Глава X. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ПАРАМЕТРОМ

§ 1. Общие свойства; метрическая транзитивность

а) Процессы, стационарные в узком смысле. Процессы, стационарные в узком смысле, были определены в § 8 гл. II. Изучение таких процессов обычно проводится вне рамок теории вероятностей в терминах преобразований, сохраняющих меру; однако связь этих двух понятий не всегда достаточно четко отмечается в литературе, так что имеет смысл остановиться на ней несколько подробнее.

Примем нашу обычную основную гипотезу: существует вероятностная мера, определенная на борелевском поле множеств некоторого пространства Преобразование переводящее точки в точки называется взаимно однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием, если оно взаимно однозначно, имеет областью определения и областью значений все и еслп оно само и обратное ему преобразование переводят измеримые множества в измеримые множества той же вероятности. Такое преобразование индуцирует взаимно однозначное преобразование случайных величин в случайные величины (которое мы также будем обозначать буквой задаваемое равенством

Ясно, что если случайная величина, равная 1 на измеримом -множестве А и равная вне этого множества, то при преобразовании она перейдет в величину равную 1 на множестве, в которое переводит А, и вне него. Для любой случайной величины х величина имеет то же самое распределение вероятностей, что и х, и вероятностный процесс

стационарен в узком смысле. Таким образом, любое сохраняющее меру точечное преобразование порождает некоторый стационарный в узком смысле вероятностный процесс.

Преобразование переводящее множества в множества, определенное на борелевском поле измеримых -множеств, и переводящее измеримые множества в измеримые множества, называется сохраняющим меру преобразованием множеств, если выполняются следующие условия:

MP. Преобразование однозначно с точностью до множеств вероятности 0, т. е. еслп есть один из образов А при преобразовании то класс всех образов А совпадает с классом измеримых множеств, отличающихся от на множество вероятности 0. В дальнейшем всегда будет обозначать некоторый определенный образ множества А при преобразовании

. С точностью до -множеств вероятности имеют место соотношения

Из условия вытекает, что с точностью до множеств вероятности О конечные и счетные пересечения множеств переходят при преобразовании в соответствующие пересечения и что еслп то Если каждое измеримое множество является образом некоторого измеримого мной; ест при преобразовании то это преобразование будет взаимно однозначным с точностью до множеств вероятности 0, и можно будет определить обратное преобразование которое также будет сохраняющим меру преобразованием множеств. В этом случае мы будем говорить, что преобразование допускает обращение.

Взаимно однозначное сохраняющее меру точечное преобразование очевидно, индуцирует сохраняющее меру преобразование множеств: достаточно определить семейство образов множества А как совокупность всех -множеств, отличающихся от образа А при нашем точечном преобразовании самое большее на множество вероятности 0. Это преобразование множеств, разумеется, будет допускать обращение. Однако не каждое преобразование множеств, допускающее обращение, может быть получено таким образом с помощью некоторого точечного преобразования.

В дальнейшем мы увидим, что в теории вероятностей всегда можно избежать рассмотрения сохраняющих меру преобразований множеств и ограничиться лишь более простыми взаимно однозначными сохраняющими меру точечными преобразованиями; однако при этом в какой-то мере затемняется значение полученных результатов.

Для каждого сохраняющего меру преобразования множеств существует одно и только одно преобразование переводящее случайные величины — в случайные величины, определенное для каждой случайной величины и обладающее следующими свойствами;

RV Преобразование однозначно с точностью до случайных величин, обращающихся в нуль с вероятностью 1, т. е. еслп есть один из образов х при преобразовании то класс всех образов величины х при этом преобразовании совпадает с классом случайных величин, с вероятностью 1, равных величине В дальнейшем всегда будет обозначать некоторый определенный образ случайной величины х при преобразованип

Преобразование согласовано с преобразованием т. е. если случайная величина, равная 1 на измеримом -множестве и вне то случайная величина равна 1 почти всюду на и почти всюду вне Таким образом, преобразование можно рассматривать как расширение преобразования

RV. Преобразование линейно; т. е. если постоянные, а случайные величины, то с вероятностью 1

RV. Преобразование сохраняет сходимость, если с вероятностью 1, то с вероятностью 1 и

Ясно, что существует не более чем одно преобразование обладающее этими свойствами: в силу любые два преобразования с этпми свойствами должны тождественно совпадать в применении к случайным величинам, принимающим конечное число значений, а следовательно, в силу в применении ко всем случайным величинам. Для доказательства того, что существует хотя бы одно такое преобразование мы явно определим это преобразование следующим образом. Достаточно рассмотреть только действительные случайные величины, поскольку в комплексном случае можно отдельно рассматривать действительные мнимые

части. Положим для каждого рационального

причем множества мы выберем так, чтобы выполнялись условия

(это, очевидно, возможно). Положим теперь

функция определена для всех значений с точностью до множеств вероятности О

так что является случайной величиной (т. е. измеримой функцией от Если теперь определить класс образов х при преобразовании как класс всех случайных величин, равных с вероятностью 1 построенной выше случайной величине, то легко проверить, что полученное преобразование будет обладать всеми нужными нам свойствами. В дальнейшем и для преобразования множеств, для преобразования случайных величин мы будем чаще всего употреблять одно и то же обозначение Заметим, что в частном случае, когда сохраняющее меру преобразование множеств индуцировано взаимно однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием очевидно, с вероятностью 1

Если сохраняющее меру преобразование множеств, случайная величина, то вероятностный процесс

стационарен в узком смысле; если при этом допускает обращение, то и вероятностный процесс

также стацпопарен в узком смысле. Таким образом, сохраняющие меру преобразования множеств могут быть использованы для получения стационарных в узком смысле вероятностных процессов.

До сих пор мы предполагали, что сохраняющее меру преобразование множеств имеет в качестве области определения и области значений совокупность всех измеримых -множеств. Ясно, однако, что во всех наших рассуждениях ничего не изменится, если допустить, что как область определения, так область значений совпадают с произвольным, борелевским полем измеримых множеств, включающим все множества вероятности 0. Это тривиальное обобщение развитых нами понятий пригодится в дальнейшем. Индуцированное преобразование случайных величин будет в таком случае иметь областью определения областью значений совокупность случайпых величин, измеримых относительно рассматриваемого борелевского поля.

Рассмотрим теперь стационарный в узком смысле вероятностный процесс исследуем условия, которых он может быть получен описанным выше способом из некоторого сохраняющего меру преобразования множеств. При изучении этого вероятностного процесса интерес будут представлять только те измеримые -множсства, которые могут быть

определены с помощью условий., наложенных на величины множества, измеримые относительно семейства величин Поэтому следует искать сохраняющее меру преобразование множеств, имеющее областью определения совокупность множеств, задаваемых условиями на величины для которого с вероятностью 1. Мы покажем, что такое преобразование существует и определяется однозначно. Это преобразование называется сдвигом, поскольку для него с вероятностью 1. Если такое преобразование существует, то оно должно переводить -множество

где А — борелевское множество, в множество, отличающееся от множества

самое большее на множество вероятности 0. Следовательно, если бы существовали два преобразования сдвига, то они совпадали бы на всех множествах указанного здесь вида, а значит, и на всем борелевском поле множеств, порожденном этими множествами. Иначе говоря, они совпадали бы на всех множествах, определяемых условиями, наложенными на величины Тем самым доказано, что если преобразование сдвига существует, то оно может быть только одно. Далее, преобразование сдвига действительно существует, так как мы всегда можем определить для множеств рассмотренного сейчас специального вида так, как здесь было указано, и затем распространить это определение на все множества, определяемые условиями (В самом деле, если мы положим расстояние между измеримыми множествами равным числу

то пространство всех измеримых множеств станет полным метрическим пространством, а искомое преобразование сдвига — однозначной сохраняющей расстояние функцией, определенной на замкнутом подмножестве этого пространства, а именно на подмножестве состоящем из всех измеримых множеств, определяемых условиями, наложенными на Рассмотренные нами выше множества А составляют подмножество плотное в а преобразование определенное на этом подмножестве указанным выше способом, сохраняет расстояние, т. е. является равномерно непрерывной функцией. Поэтому имеется один и только один способ расширить наше определение преобразования на все сохраняя его непрерывность.) Аналогично, если стационарный в узком смысле вероятностный процесс, то существует единственное сохраняющее меру преобразование множеств называемое сдвигом (относительно этого процесса), такое, что областью определения этого преобразования является борелевское поле множеств, определяемых условиями на и что для всех целых

Мы уже отмечали, что можно избежать введения сохраняющих меру преобразований множеств (вместо точечных преобразований) в исследованиях по теории стационарных вероятностных процессов. Покажем теперь, как это сделать. Пусть стационарный в узком смысле вероятностный процесс. Мы сейчас покажем, что можно найти связанный с этим процессом новый вероятностный процесс, который для большинства целей вполне заменяет первоначальный, причем этот новый процесс порождается взаимно однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием. Будем рассуждать следующим образом (ср. §§ 5 и 6 гл. I и § 1 гл. II). Пусть - координатное пространство всех после довательностей вида Определим в этом пространстве вероятностную меру, приписав конечномерное распределение вероятностей каждому конечному множеству координат.

А именно, еслп это координата в пространстве 2, т. е. если когда то -множеству

мы припишем вероятность

Здесь — борелевские множества, выбирается настолько большим, чтобы выполнялись неравенства

Согласно теореме Колмогорова о бесконечномерных мерах (см. § 5 гл. I), это задание конечномерных распределений вероятностей определяет вероятностную меру на некотором борелевском поле -множеств. При этом все координаты оказываются случайными величинами на У. Стационарный в узком смысле вероятностный процесс обладает тем свойством, что многомерные распределения вероятностей для случайных величин заданных на пространстве 5, совпадают с распределениями вероятностей для случайных величин заданных на пространстве У. Следовательно, во всех вопросах, в которых приходится рассматривать только эти конечномерные распределения вероятностей, процесс можно заменить процессом Для примера рассмотрим средние значения,

Закон больших чисел представляет собой некоторое утверждение о сходимости этих средних при со. Совершенно ясно, что эти средние сходятся в среднем квадратичном по вероятности или с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда они сходятся в соответствующем смысле для величин При этом с нашей теперешней точки зрения процесс более удобен, чем процесс поскольку сдвиг для процесса порождается взаимно однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием, а именно преобразованием, переводящим каждую координату точки в следующую ее координату.

Мы здесь предполагали, что значениями параметра для процесса являются всевозможные неотрицательные целые числа. Если бы значениями парамётра были просто всевозможные целые числа, то процесс определялся бы точно таким же образом; в этом случае мы получили бы то, что в § 6 гл. I называлось изображением процесса

Мы показали, что при рассмотрении стационарных в узком смысле вероятностных процессов мы фактически рассматриваем итерации оператора сдвига, действующие на заданную случайную величину, и что во многих случаях мы можем даже считать, что сдвиг является просто взаимно однозначным сохраняющим меру точечным преобразованием. В дальнейшем изложении мы будем пользоваться как языком теории стационарных вероятностных процессов, так языком теории сохраняющих меру преобразований.

Измеримое -множество мы будем называть инвариантным относительно сохраняющего меру преобразованпя (точечного или преобразования множеств), если оно отличается от своего образа на множество вероятности 0. Ясно, что любое множество вероятности является инвариантным. Инвариантные множества образуют борелевское поле. Случайная величина х

будет называться инвариантной относительно сохраняющего меру преобразования если с вероятностью 1. При этом каждая случайная величина, тождественно равная постоянной, будет инвариантной. Если преобразование допускает обращение, то одни и те же измеримые -множества и случайные величины будут инвариантными как относительно прямого, так и относительно обратного преобразования.

Если измеримое -множество и случайная величина, равная 1 на на дополнении к то А является ннварпантным множеством тогда и только тогда, когда инвариантная случайная величина. Если инвариантная случайная величина, то -множество является инвариантным при любом борелевском множестве А. Обратно, если множество инвариантно при любом выборе борелевского множества А или даже (в действительном случае) при любом выборе интервала А, то инвариантная случайная величина.

Сохраняющее меру точечное преобразование или преобразование множеств называется метрически транзитивным, еслп единственными его инвариантными множествами являются множества вероятности или 1, т.е. если единственными инвариантными случайными величинами являются случайные величины с вероятностью 1, равные постоянной.

Мы уже видели, что каждому стационарному в узком смысле процессу можно сопоставить единственное сохраняющее меру преобразование множеств (сдвиг), определенное на -множествах, задаваемых условиями на случайные величины, образующие процесс. Множества и случайные величины, инвариантные относительно этого преобразования, называются также инвариантными множествами и инвариантными случайными величинами процесса. Процесс называется метрически транзитивным, если этим свойством обладает соответствующее преобразование сдвига. Ясно, что процесс будет метрическп транзитивным тогда и только тогда, когда метрически транзитивен определенный выше процесс соответствующий процесс на координатном пространстве.

Пусть метрически транзитивное сохраняющее меру преобразование множеств и — случайная величина. Тогда процесс

будет метрически транзитивным. Для того чтобы доказать это, достаточно заметить, что еслп — сдвиг, отвечающий нашему вероятностному процессу, то совпадают на всех -множествах, определяемых условиями, наложенными на т. е. на всей области определения преобразования Отсюда следует, что если некоторое множество значений инвариантно относительно то будет инвариантно относительно так что из метрической транзитивности вытекает метрическая транзитивность

Важным частным случаем последнего результата является следующий факт. Пусть — метрически транзитивный стационарный в узком смысле процесс; тогда любая функция, измеримая относительно семейства величин т. е. любая случайная величина, измеримая относительно поля множеств, определяемого условиями, налагаемыми на образует при последовательных сдвигах величин метрическп транзитивный вероятностный процесс. Например, если процесс метрически транзитивен, то и процессы

также будут метрически транзитивными. Аналогичный результат верен и для процессов, определенных лишь для неотрицательных значений параметра.

Если стационарный в узком смысле процесс, то процесс также будет стационарным в узком смысле

и будет иметь те же самые инвариантные случайные величины, что и исходный процесс; в самом деле, преобразование, обратное к сохраняющему меру преобразованию множеств, допускающему обращение, имеет те же инвариантные случайные величины, что а первоначальное преобразование. Процесс также будет стационарным в узком смысле и будет иметь те же инвариантные случайные величины, что и исходный процесс. Это утверждение не является очевидным; мы его сейчас докажеж Отсюда будет следовать, что рассматриваемых здесь вероятностных процесса все одновременно, будут или не будут метрически транзитивными. Для доказательства заметим прежде всего, что любая случайная величина, инвариантная относительно процесса очевидно, будет инвариантной также и относительно процесса Остается доказать обратное утверждение; но для этого достаточно показать, что каждая случайная величина у, инвариантная относительно процесса измерима относительно совокупности величин Заметим теперь, что поскольку случайная величина у пзмерпма относительно совокупности всех то каждому чпслу соответствует случайная величина измеримая относительно поля множеств, определяемых условиями на некоторое конечное число величин и такая, что

(см. § 1 гл. II). Далее, мы можем заменить здесь, если нулшо, на где преобразование сдвига, соответствующее процессу действительно, в силу инвариантности у относительно также и

Таким образом, мы можем даже предположить, что измеримо относительно совокупности величин Так как с вероятностью 1

то мы заключаем отсюда, что случайная величина у также измерима относительно совокупности величин что и требовалось доказать. Тривиальное изменение приведенных выше рассуждении дает следующий результат, на который нам придется ссылаться в. дальнейшем. Если или стационарный в узком смысле процесс и если у — инвариантная случайная величина, то при любом случайная величина у измерима относительно совокупности величин Цепи Маркова. Пусть -мерная стохастическая матрица, пусть

Как было доказано в § 2 гл. V, в таком случае существуют числа называемые стационарными абсолютными вероятностями, которые удовлетворяют соотношениям

Мы предположим, что эти стационарные абсолютные вероятности выбраны таким что для всех прннадлелчащих эргодическим классам. Такой выбор всегда возможен (например, мы можем в теореме 2.4 гл. V взять коэффициенты линейной комбинации положительными для

Пусть цепь Маркова с заданными абсолютными вероятностями и вероятностями перехода, так что

(с вероятностью 1). Тогда процесс будет стационарным в узком смысле. Пусть эргодический класс состояний; положим

Так как из того, что вытекает, что и и наоборот (с точностью до -множеств вероятности 0), то множество является инвариантным множеством. При этом

Если существует еще один эргодический класс, то подобным же образом можно определить второе инвариантное множество. Это новое множество также будет иметь положительную вероятность и не будет иметь общих точек с Следовательно, в этом случае т. е. мы доказали, что если существует более чем один эргодический класс, то процесс не является метрически транзитивным. Обратно, если существует только один эргодический класс, то процесс метрически транзитивен. Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что каждое инвариантное множество имеет вид а этот факт является частным случаем следующей теоремы:

Теорема 1.1. Если стационарный марковский процесс и если -инвариантная случайная величина, то измерима относительно случайной величины

В терминах -множеств (а не случайных величин) эта теорема утверждает, что любое инвариантное -множество может быть определено условиями, наложенными на одну величину Разумеется, величину можно заменить любой из величин В соответствии с формулировкой рассматриваемой теоремы в терминах -множеств мы можем предположить, если это удобно, что ограниченная случайная величина. Мы докажем здесь нужное нам утверждение, предположив, что интегрируема, и показав, что тогда с вероятностью 1. Выше мы уже отмечали, что из инвариантности вытекает, что величина измерима относительно семейства величин при каждом Следовательно, поскольку процесс является марковским, с вероятностью 1

я в силу следствия 1 из теоремы 4.3 гл. VII с вероятностью 1

Тогда при любом

Поскольку величина инвариантна, вероятность, фигурирующая в левой части последнего равенства, на самом деле не зависит от полагая мы находпм, что с вероятностью 1

что и требовалось доказать.

Пример 2. Процессы с взаимно независимыми значениями. Предположим, что случайный процесс, у которого величины

взаимио независимы. Этот процесс будет стационарным в узком смысле тогда и только тогда, когда все величины одинаково распределены. Согласно следующей теореме, такой стационарный процесс всегда метрически транзитивен.

Теорема 1.2. Если взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения, то стационарный в узком смысле процесс метрически транзитивен.

Поскольку инвариантная случайная величина обязательно измерима относительно совокупности величин где любое целое число, то в силу закона нуля или единицы (теорема 1.1 гл. III) единственными инвариантными случайными величинами будут постоянные (точнее, величины, постоянные с вероятностью 1), что и требовалось доказать. Эта теорема немедленно следует также и из теоремы 1.1.

Пример 3. Скользящее суммирование. Рассмотрим процесс определенный равенством

где взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения, имеющие нулевое среднее значение и конечную дисперсию. (В силу теоремы 2.3 гл. III рассматриваемый ряд сходится как в среднем, так и с вероятностью 1.) Согласно теореме 1.2, процесс метрически транзитивен. Пусть - сдвиг, соответствующий этому процессу. Тогда процесс также будет метрически транзитивным, поскольку он порождается применением к метрически транзитивного сохраняющего меру преобразования множеств

б) Процессы, стационарные в широком смысле. Процессы, стационарные в широком смысле, были определены в § 8 гл. И. Все понятия, относящиеся к процессам, стационарным в узком смысле, имеют свои аналоги и для случая стационарности в широком смысле. Предположим, как обычно, что существует вероятностная мера, определенная на борелевском поле множеств некоторого пространства 2. В дальнейшем мы будем пользоваться некоторымп элементарными понятиями геометрии гильбертова пространства, введенными в § 2 гл. IV. Пусть замкнутое ливейное многообразие случайных величин с интегрируемым квадратом. Преобразование переводящее элементы в элементы называется изометрическим, если выполняются следующие условия:

IS Преобразование однозначно с точностью до случайных величин, равцых с вероятностью 1, т. е. если -один из образов преобразовании то класс всех образов х при этом преобразовании совпадает с классом случайных величин, равных с вероятностью 1. В дальнейшем Их всегда будет обозначать некоторый определенный образ х при преобразовании

Преобразование линейно, т. е. если постоянные, — случайные величины из то с вероятностью 1

IS. Преобразование сохряняет норму, задаваемую корнем квадратным из среднего значения квадрата модуля, т. е.

Легко проверить, что условие выполняется тогда и только тогда, когда

Если каждый элемент многообразия является образом некоторого х при преобразовании то оказывается взаимно однозначным преобразованием с точностью до случайных величин с вероятностью 1, равных 0, так что в этом случае будет иметь обратное преобразование, также являющееся изометричным. В этом случае преобразование называется унитарным.

Если сохраняющее меру преобразование множеств, имеющее областью определения борелевское поле и переводящее элементы из в элементы из 3, то существует соответствующее ему изометрическое преобразование случайных величин. Действительно, пусть — замкнутое линейное многообразие случайных величин с интегрируемым квадратом, измеримых относительно Тогда преобразование рассматриваемое как преобразование случайных величин с областью определения будет изометричным, а если допускает обращение, то даже и унитарным.

Если изометрическое преобразование и — случайная величина из его области определения, то вероятностный процесс

будет стационарным в широком смысле. Если унитарно, то соответствующее утверждение будет верно и для области значений параметра —

Обратно, пусть вероятностный процесс, стационарный в широком смысле. В таком случае всегда существует изометрическое преобразование, порождающее этот процесс в том смысле, как это сейчас было объяснено. Чтобы доказать это, определим как замкнутое линейное многообразие случайных величин, порожденное величинами Тогда ясно, что существует одно и только одно изометрическое преобразование такое, что с вероятностью 1. Это преобразование мы будем называть сдвигом. Аналогично, если параметр, от которого зависит процесс, пробегает значения — то мы получим однозначно определенное унитарное преобразование, переводящее это преобразование мы также будем называть сдвигом (относительно рассматриваемого процесса).

Сейчас мы покажем, что введенные здесь изометрические и унитарные преобразования являются аналогами сохраняющих меру преобразований множеств и, соответственно, сохраняющих меру преобразований множеств, допускающих обращение, используемых в теории процессов, стационарных в узком смысле. Мы также покажем, что при изучении стационарных в широком смысле процессов изометрические преобразования могут быть исключены из рассмотрения и что можно лишь ограничиться унитарными преобразованиями.

Пусть или вероятностный процесс, стаппонарный в широком смысле; во втором этих случаев мы положим

В первом случае положим

где к выбрано столь большим, чтобы выполнялись неравенства В силу предположения о стационарности так определенная функция не зависит от k. Далее, очевидно, что

и что при любых целых числах матрица является

отрицательно определенной. В самом деле,

(А опять выбираем столь большим, чтобы все случайные величины, фигурирующие в этом соотношении, имелп смысл). Следовательно, в силу теоремы 3.1 (или теоремы 3.2) гл. II существует гауссовский процессе для которого

Этот гауссовский процесс был явно построен при доказательстве теоремы 3.1 гл. II; при этом за пространство точек принималось бесконечномерное координатное пространство, было координатой этого пространства, а вероятностная мера строилась с помощью теоремы Колмогорова о мерах в бесконечномерных пространствах.

При рассмотренпи любой теоремы, оперирующей только с корреляционной функцией процесс можно заменять процессом Так, например, средние значения

сходятся в среднем тогда только тогда, когда сходятся соответствующие средние для величин Однако процесс во многих отношениях проще процесса В самом деле, процесс стационарен и в узком, и в широком смыслах; соответствующий сдвиг (т. е. сохраняющее меру преобразование множеств) лндущфуется сохраняющим меру точечным преобразованием, а именно обычным сдвигом координатных осей, а изометрический сдвиг является здесь унитарным. Отсюда следует, что доказательстве большого числа теорем, касающихся стационарных в широком смысле процессов, мы можем без потери общности предполагать, что изометрический сдвиг унитарен (см. § 3 гл. II).

Если изометрическое преобразование случайная величина из его области определения, то величина х называется инвариантной, еслп с вероятностью 1. Например, все случайные величины, с вероятностью 1 равные 0, являются инвариантными. Если других инвариантных случайных величин нет, то изометрическое преобразование мы будем называть метрически транзитивным в широком смысле. Заметим, что эта терминология не является общепринятой, и она нпгде будет нами применяться вне этого параграфа; здесь мы ее ввели только для того, чтобы сделать более ясной связь между стационарностью в узком и в широком смысле.

Случайные величины, инвариантные относительно изометрического сдвпга стационарного в широком смысле процесса, будут называться инвариаитными (в широком смысле) случайными величинами процесса. Процесс будет называться (только в этом параграфе) метрически транлптнвным в широком смысле, если метрически транзитивным в широком смысле является его изометрический сдвиг.

Если — процесс, стационарный в широком смысле, то процесс также будет стационарным в широком смысле и будет иметь то же самые инвариантные случайные величины, что исходный процесс; это вытекает из того, что преобразование,

обратное унитарному преобразованию, имеет те же инвариантные случайные величины, что и исходное унитарное преобразование. Процесс также будет стационарным в широком смысле и также будет иметь те же самые инвариантные случайные величины, что и исходный процесс. Доказательство этого утверждения проводится на основе тех же самых идей, что и в случае аналогичного утверждения для процессов, стационарных в узком смысле, доказанного в первой половине настоящего параграфа; поэтому здесь оно будет опущено. Из всего этого следует, что три рассматриваемые здесь процесса одновременно будут или не будут метрически транзитивными в широком смысле.

Следующий пример является вариантом в широком смысле рассмотренного ранее примера 2.

Пример 4. Процессы со взаимно ортогональными значениями. Предположим, что вероятностный процесс, у которого все величины взаимно ортогональны. В таком случае он будет стационарным в в широком смысле тогда и только тогда, когда математическое ожидание не зависит от Согласно следующей теореме, такой стационарный (в широком смысле) процесс всегда метрически транзитивен в широком смысле.

Теорема 1.3. Если -взаимно ортогональные случайные величины такие, что не зависит от то стационарный (в широком смысле) процесс метрически транзитивен в широком смысле.

Согласно предположению теоремы, выполняются следующие условия:

где Пусть замкнутое линейное многообразие случайных величин, порожденное величинами Если то каждая случайная величина из равна с вероятностью 1, так что процесс заведомо метрически транзитивен. Если то любая величина х из может быть представлена в виде суммы своего ряда Фурье по величинам

где ряд сходится в среднем. Если величина х инвариантна, то с вероятностью 1

Приравнивая здесь коэффициенты при в правой и левой частях, получим

так что с вероятностью 1, что и требовалось доказать.