§ 4. Пуассоновский процесс

Процесс этого типа был определен в § 9 гл. II, как действительный однородный процесс с независимыми приращениями, принимающими только целые значения, причем

где с — положительная постоянная. Математическое ожидание и дисперсия приращения процесса равны

В соответствии с при фиксированных Следовательно, если -любая последовательность значений и если рассматривать как функцию, определенную лишь на этой последовательности точек, то она будет с вероятностью 1 монотонно неубывающей функцией, принимающей лишь целые значения. Это значит, что почти все выборочные функции (рассматриваемые только в точках являются монотонно неубывающими функциями с целочисленными приращениями. Но если процесс сепарабелен, то последовательность можно выбрать так, чтобы почти все выборочные функции имели на любом открытом интервале те же самые верхнюю и нижнюю грани, что и на точках содержащихся в этом интервале (см. § 2 гл. II). Таким образом, если пренебречь совокупностью выборочных функций вероятности О, то каждая выборочная функция будет обладать следующими свойствами: она является монотонно неубывающей функцией и возрастает только скачками, причем величина скачка является целым числом, т. е. если выборочная функция имеет скачок в точке то

где — положительное целое число; разность принимает целые значения всюду, кроме, быть может, точек скачков. Мы сейчас покажем, что величину скачка, обозначенную выше через можно считать равной 1, т. е. что вероятность того, что выборочная функция пмеет хотя бы один скачок, больший 1, равна нулю. Очевидно, достаточно показать, что на любом заданном конечном интервале, скажем интервале вероятность

скачка, превосходящего по величине 1, равна 0. Но это следует из предельного соотношения

так как если бы выборочная функция имела на интервале большой> скачок, больший 1, то рассмотренный максимум был бы при каждом больше 1.

Выборочные функции сепарабельного пуассоновского процесса не являются непрерывными функциями; в самом деле, вероятность того, что выборочная функция непрерывна на интервале равна и эта вероятность стремится к при Тем не менее при каждом заданном значении параметра непрерывность имеет место с вероятностью 1. В самом деле,

(Это, конечно, не противоречит тому, что вероятность непрерывности выборочной функции одновременно во всех точках интервала оказывается меньше единицы.)

Для некоторых приложений оказывается удобным изменить терминологию и говорить о каждом скачке выборочной функции, как о событии. Число событий, происшедших за интервал времени равно тогда (Здесь и всюду в дальнейшем мы игнорируем те выборочные функцип, которые не являются монотонными и не возрастают лишь скачками величины 1.) Отметим, что, как мы только что показали, с вероятностью 1, так что если можно пренебрегать множествами вероятности 0, то при подсчете числа событий, происшедших за некоторый интервал времени, включение, или невключение граничных точек этого интервала ничего не меняет. В нашей новой термпнологии первое из соотношений (4.2) показывает, что математическое ожидание числа событий в интервале длины I равно Константа с является, таким образом, (средней) плотностью числа появления событий.

Еслп события происходят по описанному здесь закону Пуассона, то их характеризуют иногда, как «чисто случайные», а в физической лптературе и просто как «случайные». Это распределение событий можно оппсать следующим образом, не используя терминологии вероятностных процессов:

События происходят таким образом, что вероятность появления в течение открытого интервала времени ровно событий задается правой частью равенства (4.1) (при этом вероятность того, что за замкнутый интервал времени произойдет ровно событий, равна той же величине), если то количества событий, происшедших за попарно не пересекающихся (за исключением, быть может, их концов) интервалов времени, то при любом целом положительном являются взаимно независимыми случайными величинами.

Заметим, что при условии, что в интервале времени произошло ровно событий, условное распределение моментов появления етпх событий такое же самое, как если бы точек выбиралпсь независимо друг от друга в этом интервале, каждая с равномерным распределением вероятностей [с плотностью ]. Поэтому плотность условного совместного распределения вероятностей для этих точек (т. е. плотность вероятности того, что наши случайных точек примут значения здесь

будет постоянна и равна В самом деле, вероятность того, что в непересекающихся интервалах времени, содержащихся в и имеющих длины где произойдет соответственно событий при условии, что всего в интервале времени произошло ровно событий, равна

а это выражение сводится к

если считать, что из величин равны 1 (а остальные 0), и заменить соответствующие . Таким образом, пуассоновское распределение событий в заданном конечном интервале времени длины I можно получить, если задать сначала число событий, происшедших в этом интервале, при помощи распределения

и выбрать затем в этом интервале точек незавпсимо друг от друга с плотностью распределения вероятностей, для каждой из них равной . Исходя из аналогичных соображений можно приближенно получить также и пуассоновское распределенпе событий на бесконечном интервале, скажем на интервале Для этого выберем в интервале независимо друг от друга точек, каждую с постоянной плотностью вероятностей, равной Здесь является для каждого интервала постоянной, удовлетворяющей соотношению

например, в качестве можно выбрать целое число, наиболее близкое к Тогда при полученное распределение событий будет приближаться к пуассоновскому в том смысле, что если любая совокупность интервалов, попарно непересекающихся (кроме, быть может, совпадающих конечных точек) и имеющих соответственно длины и если ( число точек, выбранных в то для случайных величин

В самом деле, если интервал содержит все интервалы и если интересующая нас вероятность равна

что и требовалось доказать.

Важно найти простые качественные условия, при которых распределение событий следует закону Пуассона. Мы приводим здесь одну совокупность таких условий, относящуюся к бесконечному интервалу Каждое событие отождествляется с точкой на временной оси, т. е. предполагается, что в любой заданвый момент может произойти только одно событие.

а) За каждый конечный интервал времени происходит лишь конечное число событий. Мы будем обозначать через чпсло событий, происшедших за интервал времени Тогда при каждом является случайной величиной; мы положим

б) Процесс имеет независимые приращения.

в) Распределение разности зависит только от т. е. процесс является однородным по времени. Чтобы показать, что процесс, удовлетворяющий условиям -является пуассоновским, обозначим через вероятность того, что в течение интервала времени не произойдет ни одного события,

Функция не равна тождественно нулю, так как иначе события должны были бы наверняка появляться в любом сколь угодно малом промежутке времени, а это противоречит условию а). В силу условий б) и в) при

Согласно (4.3), если то

так что обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к а следовательно, так как функция монотонно невозрастающая, то и тождественно обращается в нуль. Так как этот вывод неверен, то нигде не обращается в нуль. Единственное ненулевое монотонное решение уравнения (4.3) имеет вид

где с некоторая постоянная. Случай с соответствует вырожденному пуассоновскому распределению событий, при котором не осуществляется ни одно событие. Мы закончим доказательство выводом формулы Пуассона (4.1), Не ограничивая общности, можно положить Так как вероятность того, что событие произойдет в любой фиксированный момент времени, равна (поскольку то мы имеем

где

Пусть множество точек описанное в предыдущей строке. Тогда если для бесконечной последовательности значений то отсюда

будет следовать, что для всех достаточно больших а при таком в интервале произойдет бесконечно много событий. Поэтому в силу условия а) сходится при к -множеству вероятности 0. Первый член в правой части (4.4) равен

Таким образом, при переходит в

Заметим, что если отбросить условие в), то мы уже не сможем найти явным образом функцию но она все равно останется монотонно неубывающей. Если предположить, что равна вероятность того, что событие случится в любой фиксированный момент времени, то функция будет непрерывной. Развитые выше соображения показывают тогда, что

где Другими словами, рассматриваемый процесс превращается в пуассоновский после замены переменной по оси времени.

Наконец, еще одно важное свойство пуассоновского распределения событий на интервале состоит в следующем. Пусть время до появления первого из событий и пусть промежуток времени между событиями Тогда взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения

Для того чтобы избежать сложных обозначений, мы рассмотрим только величины Во-первых,

откуда следует наше утверждение относительно распределения величины Во-вторых,

Вторая сумма в этом неравенстве равна так как она мажорируется величиной

а первая сумма равна

Следовательно,

Чтобы доказать обратное неравенство, заметим, что величина в левой части неравенства (4.5) не меньше суммы

Иногда бывает полезно рассматривать пуассоновский процесс с множеством значений параметра, иаменяющимся не от до , а от до Для такого процесса можно рассмотреть случайную величину промежуток времени между событиями, непосредственно предшествующим и непосредственно следующим за данным моментом времени Тогда величина имеет то же распределение, что и сумма так что она имеет плотность распределения вероятностей а не плотность которую имеют величины При рассмотрении «промежутка времени между двумя событиями» нужно обращать внимание на разницу между величинами