§ 12. Приложение теории мартингалов к выводу свойств непрерывности выборочных функций процессов некоторых типов

а) Приложение к марковским процессам. Пусть марковский процесс с заданными вероятностями перехода. Иначе говоря, мы предполагаем, что задана некоторая функция от являющаяся при

фиксированных беровской функцией от I, а при фиксированных функцией распределения относительно переменного Предполагается, что при всех где с вероятностью 1

и что тождественно по выполняется уравнение Чепмена — Колмогорова

Тогда вероятностный процесс определяемый равенством

будет мартингалом, так как справа стоит условная вероятность относительно системы условий, возрастающей с ростом Из известных свойств непрерывности выборочных функций мартингалов вытекают соответствующие свойства выборочных функций процесса Например, если наш марковский процесс является однородной цепью Маркова (см. § 1 гл. VI), то определим х, (слегка видоизменяя определение, данное выше), как

где

Теперь можно использовать свойства непрерывности выборочных функций процесса для того, чтобы показать, что почти все выборочные функции сепарабельной цепи Маркова с конечным числом состояний являются ступенчатыми функциями (ср. теорему 1.4 главы VI).

б) Приложение к процессам с независимыми приращениями. Пусть действительный сепарабельный процесс с независимыми приращениями. Предположим, что при каждом существуют и конечны с вероятностью 1 пределы

В теореме 6.3 гл. VIII доказывается, что почти все выборочные функции такого процесса ограничены. (В теореме 6.3 предполагается, что процесс центрирован, а это означает, что, кроме указанного выше условия, на процеес накладывается ограничение, состоящее в том, что разности или не могут быть с вероятностью 1 равны постоянной, не равной 0. Однако это дополнительное ограничение не используется при доказательстве теоремы.) Мы применим теперь теорию мартингалов, для того чтобы изучить свойства непрерывности процесса и получим при этом результат Леви (теорема 7.2 гл. VIII), состоящий в том, что почти все выборочные функции процесса непрерывны всюду, за исключением точек разрыва, в которых существуют конечные пределы слева и справа. Чтобы доказать это, обозначим через характеристическую функцию разности

и положим

В этом определении предполагается, что число и выбрано так, чтобы Если число выбрано настолько малым, что

то соотношение

показывает, что

Таким образом, процесс , определен при всех для которых Пусть борелевское поле -множеств, задаваемых условиями, наложении и на величины где Тогда процесс является мартингалом, так как при с вероятностью 1

Мы выберем в дальнейшем некоторое множество лежащее в интервале Мы будем говорить, что функция определенная на обладает свойством если она совпадает на с некоторой функцией, определенной на всем отрезке и имеющей в каждой точке отрезка конечные пределы слева и справа. Другими словамп, функция обладает свойством если ее можно переопределить в точках множества так, чтобы возникшая в результате этого новая функция имела пределы справа и слева во всех точках отрезка Пусть любое счетное подмножество отрезка Мы видели, что, хотя процесс фиксировано) не обязательно является сепарабельным, из теоремы 11.5 вытекает, что почти все выборочные функции процесса обладают свсйством В соответствии с нашим основным предположением функция имеет при любом фиксированном и всех из отрезка конечные пределы слева и справа по Следовательно, при каждом почти все выборочные функции процесса таковы, что функция от

обладает свойством Поэтому почти все выборочные функции процесса обладают тем свойством, что одновременно для всех рациональных в интервале приведенные выше функции от а звачит, и их мнимые части обладают свойством Далее, если действительвая функция ограничена и то функция обладает свсйством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает функция Отсюда следует, что свойством обладают почти все выборочные функции процесса предположению, процесс х, является сепарабельным. Пусть совокупность значений параметра, входящая в определение сепарабельности. Тогда из того, что почти все выборочные функции процесса обладают свойством следует, что почти все выборочные функции имеют конечные пределы слева и справа во всех точках отрезка что и требовалось доказать.

в) Приложение, к гауссовским процессам. Поучительно применить теорию мартингалов к изучению условных математических ожиданий в гауссовских процессах. Предположим сперва, что задан гауссовский процесс (случай дискретного параметра). Тогда является линейной комбинацией величин и так как с вероятностью 1 (теорема 4.3, следствие 1)

то стоящее слева условное математическое ожидание, будучи пределом нормально распределенных случайных величин, и само имеет нормальное распределение. И вообще, ясно, что любые условные математические ожидания величин при условии, что заданы конечные или бесконечные совокупности величин имеют совместные нормальные распределения, так как эти условные математические ожидания являются пределами линейных комбинаций величин х) (возникающие гауссовские распределения могут, конечно, быть вырожденными). В общем случае гауссовского процесса рассмотрим условные математические ожидания вида

Тогда существует конечная или счетная последовательность чисел принадлежащих такая, что с вероятностью 1

(см. теорему 8.2 гл. I), и поэтому в соответствии с проведенным выше рассмотрением случая дискретного параметра эти условные математические ожидания должны иметь нормальные распределения; и вообще, любая совокупность условных математических ожиданий такого вида образует некоторый гауссовский процесс. В качестве примера предположим, что величины х, определены равенством

Тогда семейство величин образует гауссовский мартингал. (Легко заметить, что гауссовский мартингал, не имеющий фиксированных точек разрыва, с точностью до постоянного слагаемого и замены временного параметра совпадает с процессом брауновского движения. Это вытекает из того, что такой процесс имеет некоррелированные приращения.) Отметим, что величину можно рассматривать как прогноз значения величины условии, что известно все «прошлое» процесса вплоть до момента (см. гл. XII).