§ 5. Спектральные разложения

Пусть попарно непересекающиеся множества значений), измеримые относительно меры и такие, что соединение этих множеств совпадает со всей прямой Тогда, как и в случае дискретного параметра, стационарный в широком смысле процесс со спектральной функцией может быть представлен в виде суммы взаимно ортогональных процессов того же типа, спектры которых сосредоточены соответственно на множествах Важный пример такого представления получается (как и в § 5 гл. X) из канонического разложения спектральной функции

где функция скачков для функции абсолютно непрерывная компонента, непрерывная сингулярная компонента функции Эти три монотонные функции возрастают на трех непересекающихся множествах (см. § 5 гл. X), и, следовательно, им соответствует разложение процесса

Если точки разрыва спектральной функции предполагается непрерывной справа), а если то

где случайные величины в квадратных скобках взаимно ортогональны. Этот ряд сходится в среднем для каждого фиксированного значения Соответствующая корреляционная функция почти периодична: 00