Глава IX. ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

§ 1. Свойства непрерывности

Процессы с ортогональными приращениями были определены в § 10 гл. II. Там было доказано, что каждому такому процессу соответствует монотонно неубывающая функция определенная с точностью до постоянного слагаемого, удовлетворяющая соотношению

которое мы будем также записывать символическп в виде

Свойства непрерывности функции следующим образом определяют свойства непрерывности процесса

Теорема 1.1. Пусть процесс с ортогональными приращениями. Определим как множество всех предельных точек за исключением максимальной и минимальной точек замыкания множества которое мы не будем включать в если только эти точки не принадлежат

(I) Каждой точке являющейся предельной точкой слева (соответственно справа), можно сопоставить случайную величину (соответственно ) такую, что

(II) Для каждого за исключением самое большее счетного множества значений, с вероятностью 1 выполняется следующее равенство между теми из фигурирующих в нем величин, которые имеют смысл:

Эта теорема почти очевидным образом вытекает из (1.1). Например» для того чтобы доказать, что существует достаточно заметить, что если есть предельная точка слева для то функция ограничена сверху при и

откуда и следует, что существует. Множество исключительных значений упомянутое в пункте это множество точек разрыва монотонной функции при этом, очевидно,

Обозначим через I интервал, ограниченный максимальной и минимальной точками замыкания причем сами эти крайние точки мы будем включать в в том и только в том случае, если они принадлежат Тогда мы можем определить и для значений так, чтобы полученный

процесс попрежнему имел ортогональные приращения. Действительно, предположим, что есть предельная точка справа. В таком случае мы положим Остальные точки множества заполняют сумму непересекающихся между собой полуоткрытых или открытых интервалов или где либо принадлежит, либо не принадлежит но всегда является предельной точкой справа. Положим в каждом из этпх интервалов это и завершает построение расширенного процесса

В дальнейшем в этой главе всегда будет предполагаться, что область значений параметра является интервалом. Полученный здесь результат показывает, насколько слабым ограничением является это предположение.