§ 2. Приложение к вероятностным играм

Предположим, что игрок с первоначальным капиталом играет в какую-нибудь вероятностную игру и что его капитал после одной игры равен Здесь является случайной величиной, и игру считают обычно «безобидной», если

Это определение безобидности является несколько произвольным, хотя оно и освящено традицией. Если игрок будет затем играть снова в ту же самую или какую-нибудь другую игру, то предыдущий критерий безобидности примет вид

(с вероятностью 1), где капитал игрока после второй игры, причем выбор второй игры может зависеть от Продолжая это рассуждение, мы приходим к тому, что естественным определением безобидности игры является условие мартингала: с вероятностью 1

где капитал игрока после игры. (Так как сейчас у нас то безразлично, входит или нет в число случайных величин, относительно которых берется условная вероятность. Однако в дальнейшем это будет уже не так.)

Более тщательный анализ идей, заключенных в понятии безобидности, показывает, что первую игру нужно считать безобидной, еслп с вероятностью 1

где обозначает одну или несколько случайных величин, отражающих сведения о прошлом, имеющиеся у игрока к моменту первой игры. Для следующей игры критерием безобидности будет равенство

(с вероятностью 1), где отражает прошлое (в частности, значение известное игроку к моменту второй игры, и т. д. Эти новые условия безобидности игры несколько сильнзе приведенных выше, и они подсказывают следующую математическую модель безобидной игры, безобидная игра — это мартингал относительно некоторой последовательности, борелевских полей Борелевское поле отражает влияние прошлого

вплоть до момента включительно. Мы дадим еще и второе определение в том же стиле: благоприятная игра — это полумартингал относительно некоторой последовательности борелевских полей Мы не будем предполагать, что с вероятностью 1 принимает фиксированное значение, хотя такое предположение подсказывается рассмотренной только что интерпретацией.

Если введенные нами понятия безобидности и благоприятности выбраны удачно, то безобидные и благоприятные игры должны оставаться соответственно безобидными и благоприятными, когда игрок меняет в некоторых допустимых пределах свой метод игры, что приводит к изменению заданного процесса Это обстоятельство подсказывает различные математические теоремы, рассмотрение которых будет являться основным содержанием настоящего параграфа и которые имеют важные теоретические приложения.

Предположим, например, что игрок решает в некоторый момент прекратить игру, вместо того чтобы продолжать ее до бесконечности, потому ли, что он думает, что он уже достаточно выиграл (или проиграл), или потому, что он разочарован ходом игры, или по каким-нибудь другим причинам. Тогда игра остается все равно безобидной (или благоприятной), если таковой была первоначальная игра, если только игрок не прервал игру потому, что он может предвидеть будущее и знает, например, что следующая игра приведет к невыгодному для него результату (или же потому, что он знает, что следующая игра приведет к выгодному для него результату, и он по рыцарски отказывается использовать преимущество, даваемое ему его сверхъестественными способностями). Математическая формулировка такого способа ведения игры состоит в следующем. Пусть случайная величина, которая может принимать с положительной вероятностью значение и все конечные значения которой являются неотрицательными целыми числами является числом игр, после которых игрок останавливается). Определим случайные величины равенством

Предполагается, что условие является условием, наложенным только на прошлое вплоть до момента точнее, предполагается, что

Преобразование, переводящее процесс в процесс мы будем называть преобразованием свободного прекращения игры. Естественно ожидать, что при таком преобразовании безобидная игра остается безобидной, а благоприятная игра — благоприятной, т. е. что мартингал переходит в мартингал, а полумартингал — в полумартингал. Эти свойства инвариантности и составляют содержание теоремы 2.1. Существенное использование этой теоремы в § 4 при доказательстве свойств сходимости мартингалов показывает, что полезнее заниматься вопросами сходимости последовательностей, а не азартными играми. Хотя теорема 2.1 является очень частным случаем теоремы 2.2, мы докажем ее здесь отдельно, чтобы облегчить чтение § 4.

Теорема 2.1. Предположим, что полумартингал (мартингал) в результате свободного прекращения игры преобразуется в процесс Тогда процесс также будет полумартингалом

(мартингалом). В случае полу мартингала

в случае мартингала

Так как при любом величина равна одной из величин

Предположим, что процесс является полумартингалом. Чтобы показать, что процесс также является полумартингалом, мы должны доказать, что для -множества А, определяемого условиями, наложенными на имеет место неравенство

Если функция, определяющая прекращение игры (см. определение преобразования свободного прекращения игры), то при Поэтому

так как подинтегральные функции здесь совпадают. Нетрудно проверить, используя выражение случайных величин через что если событие определяется условиями, наложенными на то Далее -множество а следовательно, и его дополнение множество входят в Наконэц, из всего этого следует, что и множество входит в Но тогда, используя свойство полу мартингала, находим, что

Мы можем заменить здесь под знаками интеграла на на так как

Складывая (2.2) и (2.3), мы получаем соотношение (2.1), показывающее, что процесс является по мартингалом. Если процесс является мартингалом, то в (2.3), а значит в (2.1) будет знак равенства, так что процесс также будет мартингалом. В обоих случаях Следовательно, в случае мартингала

В случае полумартингала мы находим, пспользуя свойство полумартингала, что

Мы хотим теперь, обобщив понятие свободного прекращения игры, прийти к понятию свободного выбора. Мы будем говорить, что процесс переходит в процесс в результате преобразования свободного выбора в следующем случае. Пусть конечная или бесконечная последовательность случайных величин, принимающих целые значения, обладающая следующими двумя свойствами: с вероятностью 1

и

Положим

В терминах игр переход от соответствует тому, что игрок подсчитывает свой выигрыш (или проигрыш) не после каждой игры, а лишь в какие-то моменты, зависящие от результатов всех прошлых и настоящей игр. В частности, если целозначная случайная величина, определяющая преобразование свободного прекращения игры, и если определено равенством

то величины ту удовлетворяют условиям, наложенным на в определении свободного выбора, и свободный выбор, определяемый этими приводит к тому же процессу что и свободное прекращение, определяемое случайной величиной

Теорема 2.2. Предположим, что полумартингал результате преобразования свободного выбора переходит в процесс Тогда, если

и если

то процесс также является полумартингалом, причем

Условие (2.4) всегда выполняется, если

Если выполнены условие (2.4) и условие

то неравенство можно усилить следующим образом:

если при этом процесс является мартингалом, то и процесс оказывается мартингалом, и неравенства (2.6) переходят в равенства.

Каждого из следующих условий достаточно для выполнения условий

С. Величины равномерно интегрируемы.

С. Каждая из случайных величин (с вероятностью 1) ограничена (это условие всегда выполнено в случае преобразования свободного прекращения).

С. При всех

в существует постоянная К такая, что для любого с вероятностью 1

С4. Процесс является мартингалом, выполнено условие (2.4) и существуют случайная величина и последовательность целых чисел такие, что с вероятностью l

Если заменить в этом условии величины величинами то из такого ослабленного условия будет вытекать справедливость соотношений (2.4) в (2.5), даже если процесс является всего лишь полумартингалом. Доказательство будет проведено в несколько этапов, а) Вывод соотношения (2.4) из условия Фиксируем и предположим, что преобразование свободного прекращения, определяемое случайной величиной переводит процесс в процесс так что

Тогда с вероятностью 1, причем в силу теоремы 2.1 процесс является полумартингалом. В силу теоремы Фату нам достаточно показать, что Но

откуда пользуясь тем, что и что процесс является полумартингалом, находим, что

б) Вывод неравенства полумартингала для процесса из соотношений (2.4) в (2.5). Нам нужно доказать, что если -множество задается условиями, наложенными на если процесс является полумартингалом если выполняются соотношения (2.4) и (2.5), то

На самом деле мы получим более сильное неравенство, а именно докажем, что если

то

Положим

Тогда

Пользуясь этими соотношениями и неравенством полумартингала, получаем

При первый член последней строки этого неравенства стремится к

Следовательно, учитывая (2.5), мы видим, что

и мы получили, таким образом, искомое неравенство (2.8). В частном случае, когда пропесс является мартингалом, неравенство (2.9) превращается в равенство

Если выполнено предположение (2.5), то, полагая здесь мы получаем соотношенпе (2.8), а следовательно, и (2.7) со знаком равенства.

Таким образом, в этом случае процесс является мартингалом.

в) Вывод неравенства (2.6) из соотношений (2.4) и (2.5). Предположим сперва, что Тогда, поскольку процесс является полумартингалом и поскольку свойство полумартингала инвариантно относптельно заданного преобразования свободного выбора, то процесс также будет полумартингалом, так что

так как то мы сразу получаем (2.6). В случае мартингала это рассуждение приводит вместо неравенства к аналогичному равенству. При доказательстве мы пока предположили, что первые случайные величины процессов совпадают. Следующие соображения показывают, что это предположение в действительности не является ограничением. В самом деле, положим

Дополненный процесс является полумартингалом мартингалом тогда и только тогда, когда этим свойством обладает первоначальный процесс; дополненное преобразование свободного выбора мы определим так, чтобы переходило в а все остальные величины преобразовывались, как и раньше. Для дополненных процесса и преобразования соотпошенпя (2.4) и (2.5) или (2.5) остаются выполненными, если они выполнялись и раньше; наконец, Поэтому справедливости соотношения (2.6) для дополненных процесса и преобразования свободного выбора следует справедливость этого соотношения и для первоначального процесса и первоначального преобразования. Эти же рассуждения показывают, что если процесс является мартингалом и если выполнены условия (2.4) и (2.5), то в (2.6) будет самом деле знак равенства. Покажем еще, что в предположениях (2.4) и (2.5) верно правое из неравенств (2.6). В случае, если процесс является мартингалом, это неравенство превращается в равенство, так как крайние его члены совпадают. В случае полумартингала мы, пользуясь неравенством полумартингала, находим, что

В сил это неравенство при переходит в искомое неравенство.

г) Каждое из условий влечет за ссбой соотношение (2.4). Из условия следует, что а значит, в соответствии с пунктом а) доказательства нашей теоремы, него следует соотношенпе (2.4). Справедливость соотношения (2.4) можно также легко вывести и из того.

что в этом случав в силу пункта (II) теоремы существует полумартингал мажорирующий процесс . (Нетрудно показать, что при условии величины являются даже равномерно интегрируемыми.) Если выполнено условие так что случайная величина с вероятностью 1 не превосходит некоторого целого числа то

так как равно одной из величин Если выполнено условие то положим

При таком определении являются неотрицательными случайными величинами, и с вероятностью 1

В дальнейшем мы будем использовать только факт существования семейства величин обладающих этими свойствами, и условию можно было бы придать поэтому несколько более общую форму. Положим

Тогда процесс мажорирует процесс и

Так как -множество так же как и его дополнение входит в поле то последняя сумма может быть записана в виде

Следовательно, существуют математические ожидания причем

Наконец, при условии соотношение (2.4) верно по предположению.

д) Каждое из условий влечет за собой соотношение (2.5). Так как

то при условии С, (т. е. в предположении равномерной интегрируемости величин соотношение (2.5) выполнено. В случае условия при достаточно больших вероятность равна 0, так что при достаточно больших интеграл в (2.5) обращается в 0. При условии

пользуясь обозначениями, введенными в пункте г), находим, что

причем интеграл, стоящий справа, стремится к при как мы только что доказали, Если выполняется ослабленный вариант условия и процесс является полумартингалом, то при

Так как последний член этого неравенства стремится к при то соотношение (2.5) доказано. Если процесс является мартингалом, то из условия для этого процесса вытекает ослабленный вариант условия для процесса являющегося полумартингалом. Следовательно, как мы только что доказали, соотношение (2.5) выполняется для процесса а это эквивалентно соотношевию (2.5) для процесса

Следующий пример, из которого можно сделать интересные выводы для случайного блуждания, иллюстрирует возможность применений теоремы 2.2 даже в том случае, когда имеется только одна величина

Пример 1. Пусть действительный мартингал. Предположим, что

Определим как первый из индексов для которых Тогда, если применима теорема 2.2, то процесс где принимает единственное значение является мартингалом, причем

В этом случае свойство мартингала становится для процесса бессодержательным и поэтому выполняется, но последнее соотношение между математическими ожиданиями является, очевидно, неверным. Следовательно, условия теоремы 2.2 не могут быть выполнены, и из их невыполнения вытекает целый ряд результатов. Например (см. условие предположим, что взаимно независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения, и что

Тогда процесс является мартингалом, и с вероятностью 1

Таким образом, если мы определим как поле -множеств, задаваемых условиями, наложенными на т. е. условиями, наложенными на то вторая половина условия будет выполняться так что должна нарушаться первая половина этого условия. Отсюда следует, что поскольку, как известно Чжун и Фукс [1]), при указанных предположениях о величинах всегда

то

Ттшми словами, система, совершающая случайное блуждание, описываемое лессом наверняка достигнет когда-нибудь положительной полуоси, и математическое ожидание времени до ее достижения равно бесконечности.

С целью рассмотреть еще один тип преобразований, оставляющий инвариантным свойства мартингала и полумартингала, мы обобщим, следуя Халмошу, теорему о системах игры из § 5 гл. III. Рассмотрим безобидную игру, т. е., с нашей точки зрения, мартингал и положим

так что это выигрыш в игре. Безобидность игры, т. е. свойство мартингала, выражается в терминах в виде условия: с вероятностью 1

Борелевское поле отражает, как обычно, влияние прошлого вплоть до момента Если игра является безобидной, то игрок обнаружит, что она по-прежнему кажется безобидной и в том случае, когда участвует не во всех играх, решая вопрос, участвовать ли ему в очередной игре, на основании результатов прошлых игр. Это означает, что если или в зависимости от того, участвует ли игрок или нет в игре (выигрыш в этой игре равен то событие должно определяться ходом игры до момента т. е. должно быть

Пусть это по порядку целое число для которого так что игрок имеет теперь выигрыши вместо Мы ожидаем, что процесс 1 2

снова окажется мартингалом. Для того чтобы предотвратить недоразумения, мы сфэрмулируем снова наши предположения, уже не ссылаясь на игры. При чтобы облегчить сравнение с теоремой о системах игры из § 5 гл. III, мы сформулируем результаты в терминах процесса а не процесса Мы рассмотрим наряду с мартингалами также и полумартингалы, т. е. наряду с безобидными играми мы допустим и благоприятные игры.

Пусть вероятностный процесс и пусть борелевские поля измеримых -множеств, обладающие следующими свойствами:

(II) Случайная величина или измерима относительно совпадает почти всюду с величиной, измеримой относительно Либо с вероятностью 1 при всех

либо процесс является действительным и с вероятностью 1 при всех

Мы будем обозначать наш процесс через подчеркивая тем самым роль полей Пусть -целочисленные случайные величины, обладающие следующими свойствами с точностью до -множеств вероятности 0:

Определим величины у равенством

Мы будем говорить, что процесс получается из процесса при помощи преобразования свободного пропуска. Если величины взаимно независимы и имеют одинаковую функцию распределения и если является борелевским полем -множеств, определяемых условиями на то по теореме 5.2 гл. III величины тоже должны быть взаимо независимыми величинами и иметь ту же самую функцию распределения. Следующая теорема показывает, что свойства мартингала и полумартингала также сохраняются при таком преобразовании.

Теорема 2.3. Предположим, что процесс обладающий свойствами (II), сформулированными в предыдугцем абзаце, преобразуется в результате свободного пропускав процесс причем

Тогда процесс с вероятностью 1 удовлетворяет соотношению

Если условие заменить условием (III), то с вероятностью 1 в (2.11) будет иметь место равенство. Условие (2.10) выполняется, если выполнено одно из следующих условий:

С. Каждая из случайных величин определяющих преобразование свободного пропуска, является ограниченной с вероятностью 1 случайной величиной.

С. Существует число К такое, что при каждом с вероятностью 1

Для того чтобы вывести (2.15), нам достаточно показать, что для любого -множества определяемого условиями, наложенными на величины

Мы получим на самом деле более сильное неравенство; именно, мы покажем, что при

имеет место неравенство

или, что то же самое,

Но последнее неравенство следует из так как при Условие (2.10) заведомо выполняется, если каждая из величин ограничена с вероятностью 1, так как если с вероятностью 1, то

Условие (2.10) выполняется также, если выполнено условие нашей теоремы, так как в этом случае

Достаточным является также следующее более общее условие: с вероятностью 1

При это условие сводится к