§ 10. Приложение к последовательному анализу

Пусть - взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения и конечным математическим ожиданием Пусть целочисленная случайная величина, обладающая тем свойством, что при любом к условие является условием, наложенным только на первые к из величин у., т. е. что -множество определяется условиями, наложенными на величины Положим

Для некоторых вопросов последовательного анализа важно уметь находить условия, при которых

Эту задачу легко решить при помощи теории мартингалов. В самом деле, если положить

то, как мы видели, последовательность случайных величин будет мартингалом. Еслп и если для некоторой постоянной К с вероятностью 1

то, согласно теореме .2.2, «последовательность» получаемая при помощи свободного выбора, является мартингалом, и В нашем случае условие (10.2) заведомо выполняется при

Равенство означает, что

а это и есть искомое соотношение. Подобным же образом можно получить аналогичные соотношения, включающие моменты старших порядков. Например, если то, как легко видеть, последовательность

является мартингалом. В самом деле, с вероятностью 1

Пусть борелевское поле -множеств, определяемых условиями, наложенными на величины Мы доказали, что процесс

является мартингалом. Условие теоремы 2.2, примененное к этому процессу, выглядит следующим образом:

Если и если

то это условие заведомо будет выполнено при соответствующим образом подобранном К. Оно удовлетворяется, например, если определить величину и как наименьшее целое для которого и если дано, что где заданные постоянные. Если это условие выполнено, то мы находим, рассуждая аналогично тому, как это делалось выше, что

Покажем теперь, как с помощью развитых выше соображений можно получить основную теорему последовательного анализа. Определим функцию комплексного переменного равенством

Тогда последовательность случайных величин где

является мартингалом при любом значении для которого существует В самом деле, при с вероятностью 1

Следовательно, процесс является мартингалом. Поэтому, если можно применить теорему 2.2, то

а это и есть основная теорема последовательного анализа. Условие теоремы 2.2 означает в рассматриваемом случае следующее: существует такая постоянная что с вероятностью 1

1. в. с вероятностью 1

Если существует такое значение для которого определено в и если при действительная часть произведения не превосходит где — некоторая постоянная, то это условие оказывается выполненным.

Мы предполагали в настоящем параграфе, что величины у у имеют одинаковую функцию распределения. Однако развитые методы приложимы, очевидно, и к общему случаю.