§ 6. Приложение к усиленному закону больших чисел

Пусть взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения, причем Тогда с вероятностью 1

Эта теорема была получена в гл. III (теорема 5.1) в качестве приложения теоремы о сходимости бесконечного ряда из взаимно независимых случайных величин. Она может быть выведена также как частный случай усиленного закона больших чисел для стационарных в узком смысле процессов (теорема 2.1 гл. X). Вариант в широком смысле утверждении (6.1) состоит в следующем. Пусть ортонормированная последовательность случайных величин. Тогда

Это последнее предложение тривиально, так как

В § 7 гл. IV соотношение (6.1) было получено в качестве приложения теоремы о сходимости мартингалов в широком смысле. Мы покажем теперь, что это доказательство после замены понятий в широком смысле на соответствующие понятия в узком смысле может быть превращено в доказательство соотношения (6.1).

Положим согласно следствию 1 из теоремы 4.3, с вероятностью 1 существует предел

Далее, ясно, что

итак как величины не зависят от величин то с вероятностью 1

Таким образом, с вероятностью 1

Наконец, из соображений симметрии

что и доказывает существование предела в (6.1). Для того чтобы показать, что этот предел равен заметим, во-первых, что предел не меняется при изменении любого конечного числа величин следовательно, в силу закона нуля или единицы (теорема 1.1 гл. III) с вероятностью во-вторых, что в соответствии с теоремой 4.4 последовательность

образует мартингал и, следовательно,

Интересно было бы обобщить приведенное выше доказательство, с тем чтобы доказать методом мартингалов общий случай усиленного закона больших чисел для стационарных в узком смысле процессов (эргоднческую теорему, см. гл. X, теорему 2.1). До сих пор такое доказательство еще не получено. Впнер обратил внимание на то, что эргодическая теорема является по существу теоремой об интегрировании, тесно связанной с основной теоремой математического анализа. Теоремы о мартингалах тоже являются по существу теоремами об интегрировании, хотя в несколько ином контексте. В самом деле, соотношение

выполнение которого с вероятностью 1 является свойством, определяющим мартингал показывает, что получается из путем интегрирования по одной из переменных. Мы несколько глубже коснемся этого вопроса в следующем параграфе.