§ 7. Условные вероятности и математические ожидания

Пусть у — случайная величина и измеримое -множество. Мы хотим теперь определить условную вероятность и условное математическое ожидание у при различных специальных условиях. Прежде чем сделать это, рассмотрим два частных случая.

Случай 1. Предположим, что случайная величина х принимает только конечное или счетное число значений Условная вероятность при условии которую мы будем обозначать через определяется при как

В частности, если у принимает только значения то мы получим таким способом условное распределение величины у при условии

Условная вероятность зависит от т. е. является функцией от значений, принимаемых случайной величиной. Если вместо этих значений мы подставим в определение условной вероятности саму величину то мы получим случайную величину 2, определяемую равенством

если Если - множество имеет вероятность 0, мы определим случайную величину на этом множестве произвольным образом. Случайная величина 2 определяется таким образом однозначно, если только пренебрегать ее значениями на множестве вероятности 0. Условной вероятностью события относительно случайной величины х называется случайная величина 2 или, точнее, любой из ее возможных вариантов. Эта условная вероятность обозначается через Тогда, если то

Пусть - любая совокупность чисел Положим

Заметим теперь, что

Это соотношение может быть записано в виде

Аналогично условное математическое ожидание случайной величины у относительно случайной величины х, обозначаемое через определяется как случайная величина, для которой

если Соотношение

следует немедленно из наших определений. Это соотношение может быть ваписано также в виде

Равенства (7.4) и (7.5) приводят к общим определениям условной вероятности и условного математического ожидания, которые будут даны ниже.

Случай 2. Предположим, что пространство это плоскость что измеримыми -множествами являются множества, измеримые по Лебегу, и что заданная вероятностная мера определяется плотностью распределения так что

Тогда абсцисса и ордината точки определяют координатные функции х и у, принимающие в точке соответственно значения Эти функции являются случайными величинами, и их совместное распределение имеет плотность Определим новую плотность (по переменной как

при каждом для которого знаменатель этой дроби не обращается в нуль. По аналогии со случаем 1 естественно назвать полученное таким способом распределение условным распределением величины у при условии и назвать условным математическим ожиданием величины у при том же условии отношение

(Мы предположили, что Эти определения согласуются с теми общими определениями, которые будут даны ниже.

Общий случай. Вместо того чтобы определять условные вероятности и условные математические ожидания относительно заданной случайной величины, мы введем несколько более общее понятие и затем конкретизируем его для этого частного случая. Как мы увидим, условвая вероятность представляет собой частный случай условного математического ожидания, и поэтому мы определим сначала математическое ожидание.

Пусть у — случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание, и пусть борелевское поле измеримых -множеств. Пусть, далее, борелевское поле тех -множеств, которые или входят в или отличаются от некоторого множества из на множество вероятности Напомним (см. дополнение, теорема 2.3), что если некоторая случайная величина измерима относительно то она совпадает с вероятностью 1 с некоторой случайной величиной, измеримой относительно Условное математическое ожидание случайной величины у относительно обозначаемое определяется как любая функция от измеримая относительно интегрируемая и удовлетворяющая соотношению

(Из соотношения между и следует, что условное математическое ожидание будет удовлетворять этому соотношению и при Таким образом, определения условных математических ожиданий одинаковы.) Заметим, что правая часть (7.6) определяет функцию от являющуюся вполне аддитивной функцией множества и обращающуюся в нуль при Следовательно, согласно теореме Радона-Никодима (см. дополнение, § 2), эта функция от А может быть представлена как интеграл по А от некоторой измеримой относительно функции от Полученная таким образом функция от является одним из возможных вариантов Однако в силу нашего определения любая функция от , равная почти всюду этой функции, является также одним из возможных вариантов условного математического ожидания. Обратно, согласно теореме Радона-Никодима, любые два варианта условного математического ожидания совпадают почти всюду. Таким образом, нашему определению удовлетворяет любая случайная величина из некоторого класса случайных величин. Любые две случайные величины из этого класса совпадают почти всюду, и наоборот, любая случайная величина, совпадающая почти всюду с некоторым элементом из этого класса, и сама принадлежит этому классу. В дальнейшем о любом выражении, содержащем условное математическое ожидание, будет подразумеваться, если только явно не утверждается противоположное, что в нем может быть использован любой из вариантов этого условного математического ожидания.

Пусть измеримое -множество, борелевское поле -множеств и у — случайная неличина, такая, что

Тогда условная вероятность относительно определяется как (точнее, как любой из вариантов этого условного математического ожидания). Эта условная вероятность обозначается через Таким образом, условная вероятность — это любая интегрируемая функция от измеримая относительно или же совпадающая почти всюду с функцией, измеримой относительно , и удовлетворяющая соотношению

Предыдущие определения несколько упрощаются, если в входят все множества меры нуль, так как в этом случае и условные вероятности и математические ожидания относительно являются обязательно измеримыми относительно Мы видели, однако, что в любом случае существует вариант измеримый относительно

Пусть теперь некоторое семейство случайных величин, наименьшее борелевское поле -множеств, относительно которого измеримы все борелевское поле, порожденное классом множеств вида где А — борелевское множество), и борелевское поле -множеств, которые или сами принадлежат или же отличаются от множеств из на множество вероятности нуль. В этой книге мы будем называть любое -множество из измеримым множеством выборочного пространства семейства и любую функцию от измеримую относительно (т. е. равную почти всюду функции, измеримой относительно случайной величиной, измеримой относительно семейства величин В частности, если У состоит из целых чпсел то -множество А является измеримым множеством выборочного пространства нашего семейства тогда и только тогда, когда оно отличается не более, чем на -множество меры от одного из множеств вида

где А — борелевское множество (-мерное в действительном случае, -мерное в комплексном); функция х от является случайной величиной, измеримой относительно семейства тогда и только тогда, когда х совпадает почти всюду с беровской функцией от (См. дополнение, теорема 1.5.)

Пусть у — случайная величина, имеющая математическое ожидание, и пусть измеримое -множество. Условное математическое ожидание (соответственно условная вероятность) случайной величины у (события или множества относительно семейства обозначается через

и определяется как

т. е. как любой вариант этого последнего условного математического ожидания (условной вероятности). Поле определяется здесь так же, как и в предыдущем абзаце. Как и всегда, мы можем заменить в этом определении на . Таким образом, мы определили рассматриваемое условное математическое ожидание как любую случайную величину, измеримую относительно выборочного пространства семейства х, интеграл которой по каждому измеримому множеству выборочного пространства этого семейства совпадает с интегралом величины у по тому же множеству. Если определено таким способом, то можно придать соотношениям (7.6) и (7.7) несколько более удобную форму, ограничив класс тех -множеств, для которых должны быть выполнены эти соотношения. Левая и правая части этих соотношений являются вполне аддитивными функциями от А, а такие функции вполне определяются их значениями на любом подполе поля порождающем все поле (см. дополнение, теорема 2.1). В нашем случае в качестве может быть выбрав класс -множеств, являющихся конечными суммами множеств вида

где любое конечное подмножество множества борелевские множества. Таким образом, достаточно, чтобы (7.6) [или же (7.7)] удовлетворялось для множеств А указанного вида. Так как правая и левая части (7.6) и (7.7) аддитивны относительно множеств, по которым производится интегрирование, то достаточно проверить эти соотношения для указанных выше отдельных слагаемых. Мы можем даже считать, если это Оно, что являются правыми полузамкнутыми интервалами (или открытыми интервалами, или замквутыми интервалами).

Предположим, в частности, что введенное выше множество состоит из чисел Тогда данные нами определения условного математического ожидания и условной вероятности

согласуются с определениями, предложенными ранее для случаев 1 и 2, В самом деле, выведенное при рассмотрении случая 1 соотношение (7.5) в общем случае переходит в определяющее условие (7.6). Рассмотрим тот вариант условного математического ожидания, который измерим относительно Тогда, как мы уже видели, этот вариант может быть записан в виде

где — беровская функция от переменных (см. дополнение, теорема 1.5). Используя этот вариант, мы можем ввести обозначение

для

В частности, используя тот из вариантов который является беровской функцией от мы будем иногда применять обозначение

для

Приведенные рассуждения оправдывают естеотвенность обычного понимания случайных величин

как условного математического ожидания величины у и условной вероятности события при заданных значениях величин или при заданном