так что это ресенство определяет некоторый процесс Этот процесс и будет тем процессом, который фигурирует в спектральном представлении (4.1). Непосредственное доказательство этого факта должно было бы заключаться в подстановке (4.2) в (4.1) и последующем

преобразовании правой части полученвого равенства, приводящем к величине однако такой подход требует сравнительно громоздких преобразований (особенно в случае, когда спектральная функция процесса х разрывна в точках и поэтому мы здесь воспользуемся другим методом, принадлежащим Крамеру и применимым также и в ряде других задач. Пусть линейное многообразие всевозможных линейных комбинаций величии х Определим скалярное произведение двух случайных величин х и у, как и расстояние между этими величинами, как

Пусть замыкание относительно введенного расстояния. Далее, пусть линейное многообразие линейных комбинаций функций на интервале Определим скалярное произведение двух функций заданных на этом интервале, и расстояние между ними соответственно как

где спектральная функция процесса Пусть замыкание многообразия относительно этого расстояния. Тогда будет совпадать с классом функций определенных на интервале измеримых относительно меры и таких, что

Будем считать две случайные величины идентичными, если они совпадают с вероятностью 1, и две функции на идентичными, если они равны почти всюду по мере Предположим еще, функция непрерывна справа, что, разумеется, но является ограничением. Сейчас мы определим взаимно однозначное соответствие между элементами многообразий которое сохраняет скалярное произведение, а следовательно, сохраняет и расстояние. Для этого мы сопоставим функции случайную величину вообще, конечной сумме величину Так как

то это соответствие, определенное пока только на является взаимно однозначным и сохраняет скалярное произведение расстояние. По непрерывности мы можем распространить это соответствие и на Пусть теперь случайная величина, соответствующая функции, равной 1 на интервале и вне этого интервала. Мы покажем,

что процесс как раз и дает представление (4.1) процесса Тот факт, что скалярное произведение сохраняется при введенном выше соответствии, показывает, что процесс будет процессом с ортогональными приращениями; тот факт, что при этом соответствии сохраняется расстояние, показывает, что Очевидно, при любом к случайная величина принадлежит многообразию Следовательно, и любая линейная комбинация величин лежит в более того, согласно определению стохастического интеграла (см. § 2 гл. IX),

Покажем, что этот стохастическпй интеграл является элементом соответствующим подинтегральной функции в В самом деле, по определению функции это утверждение будет справедливо, если характеристическая функция интервала Так как класс функций для которых справедливо наше утверждение, образует замкнутое линейное многообразие, содержащее эти характеристические функции, то в силу элементарного предложения теории приближения функций он будет содержать также и функцию где произвольное, т. е. будет совпадать со всем многообразием Наконец, согласно определению соответствия между величине соответствует функция Лпчто и завершает доказательство существования спектрального представления Если процесс удовлетворяет условиям

(это соответствует требованию, чтобы спектральная функция обращалась в при и была непрерывна справа то будет определяться формулой (4.2) однозначно с точностью до значений на множестве вероятности 0. Если эти условия не выполняются, то процесс можно заменить новым процессом таким, что

при этом будет уже процессом, удовлетворяющим нашнм условиям и одновременно удовлетворяющим соотношению (4.1). Заметим еще, что в силу произвола, содержащегося в определении стохастического пвтеграла, точное равенство в соотношении (4.1) будет иметь место только для одного специального выбора интеграла в правой части; при всех остальных способах выбора мы будем иметь лить равенство с вероятностью

Если процесс является действительным, то, комбинируя (4.1) с условием получаем, что (независимо от нормировки процесса

откуда легко выводится соотношение (4.1). Обратная формула (4.2)

получается после этого с помощью рассмотрения отдельно действительной и мнимой частей в формуле (4.2). Заметим, что в (4.1) подинтегральная функция, стоящая при обращается в нуль в точках и 1/2, так что если даже эти точки являются фиксированными точками разрыва для процесса соответствующие разрывы ничего не добавляют к величине стохастического интеграла (4.1). Если процессы и удовлетворяют условиям

то они определяются однозначно (с точностью до значений на множестве вероятности 0) равенствами (4.2); в противном случае нормировка, даваемая этими условиями, всегда может быть достигнута с помошью тривиальных преобразований, аналогичных переходу от к в комплексном случае.

Если спектр процесса состоит только из конечного числа точек, например является ступенчатой функцией со скачками величины в точках то наше спектральное представление сводится к представлению, рассмотренному в примере 3 § 3,

где

Процессами, рассмотренными в примере 3, можно в некотором смысле сколь угодно точно аппроксимировать любой стационарный в широком смысле процесс Именно, интеграл

является при любом пределом в среднем соответствующей суммы Римана — Стильтьеса

при а каждая такая сумма образует процесс того же типа, что и в примере

В большинстве практических приложений не зависит от Если, в частности, всех то, как мы видели, и так что процесс имеет не только ортогональные, но одновременно и некоррелированные приращения. В более общем случае, когда не зависит от процесс со значениями также будет стационарным в широком смысле; при этом часто оказывается удобным вместо спектрального представления самого пользоваться спектральным представлением процесса Процессы и отвечающие этим двум случаям, разумеется, весьма мало отличаются друг от друга; мы имеем

где отличается от лишь скачком величины в точке