§ 5. Общее решение задачи о прогнозе (случай непрерывного параметра)

Пусть зависящий от непрерывного параметра стационарный в широком смысле процесс. Как и в гл. XI, в дальнейшем всегда будет предполагаться, что выполняется условие непрерывности

Пусть спектральная функция нашего процесса. Как и в случае процесса с дискретным параметром, мы введем специальные обозначения для ряда замкнутых линейных многообразий случайных величин и функций переменного [в последнем случае используется весовая функция

Функции из очевидно, получаются умножением функций из на Многообразие состоит из всех функций измеримых относительное и таких, что (см. аналогичные утверждения в § 1).

Задача о прогнозе значения по известным значениям конечного отрезка прошлого или всего прошлого этого процесса заключается (при ограничении линейным прогнозом и при оценке ошибки по методу наименьших квадратов) в минимизации

где фиксированы и Решением задачи в этом случае является величина причем, как и в случае дискретного параметра,

так что прогноз по известному конечному отрезку прошлого приближается к прогнозудо всему прошлому, когда длина этого отрезка неограниченно возрастает. В силу условия непрерывности, наложенного на процесс, совпадает с замкнутым линейным многообразием, порожденным случайными величинами где произвольная последовательность точек интервала всюду плотная в этом интервале. Таким образом, мы могли бы избежать явного использования несчетного множества случайных величин; однако для этого нет никаких оснований.

Замечания о нелинейном прогнозе, сделанные в § 1, переносятся на случай непрерывного параметра без всяких изменений.

Основной нашей задачей будет определение прогноза величины на срок вперед по всему прошлому этого процесса:

Эта задача о прогнозе будет нами решена при помощи сведения ее к случаю дискретного параметра. Для того чтобы избежать недоразумений, спектральные функции процессов с дискретным и с непрерывным параметром все время будем обозначать различными буквами, а именно — буквой соответственно,

Спектральное представление

индуцирует соответствие между случайными величинамп и функциями от (см. § 2), при котором величине соответствует функция и, вообще, величине соответствует функция где

При таком соответствии величина однозначно определяется (с точностью до значений на множестве вероятности функцией , а функция однозначно определяется (с точностью до значений на точечном множестве нулевой меры случайной величиной В частности, соответствует при любом

Вместо того чтобы формулировать задачу о прогнозе на языке случайных величин, ее можно сформулировать на языке функций от требуется найти прогнозирующую функцию принадлежащую и обращающую в минимум интеграл

(относительно всех из Очевидно,

Функция является проекцией на . Средний квадрат ошибки прогноза равен

Как и в случае дискретного параметра (см. § 2), с", является монотонно неубывающей функцией от и или или же при всех Первый случай мы будем называть сингулярным или детерминированным случаем, а второй — регулярным случаем. Каждому процессу с непрерывным параметром, имеющему спектральную функцию мы сопоставим процесс с дискретным параметром со спектральной функцией где

При этом, очевидно,

Многообразия и соответствуют друг другу при такой замене переменных. В случае дискретного параметра основную роль при решении

задачи о прогнозе играло многообразие определенное в § 4, как замкнутое линейное многообразие функций от X, заданных на отрезке порожденное последовательностью весовой функцией В случае непрерывного параметра подобную же роль играет многообразие Заметим, что многообразие функций от X при нашей замене переменных переходит в многообразие функций от , являющееся замкнутым линейным многообразием [замыкание с весовой функцией порожденным последовательностью

Мы сейчас докажем, что Во-первых, из представления

вытекает, что функция а следовательно, и функция при любом может быть равномерно аппроксимирована в каждом конечном интервале значений а ограниченными одним и тем же числом линейными комбинациями функций . Отсюда ясно, что Во-вторых, при функция

в области регулярна и по модулю меньше единицы. Следовательно, она может быть разложена в ряд по нзположительным степеням переменной сходящзйся при Таким образом, при любом эта функция является функцией от X из многообразия которой соответствует функция от из При и фиксированном X, неравном эта функция обращается в

Отсюда видяэ, что при функция можэт быть аппроксимирована равяостеиеннэ ограниченными функциями из Таким образом, при так что ; комбинируя это с полученным ранее результатом, получаем, что

Процесс с дискретным параметром является детерминированным тогда и только тогда, когда для всех достаточно даже, чтобы это равенство выполнялось для какого-нибудь одного значения например для Аналогично, и процесс с непрерывным параметром является детерминированным тогда и только тогда, когда Так как переходят то мы получаем, что процесс с непрерывным параметром является детерминированным тогда и только тогда, когда является детерминированным соотзетствующт ему процесс с дискретным параметром.

Это сразу приводит к следующзму аналитическому условию регулярности, соответствующэму условию (4.12), имевшемуся в случае дискретного параметра:

Теорема 5.1. Для того чтобы процесс с непрерывным параметром был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы производная его спектральной функции обращалась в нуль самое большее на множестве значений лебеговой меры и чтобы выполнялось условие

Эта теорема немедленно вытекает из теоремы 4.3, поскольку

так что интегралы

одновременно являются оба конечными или оба бесконечными.

Прежде чем идти дальше, посмотрим, во что переходит ряд Фурье для функции от X,

при переходе к функциям от Используя соотношение между находим, что

Так как, кроме того, при подходящем выборе коэффициентов

где

то окончательно мы имеем

Поскольку функции образуют ортонормированную последовательность функций на интервале (относительно веса то функции переменного

образуют ортонормированную последовательность функций на прямой (относительно веса Таким образом, функции являются преобразованиями Фурье ортонормированной последовательности функций и, следовательно, в силу равенства Парсеваля они сами образуют ортонормированную (по мере последовательность функций на Поэтому ряд сходится в среднем и, следовательно, все использованные выше операции являются законными. То обстоятельство, что ряд Фурье для функции не содержит членов соответствует тому, что функция как функция от а, является преобразованием Фурье функции, обращающейся в при положительных значениях аргумента.

В случае дискретного параметра важную роль играло условие, что Коэффициенты здесь обладали тем свойством, что Если произвести замену переменных

то это условие перейдет в условие

Положим теперь

Функции были выше определены так, что при действительном выполнялось соотношение

Но тогда это соотношение, очевидно, верно и при так что условие переходит в условие

[Так как при , то подинтегральная функция здесь убывает по показательному закону при возрастании ]

Теперь мы можем перейти к рассмотрению теорем о прогнозе для случая непрерывного параметра. Нам будет удобнее выводить эти теоремы в другом порядке, чем соответствующие теоремы в § 4. Начнем с теоремы, аналогичной теореме 4.4.

Теорема 5.2. Пусть ограниченная монотонно неубывающая функция на такая, что и Обозначим через ее сингулярную компоненту, и пусть множество (лебеговой меры ) есть множество роста компоненты Если самое большее на множестве лебеговой меры и

то существует измеримая по Лебегу функция с такая, что

(где интеграл в левой часта последнего равенства действителен и положителен) и такая, что для функции с, определяемой равенством

выполняется соотношение

Функция с определяется этими условиями однозначно с точностью до значений на множестве лебеговой меры 0.

Многообразие состоит из всех функций , измеримых относительно обращающихся в для почти всех (относительно меры Лебега) значений и таких, что

Многообразие состоит из всех функций вида

где

(II) Если условия пункта (I) не выполняются, то для всех и это многосбразие состоит из всех функций измеримых относительно и таких, что

(I) Если существует измеримая по Лебегу функция с такая, что и при для функции с, являющейся преобразованием Фурье функции с, выполняется соотношение (5.8) и если функции из задаются формулой пункта то с с точностью до множителя пропорциональности, равного по модулю единице, совпадает с однозначно определенной функцией, описанной в пункте (I).

(II) Если многообразие такое, как описано в пункте (II), то условие (5.6) не может иметь места.

Представление функции в пункте (I) [формула (5.8)] точно соответствует представлению функции в теореме Мы уже видели, что при переходе к функциям от многообразие переходит в В силу теоремы 4.4 отсюда следует, что указанное в теореме 5.2 описание многообразия для регулярного случая верно, во всяком случае, при Но так как состоит из функций из помноженных на то это описание верно и для всех Остальные утверждения теоремы 5.2 немедленно

получаются при помощи перехода в теореме 4.4 от функций аргумента X к функциям аргумента Последнее из условий (5.7) эквивалентно условию

Теореме 4.2 соответствует следующая теорема:

Теорема 5.3. Пусть -регулярный процесс. Тогда можно представить в виде о

где с — измеримая по Лебегу функция такая, что с при и

а процесс имеет ортогональные приращения, удовлетворяющие условию причем каждое приращение этого процесса ортогонально к любой величине при Указанным условиям, наложенным на удовлетворяют только функции, пропорциональные (с множителем пропорциональности, равным по модулю единице) функции с, фигурирующей в пункте (I) теоремы 5.2.

В представлении (5.9) процесса процесс является регулярным, а процесс детерминированным. Прогноз дается здесь равенством

а ошибка прогноза равна

и совпадает с ошибкой прогноза для процесса Спектральные функции процессов равны, соответственно, абсолютно непрерывной и сингулярной компонентам спектральной функции процесса

Для получения нужного нам представления мы воспользуемся спектральным представлением (5.1). Пусть сингулярная компонента функции пусть множество роста компоненты имеющее нулевую меру Лебега, и дополнение Определим процессы и (I) и равенствами

Тогда каждая величина будет ортогональна каждому Процессы стационарны в широком смысле, и их спектральные функции равны, соответственно, абсолютно непрерывной и сингулярной компонентам спектральной функции процесса Так как процесс регулярен, то из теорем 5.1 и 5.2 вытекает существование пары функций описанных

в теореме 5.2. Согласно равенству (5.8), процесс имеет, спектральную плотность в силу результатов § 8 гл. X отсюда вытекает, что этот процесс может быть представлен как процесс скользящего суммирования впда, даваемого интегральным членом равенства (5.9). Точнее говоря, мы можем представить процесс и в виде

где процессы и имеют ортогональные приращения с

и процесс является преобразованием Фурье процесса При этом процесс определяется однозначно (с точностью до значений на множестве вероятности равенством

Приращения процессов ортогональны ко всем величинам Пусть теперь определим функцию как

Тогда, в силу теоремы 5.2, и, следовательно, случайная величина

принадлежит многообразшо Пусть функции определена равенством

тогда следовательно,

принадлежит многообразию

Функция с, удовлетворяющая условиям нашей теоремы, должна быть пропорциональна функции с теоремы 5.2. Действительно, поскольку в условиях нашей теоремы многообразие является замкнутым линеиным многообразием, порожденным величинами а многообразие порождено многообразием и приращениями процесса с аргументами, не превосходящими то многообразия и являются здесь такими, какими они описаны в пункте (I) теоремы 5.2; после этого пункт той же теоремы и дает нам желаемый результат.

Прогноз х величины по известным значениям прошлого процесса вплоть до момента дается формулой (5.10); действительно, при этом и разность ортогональна так как эта разность включает только приращения процесса со значениями аргумента, не меньшими чем

Равенства (5.12) и (5.13) показывают, что при соответствии (5.2) случайная соответствует функдии даваемой формулой (5.12). Таккак прогноз соответствует прогнозирующей функции то отсюда вытекает, что дается равенством

Можно, конечно, и непосредственно проверить, что при таком определении и разность ортогональна