§ 8. Условные вероятности и математические ожидания: общие свойства

Пусть у — случайная величина, имеющая математическое ожидание, и пусть два борелевских поля измеримых -множеств. Пусть, далее, (соответственно борелевское поле, состоящее из тех -множеств, которые или являются множествами из (соответственно из 3), или же отличаются от таких множеств на множество вероятности 0. Предположим, что Тогда вовсе не должны быть равны с вероятностью 1. Второе условное матемалическое ожидание дает осреднение более грубое, чем первое. Точнее, оба условных математических ожидания имеют те же интегралы, что и у, по любому множеству из но первое из них может оказаться неизмеримым относительно Однако если первое условное математическое ожидание измеримо относительно то оба этих математических ожидания равны с вероятностью 1 в силу следующей теоремы:

Теорема 8.1. Предположим, что и что некоторый (а следовательно, и любой) вариант измерим относительно Тогда

с вероятностью 1

Для доказательства (8.1) достаточно заметить, что по предположению, измеримо относительно и имеет тот же самый интеграл, что и у, по любому множеству из так как оно имеет такой же интеграл, что и у, даже по любому множеству из Таким образом, удовлетворяет условиям, определяющим

Теорема 8.2. Пусть семейство случайных величин, и пусть множество несчетно. Тогда для любой случайной величины у, имеющей математическое ожидание, найдется (зависящее от счетное подмножество множестёа такое, что с вероятностью 1

Для любого подмножества множества обозначим через наименьшее борелевское поле, относительно которого измеримы все В левой части (8.2) стоит, по определению, любой из вариантов Будем, начиная с этого места, обозначать через тот частный вариант условного математического ожидания, который измерим относительно Тогда, в силу теоремы 1.6 дополнения, существует счетное подмножество множества такое, что измеримо относительной По теореме 8.1 отсюда следует, что с вероятностью

что и требовалось доказать.

Если борелевское поле измеримых -множеств и — некоторая функция от измеримая относительно и если то

с вероятностью 1. В самом деле, обладает всеми свойствами, фигурирующими в определении указанного условного математического ожидания. Мы докажем следующую, более общую теорему:

Теорема 8.3. Если у — случайная величина и некоторая функция, измеримая относительно борелевского поля измеримых -множеств, и если

то

с вероятностью 1 и

Равенство (8.3) является тривиальным следствием (8.3). Для функции принимающей только два значения и 1, (8.3) сводится к определению условного математического ожидания Для того чтобы получить (8.3), мы должны в соответствии с определением условного математического ожидания только доказать, что

Если теперь принимает значение 1 на множестве и значение О на дополнении к то (8.4) сводится к соотношению

справедливому в силу определения Отсюда сразу вытекает, что (8.4) верно, если является линейной комбинацией функций только что рассмотренного типа, т. е. если принимает лишь конечное число значений, каждое на некотором множестве из Общий случай легко доказывается с помощью предельного перехода.

Наиболее полезный частный случай. (8.3) состоит в том, что с вероятностью 1

где х и у — случайные величины, — беровская функция и

В § 7 условное математическое ожидание было определено в двух простейших случаях (случаи 1 и 2) как интеграл от у по некоторой условной вероятностной мере. Хотя, как мы увидим позже, такое определение не всегда возможно в общем случае, так как не всегда можно рассматривать при фиксированном как вероятностную меру множеств тем не менее величина рассматриваемая как функционал от у, обладает многими свойствами интеграла. Следующие результаты хорошо иллюстрируют это утверждение. (Здесь у — случайная величина и некоторое борелевское поле -множеств.)

Если с вероятностью 1 и если существует случайная величина с математическим ожиданием такая, что с вероятностью 1

то с вероятностью 1

В § 9 будет показано, как, используя теорию, развитую в § 6, можно получить эти результаты из соответствующих теорем теории интегрирования. Однако, быть может, будет поучительно вывести эти свойства и прямым способом. Свойства сразу вытекают из определения условного математического ожидания. Для того чтобы доказать предположим сначала, что у действительно. Тогда в силу с вероятностью 1

Следовательно, благодаря с вероятностью 1

так что справедливо для действительного у. Если у — комплексная величина, выберем случайную величину удовлетворяющую соотношениям

(здесь некоторый частный вариант условного математического ожидания, который считается в дальнейшем фиксированным). Пусть действительная часть Тогда, пользуясь тем, что измеримо относительно получаем, что с вероятностью 1

Так как действительно, то, применив свойство уже доказанное для действительного случая, к и воспользовавшись тем, что

мы приходим к искомому неравенству

(с вероятностью 1). Для того чтобы доказать определим как

Тогда с вероятностью 1

и с вероятностью 1

Из следует, что с вероятностью 1

Следовательно, достаточно доказать, что с вероятностью 1

Но из следует, что с вероятностью 1

так что с вероятностью 1 существует предел

Кроме того, по определению условного математического ожидания при

причем правая часть этого соотношения стремится к при так как она представляет собой интеграл от -последовательность мажорируется величиной и стремится к с вероятностью 1 при Таким образом, так что вероятностью 1, что и требовалось доказать.

Из перечисленных свойств условных математических ожиданий вытекают следующие свойства условных вероятностей (здесь измеримые -множества — борелевское поле измеримых -множеств): . С вероятностью 1

Если то с вероятностью 1

Если то с вероятностью 1

Если

или же

то с вероятностью 1

Если конечная или счетная последовательность непересекающихся множеств, то с вероятностью 1

С помощью перечисленных свойств условных вероятностей мы можем вывести следующее поучительное выражение для условного математического ожидания:

Теорема 8.4. Пусть у — случайная величина, имеющая математическое ожидание, борелевское поле измеримых -множеств и — положительное число. Тогда ряд

с вероятностью 1 абсолютно сходится, и если то с вероятностью 1

Заметим, что эта теорема не утверждает, что условные вероятности относительно образуют при фиксированном условную вероятностную меру и что представляет собой интеграл от у по этой вероятностной мере. Возможность такой интерпретации будет рассмотрена в § 9. Для того чтобы доказать нашу теорему, определим как

Тогда

В силу с вероятностью 1

Но так как с вероятностью 1

то мы доказали тем самым, что с вероятностью 1

Применяя этот результат к мы" получаем, что бесконечный ряд, частная сумма которого входит в левую часть предыдущего равенства, с вероятностью 1 абсолютно сходится и что, следовательно, с вероятностью 1

Последнее утверждение теоремы 8.4 оказывается теперь немедленным следствием свойства примененного к последовательности