§ 7. Оценка значений ... по выборочным функциям

Теоремы 7.1 и 7.2 гл. X непосредственно переносятся на случай непрерывного параметра (с очевидной заменой средних по конечному числу членов на интегральные средние), и поэтому формулировки соответствующих предложений будут нами опущены.

Существенно отметить, что функции и принципиально не могут быть определены, если выборочные функции известны только на конечном интервале. Действительно, предположим, что вероятностный процесс

нам полностью известен на интервале это, разумеется, больше, чем то, что можно надеяться извлечь из знания на этом интервале любого конечного числа выборочных функций. Предположим даже, что нам известно, что рассматриваемый процесс — гауссовский, и что для него В таком случае функция нам будет в точности известна при но мы не сможем определить значений для всех а следовательно, и значений спектральной функции [разумеется, речь идет об абсолютно точном определении и поскольку существуют примеры пар положительно определенных функций (т. е. пар корреляционных функции), совпадающих на произвольном интервале, содержащем точку

Теорема 7.3. гл. X также без труда переносится на случай непрерывного параметра и показывает, как можно на практике оценить спектральную функцию процесса: равенство

всегда выполняется, если только и — точки непрерывности функции но опять же результат, получаемый из (7.1) при помощи дифференцирования:

будет неверен, даже если абсолютно непрерывна. Предел в равенстве (7.1) является пределом по вероятности для каждой пары и даже пределом с вероятностью 1, если для каждого с вероятностью 1