§ 4. Теоремы о сходимости

В настоящем параграфе мы докажем ряд теорем о сходимости мартингалов и полумартингалов. Теоремы, относящиеся к полумартингалам, лишь немногим слабее соответствующих теорем о мартингалах. Однако для достижения большей ясности мы будем формулировать теоремы для мартингалов и полумартиигалов отдельно, в связи с чем нам придется допустить некоторое дублирование.

Если - случайные величины, образующие мартингал, и если то, как мы уже знаем, величину можно представить в виде

где величины ортогональны. Следовательно,

так что не убывает с ростом как и должно быть в силу пункта (I) теоремы 3.1. В соответствии с теоремой 4.1 гл. существует тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда Следующая теорема уточняет этот не очень глубок ни результат.

Теорема 4.1. Пусть процесс является мартингалом. Тогда в силу пункта (I) теоремы 3.1

(I) Если то с вероятностью 1 сугцествует В частности, неравенство имеет место, если все величины действительны и неотрицательны или же все они действительны и неположительны.

(II) Следующие условия являются эквивалентными:

а) и случайные величины образуют мартингал.

б) Случайные величины равномерно интегрируемы.

Если выполнены эти условия и если наименьшее борелевское поле -множеств, содержащее то процесс является мартингалом.

(III) Если при некотором имеет место неравенство то выполняются условия пункта и

Обратно, если выполнены условия пункта (II) и если при некотором то

(IV) Если величины действительны и если

то предел существует и конечен для почти всех для которых

то с точностью до -множеств вероятности предел существует и конечен для тех и только тех для которых

Эта теорема является вариантом в узком смысле теоремы 7.2 гл. IV. Доказательство пункта Это утверждение теоремы достаточно доказать только для действительного случая, и мы будем считать поэтому, что все величины действительны. Предположим, что Пусть

и соответственно нижний и верхний пределы последовательности Тогда

Фиксируем и обозначим через число пересечений интервала последовательностью Если то монотонно возрастая, стремится к В то же время в силу теоремы 3.3

Из этих двух фактов следует, что каждое из слагаемых в (4.3) имеет вероятность 0, так что вероятностью 1 и, значит, с вероятностью 1 существует конечный или бесконечный предел лемме Фату с вероятностью 1, и

Далее, равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда величины равномерно интегрируемы. В частности, если все неотрицательны или же все неположительны, то, как следует из пункта (1) теоремы 3.1,

и, следовательно, И вообще, если мы положим где неотрицательны, то К будет конечно, если или ограничены при всех В самом деле, первое утверждение следует, например, из равенства

Таким образом, К конечно, если величины равномерно ограничены сверху или снизу случайной величиной, имеющей математическое ожидание.

Доказательство пункта (II). Если выполняется условие б), то Следовательно, при любом из условий а) пункта так что во всех этих случаях определена величина Условия в) и г) являются просто необходимыми и достаточными условиями для равномерной интегрируемости почти всюду сходящейся последовательности функций, и в них нет ничего специфически связанного с мартингалами. В силу пункта (III) теоремы 3.1, примененного к процессу из условия а) следует условие равномерной интегрируемости б). Обратно, если имеет место равномерная интегрируемость, то для того, чтобы проверить выполнение условия а), т. е. чтобы показать, что процесс является мартингалом, надо показать, что с вероятностью 1 при каждом (конечном)

т. е. надо показать, что

Поскольку первоначальная последовательность нвляется мартингалом, то при

При с вероятностью 1 будет и так как имеет место равномерная интегрируемость, то можно перейти к пределу под знаком интеграла в левой части равенства и получить искомое равенство (4.4).

Доказательства пункта (III). Если при некотором выполняется неравенство то из ограниченности этой сходящейся последовательности математических ояшданпй следует равномерная интегрируемость величин так что здесь выполняются условия пункта II. По лемме Фату

Поэтому в силу пункта (III) теоремы 3.1 или в силу более глубокой теоремы 3.4 последовательность (а следовательно, также последовательность является равномерно интегрируемой, так что из сходимости с вероятностью 1 следует, что Обратно, если выполнены условия пункта (II), то в силу пункта (I) теоремы 3.1.

Доказательство пункта Предположим, что выполнено условие (4.1). Пусть произвольное положительное число. Обозначим через первый индекс для которого если же такого индекса нет, положим Определим величины равенством

и положим Условие является условием, наложенным на величины и поэтому процесс получается из процесса при помощи преобразования свободного прекращения, определяемого случайной величиной Значит, в силу теоремы 2.1 процесс является мартингалом. Далее, Согласно замечанию, сделанному в конце доказательства пункта из того, что величины ограничены сверху случайной величинои, имеющеи математическое ожидание, следует, что последовательность ограничена. Из пункта (I) теперь следует, что предел существует а конечен с вероятностью 1. Так как

то отсюда следует, что предел существует и конечен для почти всех для которых т. е., так как произвольно, для почти всех для которых

Доказательство пункта (V). Пусть произвольное положительное число и первое целое для которого еслп такое существует, то положим Определим процесс х при помощи равенства обозначим через верхнюю грань в соотношении (4.2). Тогда, так же как и в пункте процесс х получается процесса при помощи преобразования свободного прекращения. Согласно теореме 2.1, процесс является мартингалом и

Таким образом, здесь выполнены условия пункта (III), и, значит, последовательность сходится с вероятностью 1 и сходится в среднем. Так как ряд состоит из взаимно ортогональных величин и сходится в среднем, то в силу теоремы 4.1 гл. IV

Поэтому с вероятностью 1

так как операция примененная к членам этого ряда, приводит снова к сходящемуся ряду. Далее,

так что неравенство

имеет место почти всюду, где так как произвольно, почти всюду, где существует конечен . Тем самым доказано одно из утверждений пункта (V). Чтобы доказать обратное утверждение, определим как наименьшее целое для которого

а затем определим величину х при помощи соотношения (4.5). Тогда, как и раньше, процесс оказывается мартингалом, и имеет место равенство

Беря здесь математические ожидания, находим, что

так что величина остается ограниченной при Поэтому из пункта (III) следует, что с вероятностью 1 предел существует и конечен, и следовательно, так как произвольно, что предел существует почтя всюду, где т. е. почти всюду, где выполнено (4.6).

Еслп последовательность является мартингалом и если так что существует предел то отсюда вовсе не следует, что мартингалам будет также последовательность Другими словами, пункт (I) теоремы 4.1 описывает более общий случай, чем пункт (II). Существуют простые примеры, подтверждающие этот факт; однако мы не будем приводить эти примеры здесь, так как они появятся

естественным образом в § 8. В § 5 мы увидпм, что условия пунктов (I) и (II) становятся эквивалентными, если разности взаимно независимы, т. е. еслп являются частными суммами ряда из взаимно независимых случайных величин.

Приводимые ниже следствия показывают силу теоремы 4.1. В последующих параграфах будет дано много других приложений этой теоремы.

Следствие 1. Пусть последовательность равномерно ограниченных неотрицательных случайных величин и пусть

Тогда ряд сходится для почти всех для которых сходится ряд и наоборот.

Если то процесс является мартингалом. 1.

Применяя к этому процессу и к процессу пункт ремы 4.1, находпм, что почти всюду существует предел и что этот предел конечен при тех для которых

Далее,

и отсюда вытекает, что рассматриваемые в этом следствии ряды должны с вероятностью 1 сходиться или. расходиться одновременно, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Пусть измеримые -множества и пусть условная вероятность относительно т. е. относительно поля, порождаемого этими множествами. Тогда множество точек содержащихся в бесконечно многих и множество точек расходимости ряда отличаются не больше, чем на множество меры 0.

Это следствие формулируют иногда более наглядным образом, говоря, что с точностью до вероятности бесконечно много событий из заданной последовательности событий происходит тогда и только тогда, когда расходится ряд, составленный из условных вероятностей событий относительно предшествующих событий. (Заметим, что эти условные вероятности являются, вообще говоря, не константами, а случайными величинами.)

Это следствие является обобщением леммы Бореля-Кантелли (теорема 1.2 гл. III). Оно получается, как частный случай следствия 1, если положить или в зависимости от того, входпт ли (в в множество или нет.

Следующая теорема представляет собой аналог теоремы 4.1, относящийся к полумартингалам.

Теорема Пусть процесс является полумартингалом, и пусть — наименьшее борелевское поле -множеств, содержащее у Тогда в соответствии с пунктом (I) теоремы 3.1

(I) Если то с вероятностью 1 существует предел

причем В частности, если величины неположительны, то математическое ожидание является монотонно невозрастающей функцией от так что в этом случае условие всегда выполнено; если величины неотрицательны, то это условие сводится к условию В этом последнем случае Если величины равномерно интегрируемы, то

процесс является полу мартингалом и мажорируется некоторым полу мартингалом относительно тех же самых полей.

б) Если так что существует и если процесс является полу мартингалом, то

причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда величины равномерно интегрируемы. В частности, оно всегда имеет место, если неотрицательны.

(III) Предположим, что величины неотрицательны. Тогда

Если при некотором то величины равномерно интегрируемы и.

Обратно, если равномерно интегрируемы и если при некотором то

то предел существует и конечен для почти всех для которых

то (с точностью до -множества вероятности 0) предел существует а конечен для тех и только тех для которых

Доказательство пункта (I). Метод доказательства пункта (I) теоремы 4.1. [являющегося частным случаем пункта (I) теоремы приложим без изменения к доказательству существования предела в рассматриваемом случае полумартингала. Мы однако приведем здесь другое поучительное доказательство, которое сводит искомый результат к соответствующему результату для мартингалов. В соответствип с пунктом теоремы предположений пункта (I) следует, что величины можно представить в виде

где процесс является мартингалом, величины неотрицательны, последовательность ограничена, с вероятностью 1 Следовательно, согласно пункту (1) теоремы 4.1 предел существует и конечен с вероятностью 1, так что с вероятностью 1

Утверждения пункта являются тривиальными следствиями этого результата.

Доказательство пункта Заменим предположения пункта (I) более сильными предположениями пункта состоящими в равномерной интегрируемости величин Чтобы доказать, что процесс

является полумартингалом, нужно проверить, что с вероятностью 1

Это можно показать прямым методом так же, как и в случае мартингала. Представляет интерес, однако, следующий метод доказательства. Согласно пункту (111) теоремы 1.2, величины в рассматриваемом случае равномерно интегрируемы. Поэтому из пункта (II) теоремы 4.1 следует, что процесс является мартингалом, так что с вероятностью 1

что и требовалось доказать. Далее, если мы обозначим через величину в правой части неравенства

то процесс будет мажорироваться полумартингалом Этот результат дополняет собой результат пункта (IV) теоремы 1.2. Предположим теперь, что выполнены условия пункта Тогда неравенство (4.7) следует из неравенства полумартингала. Далее, так как удвоенные положительные части величин образуют полумартингал

то в силу пункта (III) теоремы 3.1 случайные величины равво мерно интегрируемы. Следовательно,

(в частности, в соотношении (4.7) имеет место равенство, если величины неотрицательны). С другой стороны, согласно лемме Фату,

Комбинируя эти два соотношения, находим снова, что в нашем случае выполнено соотношение (4.7), и что в (4.7) равенство имеет место тогда и только тогда, когда имело место равенство при использовании леммы Фату, т. е. когда отрицательные части величин равномерно интегрируемы. Так как мы уже показали, что в наших предположениях положительные части величин всегда равномерно интегрируемы, то отсюда следует, что в (4.7) равенство имеет место тогда и только тогда, когда равномерно интегрируемы.

Доказательство пункта (111). Если величины неотрицательны, то величины образуют полумартингал для любого при котором они имеют конечные математические ожидания. Следовательно, не убывает с ростом Если

при некотором то величины равномерно интегрируемы; этот вывод совершенно не связан с теорией мартингалов. Поэтому в соответствии с пунктом (II) существует предел и процесс является полумартингалом. По лемме Фату следовательно, согласно пунку (1) теоремы 1.1, процесс также является полумартингалом. Так как случайные величины, образующие этот. полумартингал, неотрицательны и так как среди них есть последняя, то в силу пункта (III) теоремы 3.1 эти величины равномерно интегрируемы. Переход к пределу под знаком интеграла приводит к соотношениям

Для того чтобы доказать обратное утверждение пункта (III), достаточно заметить, что если полумартингал, образованный неотрицательными случайными величинами, и если то в силу пункта (I) теоремы 1.1 процесс также является полумартингалом, так что, согласно неравенству полу мартингала,

Мы уже видели, что так как неотрицательны, то в пределе при имеет место равенство.

Доказательство пунктов (IV) и (V). Используя обозначения, введенные в соотношении (4.10), находим, что

С помощью этих соотношений утверждения пунктов (IV) и сводятся соответствующим утверждениям (IV) и теоремы 4.1, примененным к мартингалу Заметим, что при выполняется условие (4.8).

Заметим, что как в этой теореме, так и в теореме 4.1 мы использовали степенную функцию

только потому, что мы имели в виду некоторые приложения; с тем же успехом мы могли бы взять любую выпуклую монотонно неубывающую при функцию для которой

Теорема 4.2. Пусть процесс является мартингалом. Положим

Тогда предел существует и. конечен с вероятностью 1, и процесс также является мартингалом. Величины равномерно интегрируемы и

Если при некотором математическое ожидание конечно, то

Эта теорема является вариантом в узком смысле теоремы 7.3 гл. IV. Достаточно доказать существование предела в действительном случае, и поэтому мы предположим пока, что действительны. Пусть соответственно нижний и верхний пределы последовательности Фиксируем числа и обозначим через число пересечений интервала выборочной последовательностью Тогда для каждого и, для которого величина при монотонно стремится к бесконечности. С другой стороны, в силу теоремы 3.3

и поэтому для любой пары чисел

Так же, как и при доказательстве пункта (I) теоремы 4.1, отсюда следует, что с вероятностью 1, а значит, и что существует предел являющийся конечной или бесконечной случайной величиной. При любом для которого

процесс является полумартингалом. Так как этот полумартингал образован неотрицательными случайными величинами, то в соответствии с пунктом (III) теоремы 3.1 эти величины равномерно интегрируемы. Отсюда следует (при что принимает с вероятностью 1 конечные значения, что

и что то же самое верно и для степени если только существуют соответствующие математические ожидания. Покажем теперь, что

совпадает с Для этого надо проверить, что для любого

Но из равенства мартингала и того факта, что при каждом следует, что

При это соотношение и переходит в искомое равенство (ввиду равномерной интегрируемости

Теорема Пусть полумартингал. Тогда предел существует с вероятностью 1 и с вероятностью 1 Положим

Тогда в силу пункта (1) теоремы 3.1

Если

то величина конечна с вероятностью 1 и

Кроме того, процесс является полумартингалом, образованным равномерно интегрируемыми случайными величинами. Если величины неотрицательны и если при некотором математическое ожидание конечно, то

Метод доказательства теоремы 4.2 применим без существенных изменений и к этой более общей теореме. Если то с вероятностью 1. В то же время из теоремы 3.2 легко выводится, что с вероятностью 1, так что то же самое верно для величины Приводимое ниже доказательство для случая помогает уяснить тесную связь между мартингалами и полумартингалами. Если предел конечен, то ряд

все члены которого неотрицательны, сходится с вероятностью 1, так математические ожидания его частных сумм мажорируются величиной

Далее, определим величины так, чтобы

аналогично тому, как это мы делали в Процесс — является мартингалом, и, следовательно, по теореме 4.2 предел существует и конечен с вероятностью 1, и процесс также является мартингалом. Поэтому с вероятностью 1

Для того чтобы показать, что процесс является иолумартингалом, остается проверить, что с вероятностью 1

но так как слагаемые в соотношении (4.12) неотрицательны, то

Величины равномерно интегрируемы, поскольку равномерно интегрируемы как величины [в силу вункта (III) теоремы 3.1], так и суммы, входящие в (4.12), так как они мажорируются суммой сходящегося ряда [равномерную интегрируемость можно получить и из пункта (IV) теоремы 3.1]. Наконец, если неотрицательны и если

при некотором то процесс является полумартингалом, образованным неотрицательными случайными величинами и содержит последнюю случайную величину, так что в силу пункта (III) теоремы 3.1 величины равномерно интегрируемы; переходя к пределу под знаком интеграла, мы находим, что

Теорема 4.3. Пусть случайная величина, у которой и последовательность борелевских полей измеримых множеств. Пусть и есть наименьшее борелевское поле множеств такое, что Тогда с вероятностью 1

Положим

Так как последовательность не убывает с ростом то (см. пример 1 § 1) процесс является мартингалом, и первое из соотношений (4.13) оказывается простым следствием теоремы 4.2. Процесс является полу мартингалом, образованным неотрицательными случайными величинами, и содержит последнюю случайную величину. Следовательно, в соответствии с пунктом (III) теоремы 3.1 случайные величины этого процесса равномерно интегрируемы. Поэтому в силу пункта (II) теоремы 4.1 предел Существует с вероятностью 1, и если заменить величину на у, то процесс будет мартингалом. Чтобы показать, что величины у а совпадают, и тем самым доказать второе из соотношений (4.13), заметим, что условное математическое ожидание характеризуется (с точностью до -множества вероятности 0) следующими двумя условиями: оно равно почти всюду случайной величине, измеримой относительно и его интеграл по любому

множеству из поля совпадает с интегралом по тому же множеству величины Если то применяя равенство мартингала, мы находим, что

Так как крайние члены равны при всех а следовательно, и при всех то, они равны и при всех В самом деле, так как есть по определению борелевское поле, порожденное полем а крайние члены приведенного выше равенства определяют две вполне аддитивные функции на множествах из совпадающие на множествах то, следовательно, эти функции совпадают на всем (см. дополнение, теорема 2.1). Таким образом, величина у удовлетворяет условиям, характеризующим так что эти две величины совпадают с вероятностью 1, что и требовалось доказать.

Заметим, что если поля определены только для достаточно больших или для достаточно малых значений то остается выполненной соответствующая половина теоремы 4.3.

Приводимое ниже следствие относится к наиболее важному частному случаю теоремы 4.3.

Следствие 1. Пусть случайная величина, для которой произвольные случайные величины. Тогда, если есть борелевское поле ожеств, определяемых условиями, наложенными на величины то с вероятностью 1

В частности, если случайная величина измерима относительно семейства величин то второй предел равен просто

Первое из этих соотношений сводятся к первому соотношений (4.13) при Чтобы свести второе из соотношений (4.13) ко второму из соотношений (4.13), отождествим с борелевское поле -множеств, определяемых условиями, наложенными на величины В частном случае, когда случайная величина измерима относительно семейства величин у второй предел по определению условного математического ожидании с вероятностью 1 равен самой величине

Следующая теорема является прямым следствием теоремы 4.3. Однако эта новая формулировка оказывается более удобной при изучении некоторых вопросов.

Теорема Предположим, что случайные величины образуют мартингал относительно последовательности соответствующих полей Положим Тогда с вероятностью 1

и случайные величины

образуют мартингал относительно последовательности борелевских полей

(II) Предположим, что случайные величины образуют мартингал относительно борелевских полей Пусть наименьшее борелевское поле -множеств, для которого Тогда с вероятностью 1

и случайные величины

образуют мартингал относительно последовательности борелевских полей

Эта теорема показывает, как можно расширить множество значений параметра для мартингалов некоторых типов; мы вернемся еще к этому вопросу в предпоследнем параграфе настоящей главы. Вариантом теоремы 4.4, относящимся к полумартянгалам, является следующая теорема доказательство которой мы проведем во всех деталях, так как некоторые из них но являются очевидными.

Теорема Предположим, что случайные величины образуют полумартингал относительно борелевских полей Положим Тогда предел

существует и конечен с вероятностью 1, и случайные величины образуют, полумартингал относительно последовательности борелевских полей Предположим, что случайные величины образуют полумартингал относительно последовательности борелевских полей Пусть наименьшее борелевское поле -множеств, для которого Тогда предел 1

существует и конечен с вероятностью 1, и

Случайные величины образуют полу мартингал если образуют, то обязательно и относительно последовательности борелевских полей тогда и только тогда, когда равны друг другу два первых члена неравенства (4.14) или (эквивалентное условие) тогда и только тогда, когда величины равномерно интегрируемы. Эти условия удовлетворяются, если, например, величины неотрицательны и, вообще, если процесс мажорируется некоторым полу мартингалом.

В связи с последним утверждением заметим, что еслп величины неотрицательны, то мы можем предположить также, что неотрицательна и величина так как процесс, образованный положительными частями величин также является полу мартингалом.

Доказательство пункта (I). В соответствии с теоремой предел существует и величины образуют полумартипгал относительно соответствующей последовательности полей. Остается только

докавать, что с вероятностью 1

т. е. что

Если заменить здесь то это неравенство полумартингала будет выполняться по предположению теоремы. Так как по теореме

то мы получаем искомое неравенство.

Доказательство пункта (II). В соответствии с пунктом (II) теоремы 3.1 из наших предположении следует, что

Отсюда вытекает существование величины Остальные утверждения пункта (II), за исключением неравенства, связывающего два последних члена в (4.14), легко следуют из пункта (II) теоремы Что касается вывода неравенства, то он проводится следующим образом. Пусть К — произвольное действительное число. Положим

Тогда в силу пункта (I) теоремы 1.1 случайные величивы

образуют полумартингал. Следовательно,

так что при мы находим, используя лемму Фату, что

т. е. что

Поэтому при

а из этого неравенства при вытекает искомое неравенство.