§ 6. Закон больших чисел для стационарных в широком смысле процессов

Теоремы § 6 гл. X без всяких затруднений переносятся на случай непрерывного параметра; при этом надо только заменить в формулировках теорем и в доказательствах суммы на ннтегралы. В связи с этим доказательства здесь будут опущены.

Теорема 6.1. Пусть стационарный в широком смысле процесс, имеющий спектральное представление

Тогда

Последний предел, очевидно, будет равен нулю, если или если .

Следствие. Для произвольного действительного числа

и

Как и в случае дискретного параметра, одвосторонние средние в предыдущих формулах могут быть заменены двусторонними средними: можно заменить на или даже на где . Наиболее важно, однако, то обстоятельство, что допустимо использование именно односторонних средних (см. § 6 гл. X).

Теорема 6.2. Предел, фигурирующий в следствии к теореме 6.1 (в частности, при предел, фигурирующий в самой теореме), существует с вероятностью 1 и равен 0, если только имеются положительные постоянные К и а такие, что следующие равные друг другу выражения удовлетворяют неравенству

Если то условия этой теоремы выполняются для всех о при они выполняются также для всех некотором если только для этого а справедливо неравенство