§ 6. Изображения в произведениях пространств

Пусть случайная величина с функцией распределения Тогда (см. дополнение, пример 2.1) задает на одномерных множествах меру Лебега-Стильтьеса, определяемую равенством

Измеримыми одномерными множествами оказываются при этом множества, измеримые относительно Такими множествами являются, в частности, все борелевские множества. Любое событие, определяемое условиями, наложенными на х, скажем условием мы можем интерпретировать как одномерное точечное множество А, вместо того чтобы рассматривать его как -множество ; наше определение меры на прямой подобрано так, что в обоих случаях мы придем к одинаковым вероятностям. Формально это делается посредством сохраняющего меру отображения пространства точек на действительную прямую. Такие отображения подробно изучены в дополнении (см. в особенности пример 3.1). Основную идею этого параграфа можно, однако, уяснить и без этих детальных рассмотрений. Пусть координатная случайная величина на действительной прямой, т. е. функция, которая принимает значение в точке с координатой Предположим, что при некотором исследовании приходится иметь дело лишь со случайными величинами, определенными на пространстве 2 и имеющими вид где беровская функция действительного переменного или, в более общем случае, функция, измеримая относительно Тогда оказывается возможным, а зачастую и удобным заменить первоначальное основное пространство точек прямой линией, использовав меру определенную выше. При этом, например, любая зависящая от случайная величина вида переходит в случайную величину определенную на прямой линии, и эти две случайные величины, определенные на различных пространствах, имеют одинаковое распределение. И вообще, если являются случайными величинами такого вида, зависящими от то они переходят в случайные величины, определенные на прямой линии, причем совместные распределения для соответствующих совокупностей случайных величин, определенных на различных пространствах, оказываются одинаковыми. В качестве одного из приложений этой идеи рассмотрим, вопрос о вычислении математического ожидания величины . С точки зрения пространства 2 математическое ожидание

определяется как

С точки зрения нового основного пространства рассматриваемой случайной величиной является величина и ее математическое ожидание определяется как

(Равенство этих двух выражений доказано в дополнении, § 3.) Таким образом, не нужно обязательно возвращаться к первоначальному основному пространству, для того чтобы вычислять математические ожидания случайных величин.

Пусть действительные случайные величины с совместной функцией распределения Тогда, так же как и в одномерном случае, определяет вероятностную меру

на множествах А плоскости, измеримых относительно Предположим опять, что при некотором исследовании приходится иметь дело только со случайными величинами вида где измеримая относительно функция двух действительных переменных. Тогда, как и в одномерном случае, часто оказывается удобным заменить первоначальное основное пространство 2 пространством являющимся плоскостью Первоначальные вероятности, заданные на 2, индуцируют в результате сохраняющего меру точечного отображения вероятностную меру на пространстве 2, и для многих целей новое пространство является более удобным, чем старое. Так же, как и в предыдущем абзаце, математическим ожиданием , определенным в терминах пространства 2 и меры на нем, является интеграл

а тем же математическим ожиданием, определенным в терминах пространства 2 и его меры, является

и эти два выражения равны.

В общем случае пусть - любое семейство случайных величин и наименьшэе борелевское поле -множеств, относительно которого измеримы все величины Другими словами, это борелевское поле - множеств, порожденное классом -множеств вида где интервал. Тогда часто оказывается удобным заменить первоначальное основное пространство 2 пространством функций от В § 3 дополнения показано, что на этом пространстве функций может быть определена (так же как это было описано в § 5 настоящей главы вероятностная мера, такая, что если семейство координатных функций этого пространства, то каждый конечный набор величин имеет то же самое совместное распределение, что и соответствующий набор величин Действительно, существует отображение.

переводящее зависящие от измеримые относительно случайные величины в случайные величины, зависящие от причем это отображение взаимно однозначно (если считать совпадающими случайные величины, равные друг другу с вероятностью 1) и удовлетворяет следующим условиям:

(I) Отображение переводит величины в величины х, и любые беровские функции от конечной совокупности величин в те же самые беровские функции от соответствующих величин .

(II) Если зависящая от случайная величина х переходит в зависящую от случайную величину х и если существует математическое ожидание одной из этих случайных величин, то существует и математическое ожидание другой величины и эти математические ожидания равны.

(III) Если зависящая от случайная величина х принимает значение 1 на множестве и значение на дополнении к А, то наше отображение переводит х в зависящую от случайную величину х, принимающую значение 1 на измеримом -множестве на дополнениич к этому множеству; возникающее при этом отображение множеств взаимно однозначно (если считать идентичными множества, отличающиеся друг от друга на множество меры 0) и сохраняет меру.

Таким образом, любая задача, в которой изучаются случайные величины, зависящие от и измеримые относительно или множества из этого поля, может быть заменена соответствующей задачей о случайных величинах, зависящих от Класс задач, к которым применим этот способ, можно несколько расширить, пополнив вероятностную меру, определенную на Использованные здесь отображения детально изучены в дополнении. Частные случаи, когда состоит только из одной или только из двух точек, были рассмотрены отдельно в начале этого параграфа. Задачи, в которых изучаются случайных величин, могут быть сведены к задачам, в которых рассматривается -мерное координатное пространство, а задачи, в которых изучается бесконечная совокупность случайных величин, к задачам, в которых рассматривается бесконечномерное координатное пространство. В каждом случае первоначальные случайные величины переходят в координатные функции нового пространства.

В качестве примера приложения этих идей в случае, когда состоит из двух точек, рассмотрим теорему о том, что если х и у — взаимно независимые случайные величины, имеющие математические ожидания то также существует и

С первого взгляда эта теорема не кажется обычной теоремой об интегралах, и, действительно, она иногда излагается как весьма специальная теорема теории вероятностей. Заметим, однако, что в этой теореме рассматриваются лишь две случайные величины х и у и что поэтому можно применить отображение соответствующего основного пространства на плоскость. При таком отображении наша теорема превращается в классическую теорему из теории интеграла. Если имеют функции распределения соответственно, и если их совместная функция распределения, то

так как случайные величины независимы; поэтому после отображения основного пространства на плоскость равенство (6.1) принимает вид

Двойные интегралы в правой части равенства сводятся к однократным интегралам, так что (6.2) эквивалентно соотношению

Таким образом, (6.1) сводится к теореме о равенстве двойного и повторного интегралов.

До сих пор мы предполагали, что случайные величины являются действительными. Обобщение теории на случай комплексных величин совершенно очевидно, и детали такого обобщения мы поэтому опускаем.