§ 6. Степенные ряды вида ...

В настоящем параграфе мы будем предполагать, что вероятности определены как длины (мера Лебега) на интервале — 1/21/г. так что последовательность

является ортонормированной после довательнойью. Мы рассмотрим, в частности, задачу, состоящую в том, чтобы охарактеризовать те функции от для которых их ряды Фурье не содержат отрицательных степеней Мы ограничимся здесь беглым изложением; результаты будут использованы нами только в гл. XII при построении теории прогнозирования стационарных процессов по методу наименьших квадратов.

Заметим, что рассматриваемая здесь ортонормированная последовательность состоит из ограниченных функций, и поэтому любая интегрируемая функция обладает рядом Фурье независимо от того, существует ее второй момент или нет.

Мы будем ссылаться на следующую теорему, приводимую нами без доказательства.

Теорема 6.1. Если функция аналитична в круге то является монотонно неубывающей функцией от Предположим, что этот интеграл имеет конечный предел при Тогда

существует для почти всех значений Далее, функция интегрируема,

и

функция при этом выражается через при помощи интегральной формулы Коши

Обратно, если любая интегрируемая функция от X, ряд Фурье которой имеет вид (6.3), то функция определенная при обладает всеми указанными выше свойствами. Наконец, в этом случае равно нулю или на множестве лебеговой меры О, или же на множестве лебеговой меры 1 (последнее лишь при

Если действительная интегрируемая функция от X, имеющая ряд Фурье

то функция определенная равенством

является гармонической функцией от при и

для почти всех значений

Следующая теорема позволяет получить разложение спектральной плотности, необходимое для теории прогнозирования.

Теорема 6.2. Если - неотрицательная интегрируемая по Лебегу на интервале функция, обращающаяся в нуль самое большее на множестве меры 0, и такая, что

то существует однозначно определенная последовательность чисел такая, что действительно и положительно,

и

(где ряд сходится в среднем). Величины определяются соотношениями

Обратно, предположим, что любые числа такие, что и выполнено (6.6). Тогда, если определить функцию при помощи соотношения (6.8), то будет равно нулю самое большее на множестве меры О, выполнено (6.5), и, более того,

Заметим, что при Следовательно, если функция интегрируема, то интегрируема и функция если только функция не слишком мала. Отсюда вытекает, что интеграл от конечен, или равен .

Если то имеет ряд Фурье Тогда

Основное утверждение теоремы состоит в том, что если выполнено (6.5), то функцию можно выбрать так, чтобы для нее выполнялось условие при

Доказательство теоремы основывается на теореме 6.1. Еслп выполнено (6.5), то имеет ряд Фурье

Функция определенная равенством

является аналитической при и ее действительная часть

является гармонической функцией с граничными значениями (см. теорем 6.1). Положим, наконец, Тогда и для почти всех значений X

Функции разлагается в степенной ряд

Чтобы доказать, что это разложение может быть распространено и на в том смысле, что может быть определено как радиальное граничное значение функции а имеет ряд Фурье мы

покажем, что здесь приложила теорема 6.1:

Таким образом, интеграл слева остается ограниченным при а это в соответствии с теоремой 6.1 означает, что - имеет при почти всех X граничное значение ичто имеет ряд Фурье Поскольку, как мы уже видели, то отсюда следует, что интегрируемо, так что Тем самым мы получили искомое представление [в котором (6.7) следует из (6.9) при

Единственность коэффициентов будет доказана после доказательства обратного утверждения теоремы.

Обратно, предположим, что задается формулой (6.8), где и что не обращается в нуль при Тогда является гармонической функцией, и

Далее, в соответствии с теоремой (6.1) для почти всех X можно определить как радиальный предел при ; при этом функция будет иметь ряд Фурье Пусть Тогда о

так как квадрат подннтегральной функции слева при больших меньше,

чем а интеграл от ограничен при Следовательно,

Полагая здесь мы получим (6.7). Заметим, что тривиальное видоизменение этого доказательства показывает, что где значение в точке гармонической функции, определяемой интегралом Пуассона от граничной функции Здесь мы рассмотрели случай Так как разность определяет неотрицательную гармоническую функцию, то эта разность или нигде не обращается в нуль, или обращается в нуль тождественно. так как известно, что выполнено (6.7), и, следовательно, эта разность равна нулю при то отсюда следует, что может быть представлен как интеграл Пуассона с граничной функцией Этот факт будет сейчас использован для доказательства единственности.

Чтобы доказать утверждение о единственности, содержащееся в первой части теоремы, мы должны показать, что из предположения, что допускает представление (6.8) как с так и с причем (6.6) и (6.7) выполняются для обоих этих представлений, следует, что где Положим

Нам достаточно показать, что эти две функции пропорциональны. Но являются функциями, аналитическими при как мы уже видели выше, определяется своей граничной функцией поэтому Следовательно, могут отличаться лишь намнимую константу так что

что и требовалось доказать.