§ 3. Физические приложения процесса брауновского движения

Пусть координата х в момент частицы, движущейся в некоторой среде. Значительная часть последующего анализа применима к столь различным случаям, как

а) частица является молекулой жидкости или газа;

б) частица имеет микроскопические размеры и находится в жидкости, например является коллоидной частицей;

в) частица является звездой; среда — это звездная вселенная. Английский биолог Браун заметил в 1826 году, что частица в случае б) совершает беспорядочное и кажущееся самопроизвольным движение; теперь

известно, что это движение вызывается столкновениями частицы с молекулами среды. Такое движение называют брауновским движением; при анализе этого физического явления используется вероятностный процесс, рассмотренный в предыдущем параграфе (откуда и происходит название процесса). Существенным условием применимости приводимого нпже анализа является возможность пренебречь взаимодействием между частицей и окружающей средой в промежутки времени между столкновениямп (это условие выполняется, например, в случае движения молекулы газа при низком давлении). Под «столкновением» здесь понимается просто нахождение частицы в поле сил, создаваемом какой-либо частицей среды; не обязательно представлять себе столкновение как нечто напоминающее соударение двух биллиардных шаров.

Столкновения брауновской частицы следуют одно за другим беспорядочным образом и с большой частотой (в подходящем временном масштабе); таким образом, если время достаточно велико по сравнению с промежутком между двумя столкновениями, то изменение координаты является суммой большого числа, малых компонент. Естественно рассматривать функцию как выборочную функцию вероятностного процесса, и задача состоит в том, чтобы описать этот пропесс (зависящий от непрерывного параметра). Предполагается, что среда находится в состоянии макроскопического равновесия; из этого предположения следует, что распределение разности естественно считать симметричным и не зависящим от В качестве первого приближения предполагается, что при разность не зависит от перемещений частицы в моменты времени, предшествующие это предположение вместе с предыдущими приводит к более сильному допущению о том, что процесс имеет независимые прпращения. Центральная предельная теорема подсказывает нам, что разность являющаяся суммой почти независимых малых случайных величин, имеет гауссовское распределение. Если принять все перечисленные гипотезы, то процесс должен быть тем вероятностным процессом, который мы назвали процессом брауновского движения. В случае частицы, находящейся в жидкости, параметр процесса можно отождествить с где коэффициент диффузии жидкости, так что

(эта формула принадлежит Эйнштейну). Еще Эйнштейном отмечалось (это ясно и из проведенного выше обсуждения), что следует ожидать, что указанная формула даст лишь грубое приближение в том случае, когда имеет порядок промежутка времени между двумя столкновениямп молекул. Во всяком случае, развитые здесь соображения, даже еслп положение не осложняется какими-либо специфическими особенностямп динамики частцд, вряд ли можно считать более чем наводящими. В самом деле, более точный математический подход позволяет заключить лишь, что процесс имеет стационарные независимые приращения и что распределение каждой из разностей будет безгранично делимым (см. § 4 гл. III). Процесс брауновского движения далеко не единственный процесс, удовлетворяющий этим условиям (см. § 7 этой главы). Правда, все другие процессы можно исключить, если рассмотреть точные условия, обосновывающие выполнение центральной предельной теоремы, и признать, что эти условия подтверждаются экспериментом. Можно также заметить (см. теорему 7.1), что для всех остальных процессов выборочные функции не будут непрерывными, и решить, что предположение о разрывности траекторий частиц не является разумным. Однако независимо от того, насколько убедительным является проведенное выше обсуждение, оно наводит на мысль о возможностп использования рассмотренного памп сепарабельного процесса брауновского движения в качестве моделп физического

брауневского движения, после чего эта математическая модель может быть проверена на опыте или, во всяком случае, на опыте могут быть проверены некоторые выводы из этой модели. Хорошо, что выборочные функции нашего процесса являются непрерывными; менее удовлетворительным является тот факт, что эти выборочные функции имеют неограниченную вариацию, так что траектории должны иметь бесконечную длину. Кроме того, в нашей модели не существует скорость частицы; в самом деле, мы показали в § 2, что для любой заданной точки с вероятностью 1 нижняя и верхняя производные выборочной функции равны соответственно и . Эти свойства процесса нужно принимать слишком всерьез с практической точки зрения, так к ни являются свойствами выборочных функций в малом и зависят от приращений при малых а как мы уже отмечали, нельзя ожидать слишком хорошего согласия теории с практикой в отношении свойств малых приращений. Более точный анализ брауновского движения приводит к несколько иной математической модели, в которой процесс имеет выборочные функции с непрерывными производными. Как и следует ожидать, для такого процесса имеет при малом порядок