§ 10. Рациональные спектральные плотности

В настоящем параграфе мы рассмотрим стационарные в широком смысле процессы с абсолютно непрерывными спектральными функциями, имеющие спектральную плотность рациональную относительно X,

Очевидно, можно считать, что числитель и знаменатель не имеют здесь общих корней. Поскольку спектральная плотность действительна, то

так что числа и , которые являются комплексными, разбиваются на пары комплексно сопряженных друг другу чисел. Далее, поскольку функция интегрируема, то никакой из корней не может быть действительным, и поскольку то каждый действительный корень должен встречаться в числителе дроби, представляющей четное число раз, и с должно быть действительным положительным числом: Следовательно, используя равенство мы можем представить спектральную плотность в виде

Здесь так как функция должна быть интегрируема; кроме того, так как все комплексные корни и выбираются по произволу из пары комплексно сопряженных чисел, то всегда можно предполагать, если это удобно, что корни знаменателя и не являющиеся действительными корни числителя все имеют положительные мнимые части. В дальнейшем всегда будет считаться, что знаменатель и числитель не имеют общих корней. Если корни выбраны так, как здесь описано, то коэффициенты А, и будут определены однозначно с точностью до общего множителя пропорциональности.

В частности, если процесс действителен, то спектральная плотность является четной функцией, и (10 1) можно переписать в виде

где коэффициенты А и В - действительны.

Согласно § 8, спектральное представление процесса может быть записано в виде

где процесс с ортогональными приращениями. Корреляционная функция здесь равна

Пользуясь известными результатами теории вычетов, легко показать, что при равно сумме вычетов подинтегральной функции в правой части последнего равенства, расположенных в верхней полуплоскости. Более того, если простая замкнутая спрямляемая кривая в верхней полуплоскости, охватывающая все нули знаменателя в верхней полуплоскости, то дается формулой

здесь под понимается односторонняя производная Отсюда видно, что равно сумме вычетов подинтегральной функции в равенстве (10.4), расположенных в верхвей полуплоскости. Таким образом, функция бесконечно дифференцируема при а также и при поскольку Вычисление с помощью теории вычетов в предположении, что все нули многочлена имеют положительную мнимую часть, дает для выражение

где многочлены от нули функции Если функция является действительной, то (10.5) можно переписать также в виде

где действительные многочлены от и — действительные и, соответственно, мнимые части корней

Мы видели, что функция имеет односторонние производные всех порядков в точке 0, причем равно сумме вычетов подинтегральной функции в правой части (10.4) при расположенных в верхней полуплоскости. Аналогично, равно сумме вычетов той же функции в нижней полуплоскости. Следовательно, величина

равиа сумме всех вычетов рассматриваемой функции во всей комплексной плоскости, т. е. равна коэффициенту при в разложении этой функции в степенной ряд в окрестности точки Таким образом,

Первая строка здесь является также очевидным следствием формулы (10.3), поскольку для соответствующих значений к допустимо дифференцирование под знаком интеграла в этой формуле. Заметим, что, согласно полученным результатам, при стремится к по показательному закону.

Из равенства (10.4), а также и из (10.5) немедленно вытекает, что удовлетворяет дифференциальным уравнениям

где занись означает, что эти уравнения выполняются на замкнутых полупрямых, если в точке использовать соответствующие односторонние производные. Из (10.7) вытекает, что

Согласно (10.6), это дифференциальное уравнение не может быть справедливым при поскольку первые производных функций в этой точке не существуют. Даже и без (10.6) тот факт, что эти производные не существуют, немедленно вытекает из того, что функция ограничена, в то время как никакое решение уравнения (10.8) не является ограниченным при всех если не имеет действительных нулей.

Теорема 10.1. Если стационарный в широком смысле процесс имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию и спектральную плотность, задаваемую равенством (10.1), причем все нули многочлена расположены в верхней полуплоскости, то соответствующая корреляционная функция удовлетворяет дифференциальным уравнениям (10.7) и граничным условиям (10.6). Обратно, если корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса удовлетворяет уравнениям (10.7) при некотором выборе постоянных таких, что и ни один из нулей многочлена не является действительным, то этот процесс имеет абсолютно непрерывную спектральную функцию и спектральную плотность, задаваемую формулой (10.1), в которой некоторые постоянные, причем где наименьшее значение к такое, что

Прямое утверждение этой теоремы мы уже доказали; остается доказать обратное утверждение. Для доказательства заметим, что если функция удовлетворяет уравнениям (10.7), то она должна быть бесконечно дифференцируемой при Более того, как и всякое решение (10.7), функция должна в этом случае иметь вид (10.5), где нули многочлена многочлены от Так как корреляционная функция всегда ограничена, и так как по предположению все не являются действительными, то в выражение для могут входить только с положительной мнимой частью. Но в таком случае при будет стремиться к нулю по показательному закону. Следовательно, [см. (3.5)], функция абсолютно непрерывна и

откуда интегрированием по частям получаем

Таким образом,

где многочлен степени к при при Отсюда вытекает, что

где - многочлен степени Так как из (10.7) следует (10.8), то интеграл в правой части равенства (10.9) обращается в нуль и мы получаем

что и доказывает обратное утверждение теоремы. Отметим, что в этом доказательстве мы из ограниченности заключили, что в представлении (10.5) функции могут фигурировать только с положительными мнимыми частями. Если многочлен имеет нули с отрицательной мнимой частью, то эти нули не могут входить в число показателей степени в равенстве (10.5). Отсюда вытекает, что в случае существования таких нулей функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка так что в представлении (10.1) функции многочлены в числителе и в знаменателе имеют общие корки.

Рассмотрим теперь более подробно случай, когда в равенстве этот случай, очевидно, аналогичен случаю 2 § 10 гл. В этом случае

соответствующее спектральное представление удобно писать в виде

Ясно, что здесь

так что процесс имеет первые производных; если процесс сепарабелен, то его выборочные функции имеют производных и

Таким образом, формально можно написать

где (см. § 4 гл. IX) процесс есть преобразование Фурье процесса Итак, формально выборочные функции процесса удовлетворяют стохастическому аналогу равенства (10.7) - линейному дифференциальному уравнению порядка с постоянными коэффициентами (действительными в случае действительного процесса), в правой части которого стоит (фиктивная) производная процесса с ортогональными и стационарными в широком смысле приращениями. Продолжая формально применять обычные математические правила к процессу (что, разумеется, является натяжкой), можно сказать, что этот фиктивный процесс обладает тем свойством, что для него

[в соответствии с ортогональностью приращений процесса Таким образом, наше дифференциальное уравнение является точным аналогом разностного уравнения (10.7), полученного при обсуждении случая 2 § 10 гл. Для того чтобы придать смысл символическому равенству (10.10), мы докажем, что для широкого класса функций имеет место равенство

где все члены в левой части, кроме последнего, являются обычными интегралами Лебега от выборочных функций. Последний интеграл слева был определен в § 9 для функций таких, что

где

Интеграл в правой части (10.10) был определен в § 2 гл. IX для функций таких, что

Мы сейчас покажем, что (10.10) верно с вероятностью 1 для любой беровской функции, удовлетворяющей всем этим условиям будут выполнены, например, если функция непрерывна и имеет непрерывную производную в некотором конечном замкнутом интервале и обращается в нуль вне этого интервала). Для доказательства равенства (10.10) достаточно заметить, что, согласно правилам интегрирования, выведенным выше [см. особенно (9.5)], левая часть (10.10) может быть представлена в виде

[здесь используется тот факт, что процесс является преобразованием Фурье процесса

Предположим теперь, что, обратно, стационарный в широком смысле процесс, имеющий первые производных, и что существует процесс с ортогональными приращениями, удовлетворяющими условию для которого выполняется равенство (10.10) [в смысле (10.10)]. Докажем, что в таком случае спектральная функция абсолютно непрерывна и соответствующая спектральная плотность имеет вид

Основная идея доказательства состоит в том, что (фиктивный) процесс имеет постоянную спектральную плотность, равную 1, а левая часть равенства (10.10), рассматриваемая как результат применения к процессу линейной операции с ядром имеет спектральнута плотность приравнивая эти две спектральные плотности, мы получаем требуемый результат. Более строго мы исходим из того, что в силу (10.10) для любой функции удовлетворяющей указанным выше условиям, с вероятностью 1

Но величина в левой части этого равенства является результатом применения к линейной "операции с ядром так что процесс в левой части имеет спектральную функцию, равную

В правой части равенства стоит процесс, получаемый с помощью скользящего суммирования и имеющий спектральную функцию

Приравнивая эти две функции, мы находим, что любая точка разрыва функции должна совпадать с нулем функции что в промежутках

между точками разрыва функция абсолютно непрерывна и имеет производную

Так как функция должна быть интегрируема, то знаменатель здесь не может обращаться в 0. Но в таком случае функция непрерывна и имеет тот самый вид, который требовалось получить.

Для теории прогнозирования важно знать, когда процесс в равенстве (10.10) ортогонален прошлому процесса т. е. когда

Сейчас мы покажем, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда все корни многочлена имеют положительные мнимые части.

Действительно, если функцию в (10.10) определить равенством

то мы найдем, что

Левую часть последнего равенства можно представить в виде

Если корни многочлена имеют положительные мнимые части, то корни многочлена имеют отрицательные мнимые части, и из теории и вычетов немедленно вытекает, что последний интеграл равен нулю. Те же самые соображения показывают, что этот интеграл будет тождественным нулем при всех удовлетворяющих указанным неравенствам, если хотя бы один из корней многочлена 2 ,2 имеет неположительную мнимую часть.

Таким образом, если , то выборочные функции процесса удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению (10.10) весьма простого вида. Так как при действительном и так как при изучении уравнения (10.10) мы не предполагали, что все корни многочлена имеют положительные мнимые части, то коэффициенты

а следовательно, и само дифференциальное уравнение могут быть изменены простой заменой корней на их сопряженные, причем сам процесс не изменится. Таким образом, выборочные функции данного процесса удовлетворяют многим дифферевциальным уравнениям вида (10.10), но среди них имеется лишь одно, для которого процесс ортогонален прошлому процесса в указанном выше смысле, а именно — уравнение, для которого все корни многочлена лежат в верхней полуплоскости.

Дифференциальное уравнение (10.10) относится к типу уравнений, решения которых хорошо известны; в нашем случае решение дается формулой

где функции, которые могут быть явно выражены через заданные коэффициенты Конечно, в обычной теории дифференциальных уравнений такое решение уравнения (10.10) рассматривается лишь для случая, когда в правой части (10.10) есть детерминированная (не вероятностная) функция от однако правая часть равенства (10.11) определена и в рассматриваемом нами вероятностном случае, и, поскольку правила обращения со стохастическими интегралами совпадают с правилами обращения для обычных интегралов, процесс определяемый этим равенством, действительно удовлетворяет (10.10) [т. е. (10.10)]. Если корни многочлена все имеют положительные мнимые части, то, как мы видели, приращения процесса фигурирующего в (10.11), ортогональны ко всем случайным величинам Следовательно, в этом случае интеграл в (10.11) также ортогонален ко всем с так что

является проекцией на прошлое этого процесса вплоть до момента В частном случае, когда наш процесс является марковским в широком смысле. В этом случае (10.11) обращается в

где уравнение имеет единственный корень — мнимая часть которого положительна, так что b имеет положительную действительную часть. При равенство (10.11) дает

таким же образом (10.11) дает

Последнее выражение показывает, что является процессом, получаемым с помощью скользящего суммирования специального типа: зависит только от прошлого процесса Формула (10.12) для марковского в широком смысле процесса уже выписывалась нами в § 3 (см. пример 2).