Глава VII. МАРТИНГАЛЫ

§ 1. Определения; мартингалы и полумартингалы

Мартингал был определен в § 7 гл. II, как (действительный или комплексный) вероятностный процесс для которого и с вероятностью 1

каковы бы ни были целое число и значения параметра Из этого определения следует, что если, процесс является мартингалом, то и каждый процесс где также является мартингалом, и обратно, если процесс является мартингалом для каждого конечного множества то и сам процесс является мартингалом.

Пусть произвольный вероятностный процесс, и А — некоторое -множество, измеримое относительно семейства величин х, (см. § 7 гл. I). Для того чтобы приблизить терминологию к наглядному содержанию понятий, мы будем в дальнейшем называть такое множество А множеством, определяемым условиями, наложенными на величины Таким образом, (-множество будет множеством, определяемым условиями, наложенными на случайные величины тогда и только тогда, когда оно имеет вид где В является борелевским -мерным множеством (в действительном или комплексном пространстве) или отличается от такого множества на множество вероятности 0.

Используя данное в гл. I определение условного математического ожидания и изменив обозначения, находим, что соотношение (1.1) эквивалентно равенству

выполненному для каждого -множества А, определяемого условиями, наложенными на конечное число величин Последнее равенство будет в этом случае верным также для любого -множества, определяемого условиями, наложенными на величины так как любое такое множество может быть сколь угодно точно аппроксимировано множествами, определяемыми условиями на конечное число (или в сплу теоремы 2.1 дополнения). Условие (1.2) эквивалентно соотношению

выполненному с вероятностью 1 для каждой пары значений параметра Соотношение (1.1) используется иногда вместо (1.1) для определения мартингала. Равенство (1.2) мы будем называть равенством мартингала. Если равенство (1.2) выполняется для комплексных величин, то оно выполняется отдельно и для действительных и мнимых частей величин Таким образом, если процесс является мартингалом, то процессы, определяемые действительной и мнимой частями также являются мартингалами. В дальнейшем мы будем использовать этот факт для сведения теорем о комплексных мартингалах к теоремам о действительных мартингалах.

Пример 1 (см. также пример 1 из § 7 гл. II). Пусть случайная величина с Предположим, что каждой точке одномерного множества соответствует борелевское поле измеримых иьмножеств такое, что при Положим

Процесс является при таком определении мартингалом. Более того, мартингалом оказывается также процесс, получающийся, если добавить к еще одно значение параметра, лежащее правее всех значений из и сопоставить этому значению параметра саму величину Это утверждение можно было бы доказать, пользуясь правилами комбинирования условных математических ожиданий. Однако так как этот метод уже был использован нами в частном случае примера 1 из § 7 гл. II, то теперь мы пойдем по другому пути, а именно, проверим само равенство мартингала; иначе говоря, мы покажем, что если и если произвольное -множество, рпределяемое условиями, наложенными на конечное число величии то

а также, что это соотношение остается верным для всех если заменить в его правой части на Последующие рассуждения применимы независимо от того, проведена эта замена или нет. Рассматриваемое -множество или само входит в или самое большее отличается от некоторого множества из на множество вероятности 0. Поэтому, согласно определению условного математического ожидания, обе части этого соотношения равны

и искомое соотношение доказано.

В качестве частного случая только что рассмотренного примера мы получим теперь пример 1 из § 7 гл. II. А именно, пусть определено, как и выше, и пусть любые случайные величины. Тогда, если определить соотношением

то случайные величины будут образовывать мартингал. В самом деле, если определить как борелевское поле -множеств, задаваемых условиями, наложенными на то только что данное определение будет совпадать с определением, приведенным выше. На практике определяют обычно именно так, как в последнем частном случае, т. е. задают его как борелевское поле -множеств, определяемых условиями, наложенными на зависящую от совокупность случайных величин, причем эта совокупность возрастает с ростом Общий принцип, который мы будем многократно использовать, состоит в том, что если помещать под знак условного математического ожидания все более и более широкие системы условий, то возникающее при этом упорядоченное семейство случайных величин будет мартингалом.

Полумартингалом называется действительный процесс определяемый так же, как и мартингал, но с той разницей, что в основном определяющем соотношении равенство заменяется на неравенство, т. е. в (1.1), (1.2), (1.1) знак заменяется на Неравенство

мы будем называть неравенством полумартингала. Относящиеся к полумартингалам варианты соотношений (1.1), (1.2), (1.1) являются снова эквивалентными, так что каждое из этих неравенств может быть использовано для определения полумартингала. Иногда нам будет удобно (хотя это несколько непоследовательно) называть процессы, определяемые соотношением со знаком неравенства, направленным в другую сторону, нижними полумартингалами.

Частные суммы любого ряда, составленного из неотрицательных случайных величин с конечными математическими ожиданиями, образуют полумартингал. Более интересные примеры будут даны ниже.

Мы несколько сузим теперь определения мартингала и полумартингала. Пусть вероятностный процесс, в котором Предположим, что каждому соответствует борелевское поле измеримых -множеств такое, что

(II) величина или измерима относительно поля или равна при почти всех измеримой относительно функции;

либо

(III) каковы бы ни были значения параметра с вероятностью 1

либо

(III) процесс является действительным, и каковы бы ни были значения параметра с вероятностью 1

Из условий (III) и вытекают, соответственно, равенство мартингала (1.2) и неравенство полу мартингала для множеств содержащихся в отличающихся от множества из самое большее на -множество вероятности 0. В частности, они вытекают для множеств определенных условиями, наложенными на х, при Поэтому процесс будет мартингалом, если выполняется условие (III), и полумартингалом, если выполняется условие Чтобы подчеркнуть роль полей мы будем обозначать такой мартингал или полумартингал через и будем называть этот процесс мартингалом (или полумартингалом) относительно В соответствии с этим определением, если любой мартингал (полумартингал) и если борелевское поле -множеств, измеримых относительно семейства величин то процесс является мартингалом (полумартингалом) относительно Таким образом, каждый мартингал (полумартингал) является мартингалом (полумюртингалом) относительно некоторых борелевских полей -множеств, и в тех случаях, когда эти поля точно не указаны, мы всегда можем взять вместо них определяемые заданными случайными величинами поля, аналогичные только что рассмотренным

Если -мартингал или полумартингал и еслп — борелевское поле множеств, порожденное множествами из и множествами вероятности 0, так что состоит из множеств поля и множеств, отличающихся от множеств из на множества вероятности 0, то процесс также является мартингалом или полумартингалом. Другими словами, предположение, что содержит все множества вероятности 0, не ограничивает общности. Еслп это предположение выполнено, то можно несколько упростить условие (II), так как в этом случае величина равная почти всюду функции, измеримой относительно будет сама измерима относительно

Заметим, что если два процесса являются мартингалами (полумартингалами), определенными на одном и том же

пространстве и если при то процесс

также является мартингалом (полумартингалом). Однако если соответствующие поля множеств не совпадают, то процесс может и не быть мартингалом (полумартингалом). Если процесс является мартингалом и если где действительны, то процессы

также будут мартингалами.

Теорема Если процесс является полумартингалом, то для любой действительной монотонно неубывающей и выпуклой функции действительного переменного X такой, что при некотором процесс является полумартингалом.

(II) Если процесс является мартингалом, то процесс является полумартингалом.

(III) Если действительный процесс является мартингалом, то для любой действительной непрерывной и выпуклой функции действительного переменного X такой, что при некотором процесс является полу мартингалом.

Поскольку доказательства этих трех утверждений основаны на одном и том же принципе, то мы докажем здесь только первое из них. В случае (I) при из неравенства Иенсена (см. § 9 гл. I) следует, что

Далее, из выпуклости функции вытекает, что существует положительная постоянная с такая, что при всех X, меньших некоторого

Если теперь велико, то воспользуемся тем, что эта величина не превосходит интегрируемой функции, стоящей в правой части (1.3), если же велико то тем, что величина — не превосходит интегрируемой функции — отсюда следует, что интегрируема и сама функция Наконец, заметим, что неравенство (1.3) будет теперь выполняться для любой пары значений параметра (подставленных вместо если только а это одно из условий, необходимых и достаточных для того, чтобы процесс был полумартингалом.

Приведем теперь наиболее важные приложения этой теоремы. (Как обычно, мы считаем равным 0, если и равным если

а) Если процесс является полумартингалом, то процессы, образованные случайными величинами

также будут полу мартингалами, если только существуют соответствующие математические ожидания.

б) Если процесс является мартингалом, то процессы, образованные случайными величинами

будут полумйртингалами, если только существуют соответствующие математаческие ожидания.

Рассмотрим любой ряд составленный из случайных величин, имеющих математические ожидания. В соответствии с результатами § 7 гл. II последовательность частных сумм этого ряда образует мартингал тогда и только тогда, когда с вероятностью 1

Вычитая соответствующие условные математические ожидания, мы всегда можем получить из ряда 2 новый ряд

Слагаемые этого нового ряда обладают уже свойством (1.4), так что его частные суммы образуют мартингал. Таким образом, если в каком-нибудь частном случае удается оценить подходящим образом вычитаемые математические ожидания, то можно свести общий ряд к более удобному ряду, удовлетворяющему условию (1.4). Нам будет удобнее переформулировать развитые сейчас соображения в терминах частных сумм ряда. Пусть любая последовательность случайных величин, имеющих математические ожидания. Определим соотношениями

Тогда процесс является мартингалом (так как при выполняется равенство Переход от может принести пользу лишь в тех случаях, когда имеется достаточно сведений о поведении величин Так, например, если процесс является полумартингалом, то величины неотрицательны. Обратно, если можно представить в виде , где величины неотрицательны, а величины образуют мартингал, так что с вероятностью 1

то величины образуют полумартингал. Это описание полумартингалов в терминах мартингалов будет играть в дальнейшем важную роль.

Пример 2. Пусть -взаимно независимые случайные величины, имеющие математические ожидания, и пусть В этом случае процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда при и полумартингалом тогда и только тогда, когда действительны и при В этом последнем случае представление

является просто частным случаем представления (1.5), в котором величины являются неотрицательными постояняымп.

Если процесс является полумартингалом, то можно слегка обобщить представление (1.5) и получить

Здесь процесс является мартингалом, и величины измеримы относительно 1.

Условимся говорить, что процесс мажорируется полумартингалом если

Теорема 1.2. Пусть процесс является полумартингалом. Рассмотрим для этого полумартингала представление (1.5).

(I) Если то и с вероятностью 1

(II) Если то [в дополнение к заключениям пункта .

(III) Если величины равномерно интегрируемы, то [в дополнение к заключениям пунктов (I) и (II)] величины х также равномерно интегрируемы.

(IV) Полумартингал всегда мажорируется некоторым полумартингалом х. В частности, можно положить

Доказательство пункта (I). Пользуясь равенством мартингала, находим, что

так что

В силу предположения пункта (I) стоящие справа частные суммы ограничены при и отсюда сразу следует утверждение (I). Заметим, что в соответствии с неравенством полумартингала [или в силу равенства (1.7)] левая часть (1.7) монотонна по так что предположение пункта (I) означает просто, что

Доказательства пункта (II). Если предположение пункта (I) усилить до предположения пункта (II), то величина, стоящая в левой части неравенства

окажется равномерно ограниченной по

Доказательство пункта (III). Если предположения пункта (II) усилить до предположений пункта (III), то величина в левой части неравенства

окажется равномерно интегрируемой. Утверждение (IV) очевидно.

В этой главе мы не будем предполагать, что множество значений параметра процесса является обязательно либо интервалом, либо натуральным рядом чисел. Свойство (1.1) и соответствующее неравенство для полумартингалов имеют, очевидно, смысл всегда, когда область значений является упорядоченным множеством. Например, мы будем иногда рассматривать упорядоченные семейства случайных величин вида

Мы будем допускать в качестве множества значений параметра любое подмножество бесконечной прямой, пополненной точками и , и будем пользоваться соответствующими топологическими понятиями. Например, приведенные выше два множества значений параметра являются замкнутыми в этой топологии, а то время как множество всех целых чисел не является замкнутым, так как его предельные точки не входят в само множество.