§ 5. Приложение к суммам независимых случайных величин

Хотя закон нуля или единицы легко доказывается прямым способом (см. теорему 1.1 гл. III), поучительно вывести его из теории мартингалов. Итак, пусть взаимно независимые случайные величины. Закон

нуля или единицы утверждает, что если случайная величина, измеримая при каждом относительно семейства величин то с вероятностью 1. Чтобы вывести этот результат из теории мартингалов, предположим сперва, что Тогда, так как при каждом случайная величина х не зависит от случайных величин то с вероятностью 1

Согласно следствию 1 из теоремы 4.3, это соотношение при переходит в равенство

а это и есть искомый результат. Если математическое ожидание не существует, то положим равным при и равным О в остальных случаях. Тогда только что полученный результат показывает, что с вероятностью 1. Но это возможно при всех лишь в том случае, когда с вероятностью 1.

Теорию мартпнгалов можно использовать как основу для изучения вопроса о сходимости рядов составленных из взаимно независимых случайных величин. Мы не станем делать это во всех подробностях, а докажем лишь методами теории мартингалов основную теорему о сходимости, а затем применим теорему 4.1 к частным суммам ряда Мы будем предполагать для простоты, что действительны.

Пусть характеристическая функция величины Предположим, что при некотором X ни одна из величин не равняется нулю. Тогда, используя это X, нетрудно проверить, что процесс определенный равенством

является мартингалом. В § 2 гл. III было показано, что если бесконечное произведение сходится на -множестве положительной лебеговой меры, то ряд . сходится с вероятностью 1. Этот результат, из которого следует, что сходимость по мере или сходимость в среднем ряда 2 влечет за собой его сходимость с вероятностью 1 (см. следствие 2 из теоремы 2.7 гл. III), будет теперь выведен при помощи изучения процесса Отбросив, если нужно, несколько первых членов ряда можем предположить, что на множестве А значений X, имеющем положительную лебегову меру, Тогда при следовательно, в силу теоремы 4.1 предел существует с вероятностью 1. Поэтому при

каждом с вероятностью 1 существует предел

Значит (по теореме Фубини), для всех кроме некоторого -миожества вероятности 0, предел

существует для почти всех X, входящих в А. Для завершения доказательства мы покажем, что если не входит в это исключительное множество, то ряд сходится. Пусть произвольное измеримое по Лебегу подмножество множества А, имеющее конечную положительную меру. Тогда

В силу классической теоремы Лебега об интегралах Фурье отсюда следует, что если (для каждого множества правая часть последнего равенства должна обращаться в 0. Но тогда для почти всех а это противоречит тому очевидному факту, что Значит, Если два неравных предельных значения для последовательности частных сумм ряда . как Уже показано, и конечны, и для почти всех

Но это равенство не может выполняться одновременно для двух значений X, отношение которых иррационально. Следовательно, последовательность частных сумм ряда имеет только одно предельное значение, т. е. этот ряд сходится, что и требовалось доказать.

Применим теперь теорему 4.1 к процессу определенному равенством считая, что так что процесс является мартингалом. В силу пункта (I) теоремы 4.1

ряд сходится с вероятностью 1, если и в этом случае Следующая теорема дает обращение этого результата, которое справедливо не для всех мартингалов.

Теорема 5.1. Пусть взаимно независимые случайные величины, причем при Предположим, что ряд 2 У, сходится с вероятностью 1 к величине Тогда

При величина в правой части этого неравенства, разумеется, может быть бесконечной. При применима теорема 3.4, и из этой теоремы вытекает неравенство (5.1) для значений Таким образом, нам нужно доказать (5.1) только для а. мы, однако, пока не будем накладывать этого ограничения на а (когда мы позже введем его, оно будет особо оговорено). Предположим сперва, что величины у, распределены симметрично. Тогда тривиального обобщения теоремы 2,2 гл. III следует, что

и поэтому

В несимметричном случае обозначим через случайные величины, имеющие соответственно те же распределения, что и величины и не зависящие друг от друга и от величин Пусть Так как разности распределены симметрично, то

Покажем теперь, что

В самом деле,

так как при как величина так и левая часть этого соотношения (в силу следствия 1 из теоремы 4.3) стремятся к Таким образом, (5.3) выполнено и (см. пример 1 § 1) процесс ивляется мартингалом. Если то, согласно пункту (III) теоремы 4.1,

Далее, при

Следовательно,

так что, используя (5.2), находим, что

Теорема 4.1 дает общий критерий сходимости мартингалов Предположим теперь, что где независимы и

Для этого частного случая мы имеем две теоремы, усиливающие теорему 4.1: из закона нуля пли единицы (теорема 1.1 гл. 111) следует, что последовательность сходится к конечному пределу пли с вероятностью О, или с вероятностью 1; теорема 5.1 утверждает, что в случае, когда с вероятностью 1 имеет место сходимость к проделу из того, что следует, что и Это означает, между прочим, что в этом специальном случае пункты (I) и (II) теоремы 4.1 совпадают. Усиленный вариант теоремы 4.1 сводится для этого частного случая к следующему утверждению.

Пусть - взаимно независимые случайные величины, для которых

Тогда если то

(I) Если при некотором то предел существует с вероятностью и последовательность является мартингалом. Обратно, если предел существует с вероятностью 1 и если агоо при некотором то и Если величины действительны, если

и если с положительной вероятностью то с вероятностью 1 предел существует и конечен.

то предел существует и конечен с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда

Пункты (I) и (II) не требуют дальнейших пояснений. В пункте (III) утверждается, что если выполнено неравенство (5.6), то ряд сходится с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда он сходится в среднем. Утверждение «тогда» не представляет особого интереса, так как в силу следствия из теоремы 2.7 гл. из сходимости в среднем любого ряда с взаимно независимыми слагаемыми всегда следует его сходимость с вероятностью 1. Утверждение «только тогда» является обобщением теоремы 2.4 гл. III, в которой вместо условия (5.6) предполагалось более сильное условие равномерной ограниченности величин

Прежде чем продолжать изложение, сделаем следующее простое замечание. Если взаимно независимые случайные величины, то того, что следует, что конечны также и математические ожидания Действительно, достаточно показать, что

а это вытекает из неравенства

Теорма 5.2. Пусть — взаимно независимые случайные величины. Предположим, что ряд с вероятностью 1 сходится к конечной величине и что при некотором Тогда

и

Последнее утверждение, состоящее в том, что частные суммы сходятся в среднем порядка а, следует из того, что в соответствии с (5.7) величина, стоящая в скобках в (5.8), мажорируется функцией, имеющей конечное математическое ожидание. Мы не будем поэтому больше возвращаться к равенству (5.8). Так как величины у, независимы и так как где то и Пусть Тогда согласно соотношению (5.4),

Полагая здесь мы получим, что

Отсюда следует, что

Но тогда по теореме 5.1

так что

На этом мы закончим обсуждение приложений теории мартингалов к изучению рядов из взаимно независимых случайных величин. Показательно, что хотя общие теоремы о сходимости мартингалов могут быть

усилены в том специальном случае, когда мартингал является последовательностью частных сумм ряда из взаимно независимых случайных величин, общая теория мартингалов оказывается полезной даже для вывода таких усилений.

В настоящем параграфе мы опирались главным образом на теорему 4.1. Многие результаты, однако, можно было получить и с помощью приложения теоремы 4.2 к мартингалу, образованному случайными величинами где

(мы здесь предполагаем, что ряд сходится с вероятностью 1 и что существует математическое ожидание суммы этого ряда).