§ 5. Приложение пуассоновского процесса к распределенинм молекул и звезд

Рассмотрим некоторое множество точек на конечном или бесконечном интервале, например множество звезд в «одномерной модели» вселенной. Пусть -координаты этих точек; будем считать, что они распределены равномерным образом, и рассмотрим вопрос о том, как могут двигаться эти точки так, чтобы при этом сохранялась равномерность их распределения, то есть вопрос о том, какого рода движенпе совместимо со статистическим равновесием системы частиц (это требование не нужно смешивать с требованием стационарности процесса, управляющего движением отдельной частицы). Следующие два примера разъясняют имеющиеся возможности.

а) Предположим, что на бесконечной прямой имеется бесконечно много частиц, участвующих в брауновском движении. Если координата одной из таких частиц в момент то, как мы уже видели, процесс является вероятностным процессом брауновского движения, для которого при Следовательно, в любой заданный момент времени где достаточно велико, частица окажется с вероятностью, близкой к 1, далеко от своего начального положения. Другими словами, отдельные частицы будут диффундировать из любого конечного интервала наружу; такой процесс разумеется, не является стационарным. Тем не менее интуитивно ясно, что система, состоящая из бесконечного числа частиц, будет стационарной; частицы, находившиесн первоначально далеко от начала координат, будут меняться местами с частицами, находившимися вблизи начала координат.

б) Предположим, что имеется конечное число частиц, диффундирующих в интервале и отражающихся от границ этого интервала в те моменты, когда они достигают точек а или («отражающих экранов»). Здесь естественно ожидать, что процесс становится асимптотически стационарным

при со, каковы бы ни были начальные условия; более того, при помощи подходящего выбора начальных условий этот процесс, повидимому, можно сделать просто стационарным процессом. Иначе говоря, 9 этом случае система будет стационарной, каково бы ни было число частиц, если только различные частицы перемещаются независимо друг от друга.

Мы будем рассматривать только случай бесконечного интервала. Первое, что нам надо сделать, — это точно определить, что подразумевается под распределением бесконечного числа частиц с плотностью с на оси 5. Определение этого понятия формулируется иногда с помощью предельного перехода. Именно, выбирают независимо друг от друга частиц в интервале ), каждую с постоянной плотностью распределения вероятностей, равной после чего полагают таким образом, что В соответствии с результатами § 4, это есть косвенное определение того факта, что точки распределены на оси в соответствии с законом Пуассова со средней плотностью числа событий с. (Заметим, что параметр здесь играет роль не времени, а расстояния; «событиями» являются координаты положения частиц на оси События распределены здесь уже не на полуоси, а на всей оси.)

Мы можем отказаться от такого косвенного подхода к вопросу и предположить просто, что при каждом задана последовательность случайных величин где положение частицы в момент времени В момент времени частицы имеют распределение Пуассона на оси 5 со средней плотностью (равной числу частиц, приходящихся на единицу длины) с, и занумерованы они таким образом, что Мы хотим найти условия на процесс которые обеспечили бы сохранение при всех пуассоновского распределения частиц на оси 5 с той же плотностью частиц с. Процессы не являются взаимно независимыми, так как при их связывают указанные выше неравенства. Мы предположим, что при распределение вероятностей для разности не зависит от Кроме того, мы предположим, что при каждом две совокупности случайных величин

взаимно независимы, и что взаимно независимы между собой также и. все величины из первой совокупности.

Пусть это числа точек (при некотором фиксированном лежащих соответственно в конечных интервалах Длины этих интервалов обозначим через Предполагается, что интервалы не имеют попарно общих внутренних точек. Для того чтобы показать, что распределение частиц в момент совпадает с распределением в момент 0, достаточно показать, что

Заметим, что это соотношение вовсе не означает, что распределение вероятностей координаты каждой индивидуальной частицы не зависит от времени. Действительно, если, например, каждая из частиц подчинена вероятностному процессу брауновского движения, то с возрастанием она будет стремиться уйти все дальше и дальше от точки Соотношение (5.1) означаем, однако, что система находится в состоянии макроскопического равновесия, если рассматривать только относительное взаиморасположение частиц. Например, если каждая частиц движется по оси с в положительном направлении с постоянной единичной скоростью, то условия, наложенные выше на рассматриваемые движения, здесь выполняются, а также выполняется очевидным образом и (5.1). Чтобы доказать соотношение (5.1) в общем

случае, мы воспользуемся тем, что если некоторая функция распределения, то

Нам будет удобно в дальнейшем обозначать разность через где это интервал под мы будем подразумевать интервал I, сдвинутый на единиц. Предыдущее соотношение можно переписать в виде

Это соотношение остается верным, если подразумевать под I любую сумму интервалов, а под сдвинутое на единиц множество I и заменить на длину Пусть функция распределения разности Вероятность того, что из числа частиц, находившихся в момент в интервале ровно но частиц окажутся в момент I в каждом из интервалов равна (просуммированной по всем вероятности того, что к частиц находились вначале в интервале что ровно по из этих частиц окажутся в момент времени в интервалах т. е. равна

где Полученное выражение можно записать в виде

и, используя (5.2), находим, что последний член равенства сходится при к правой части соотношения (5.1), что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь частный случай, когда существуют скорости частиц, т. е. когда почти все выборочные функции процессов абсолютно непрерывны. Если то условия, которые мы наложили на процесс будут выполняться при следующих предположениях. При любом конечном наборе моментов времени совместное распределение вероятностей для величин не зависит от

Две совокупности случайных величин

взаимно независимы; ссвокупности случайных величин

также взаимно независимы. Таким образом, при этих предположениях пуассоновское распределение частиц, заданное в момент 0,. воспроизводится и во все последующие моменты времени. Заметим, что, хотя система находится в этом случае в состоянии макроскопического равновесия, мы вовсе не предполагали, что процесс является стационарным, и не предполагали даже, что наши условия относительно сохраняются при любом выборе начального момента времени. Так, например, величина может оказаться зависящей от при если только

Все приведенные выше рассмотрения носили одномерный характер. В -мерном случае пуассоновским распределением частиц называется распределение, для которого выполняется соотношенпе (5.1), где под понимается теперь число частиц в из -мерных интервалов не пересекающиеся нигде, за исключением, быть может, точек своих -мерных граней, и имеющих -мерные объемы Перенесение всех результатов этого параграфа на -мерный случай является тривиальным.