§ 3. Основные неравенства

В дальнейшем, когда мы будем писать то мы будем считать, принимая очевидные соглашения, что это неравенство имеет смысл, даже если одна или обе его части равны

Теорема 3.1. Пусть — полумартингал.

(I) Математическое ожидание является монотонно неубывающей функцией от Оно тождественно равно постоянной тогда и только тогда, когда процесс х является мартингалом.

(II) При любых таких, что имеет место неравенство

(III) Если величины неотрицательны и величины равномерно интегрируемы.

(IV) Предположим, что Тогда величины равномерно интегрируемы в том и только в том случае, если

Доказательство пункта (I). Если то с вероятностью 1

Взяв математические ожидания от обэих частей этого неравенства, мы получаем

причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда с вероятностью 1 оно имело место в предыдущем соотношении. Отсюда следует, что равенство имеет место при всех тогда только тогда, когда процесс является мартингалом.

Доказательство пункта (II). Если то, используя неравенства полумартингала и пункт находим, что

Доказательство пункта (III). Если то

Так как подинтегральные функцп неотрицательны, то условие их равномерной интегрируемости (при ) совпадает с условием равномерного (по ) стремления величины в левой части этого неравенства к при Поэтому достаточно показать, что равномерно по

Но этот факт следует из неравенства

Доказательство пункта Если величины равномерно интегрируемы, то этот факт совершенно не связан с теорией мартингалов. Обратно, пусть Мы хотим показать, что равномерно по

Пусть

Тогда в силу пункта

так что вероятностная мера области интегрирования в (3.1) стремится к равномерно по при . Далее, при

Для любого заданного выберем столь большим, чтобы иметь неравенство

выберем затем столь большим, чтобы вероятность была (при всех ) настолько мала, что

и, наконец, выбзрем настолько большим, чтобы выполнялись неравенства

При таком выборе числа из (3.2) и (3.3) следует, что

так что соотношение (3.1) выполняется равномерно по что и требовалось доказать.

Существуют примеры, показывающие, что утверждение (IV) становится неверным, если вместо монотонно убывающей последовательности рассмотреть монотонно возрастающую последовательность. Именно, мы построим в дальнейшем полумартингал для которого

(предельное равенство выполняется здесь с вероятностью 1). В этом примере величины не могут быть равномерно интегрируемыми, так как не сходится к

Используя теорему 1.1, можно получить много довольно очевидных приложений теоремы 3.1. Например, если действительный или комплексный мартингал и если при некоторых то процесс при является полумартингалом, математическое ожидание является монотонно неубывающей функцией от и величины равномерно интегрируемы при Этот результат всегда применим при но если то величина может быть при всех I бесконечной.

Если процесс является полумартингалом как в том случае, когда упорядочены в порядке возрастания так и в том случае, когда они упорядочены в порядке убывания то, согласно пункту (I) теоремы 3.1, этот процесс является действительным мартингалом при обоих упорядочениях. Мы покажем теперь, что любой процесс, являющийся мартингалом при обоих упорядочениях, обладает тем свойством, что для каждой пары значений параметра вероятностью 1 будет Чтобы доказать это утверждение, достаточно проверить, что если

для всех множеств вида и вида где -борелевское множество, то с вероятностью 1. Мы можем считать, что х и у действительны. Тогда для каждого действительного с

Так как подпнтегральная функция в первом члене этого равенства положительна, а в последнем члене отрицательна, то оба эти интеграла должны равняться 0, так что

Теперь, счптая с рациональным, находим, что

что и требовалось доказать.

Теорема 3.2. Пусть - полумартингал любое действительное число. Тогда.

и

Для того чтобы проиллюстрировать различные возможности, мы докажем две часта этой теоремы двумя различными методами. Неравенство (3.4) мы получим сейчас при помощи прямого вычисления. Пусть Определим -множество А как множество точек для которых первое из больших или равных X:

Тогда множества определяются условиями, наложенными на величины они не пересекаются друг с другом и Пользуясь неравенством полумартингала и тем, что на множестве находим,

откуда и следует (3.4).

Докажем теперь неравенство опираясь на одну из теорем предыдущего параграфа, относящуюся к играм. Пусть и пусть для равно первому значению при котором если же то положим Тогда условие является условием, наложенным на величины Мы применим теперь преобразование свободного прекращения, определяемое только что введенной величиной (см. § 2). Тогда в обозначениях теоремы и в силу этой теоремы

так что

откуда и следует

Доказанная теорема содержит в себе теорему 2.1 гл. III (совпадающую по существу с принадлежащим Колмогорову обобщением неравенства Чебышева). В самом деле, если процесс является мартингалом и если то процесс является полумартингалом, так что, согласно (3.4), при любом

Это неравенство в точности совпадает с неравенством (2.1) гл. III.

Пусть -любые действительные числа и -действительные числа такие, что Числом пересечений интервала последовательностью мы будем называть число переходов в этой последовательности от значений, меньших к значениям, большим Точнее, пусть первое из тех (если только такие существуют), для которых и вообще пусть первое из после (если только такие существуют), для которых

так что

Тогда число пересечений равно где является наименьшим четным числом для которого определена величина и если не определена величина

Теорема 3.3. 1 Пустъ полумартингал и чимо пересечений интервала выборочной последовательностью Тогда

Чтобы доказать эту теорему, предположим сперва, что величины неотрицательны и что Определим функции от при помощи величин так, как это сделано выше, и положим если описанное выше построение не придает величине определенного значения. Величины и В оказываются теперь случайными величинами. Определим случайные величины равенствами

Тогда

так что это -множество определяется условиями, наложенными на Следовательно, в силу свойства полумартингала должно

выполняться неравенство

Отсюда вытекает, что

С другой стороны,

и значит

что и требовалось доказать. В общем случае, когда не обязательно неотрицательны и не обязательно положим

Тогда, согласно пункту (I) теоремы 1.1, процесс будет полумартингалом. Число пересечений интервала последовательностью равно числу пересечений интервала последовательностью Следовательно, мы можем применить только что выведенный частный случай теоремы и получить, что

а это и требовалось доказать.

Следующая теорема уточняет теорему 3.2. Важной чертой обеих этих теорем является то, что в их формулировках не используется чпсло случайных величин, образующих полумартингал, так что обе теоремы применимы к мартингалам с бесконечным числом случайных величин, если только среди этих случайных величин есть последняя.

Теорема 3.4. Если -полумартингал и величины неотрицательны, то

Заметим, что коэффициент во втором неравенстве является убывающей функцией от а, стремящейся к когда Учитывая теорему 3.2, мы видим, что (3.7) вытекает сразу из следующей теоремы 3.4. Мы приводим эту теорему отдельно для того, чтобы использовать ее при дальнейших ссылках, а также потому, что она представляет самостоятельный интерес.

Теорема 3.4. Если х и у — неотрицательные случайные величины, для которых при всех выполняется неравенство

то

Доказательство. Пусть — монотонно неубывающая функция от причем Тогда

Для того чтобы доказать первое из неравенств (3.7), положим

Тогда в силу (3.9)

Учитывая неравенство

видим, что отсюда сразу следует первое из неравенств (3.7). Чтобы доказать второе из неравенств (3.7), положим

Тогда в силу (3.9) будем иметь

применяя неравенство Гельдера, получаем отсюда, что

Возводя здесь обе части в степень а, приходим к искомому неравенству (3.7).