§ 5. Спектральные разложения

Пусть - стационарный в широком смысле процесс, и попарно непересекающиеся подмножества интервала дающие в сумме весь этот интервал. Предположим, что все эти множества измеримы относительно меры Тогда мы можем представить процесс в виде суммы взаимно ортогональных стационарных в широком смысле процессов, спектральные распределения которых сосредоточены на множествах Это делается следующим образом: если спектральное представление имеет вид

то положим

где равно 1 на множестве и вне этого множества. Каждый процесс стационарен в широком смысле и имеет спектральную функцию, задаваемую равенством

Ясно, что соответствующее распределение целиком сосредоточено на множестве Далее,

Описанный здесь метод применим также и в случае, когда имеется счетное число непересекающихся множеств Заметим, что если при лсех то и при всех так как в этом случае

Описанное здесь разложение может быть осуществлено при помощи линейных операций над величинами Для доказательства этого факта надо показать, что при фиксированном можно так выбрать коэффициенты что сумма будет сколь угодно близка к в смысле среднего квадратичного. Поскольку

то в силу § 2 гл. IX достаточно показать, что при соответствующем выборе коэффициентов сумма будет сколь угодно близка к функции

в смысле среднего квадратичного с весом

Это, очевидно, верно, если мвожество является интервалом, концы которого не входят в число точек разрыва функции так как в этом случае частные суммы ряда Фурье функции ограничены и сходятся к этой функции всюду, за исключением концов интервала эти концы имеют нулевую меру Класс функций измеримых относительно меры и таких, что

содержит подкласс функций, допускающих сколь угодно точную аппроксимацию в среднем квадратичном с весом при псмощи тригонометрических сумм. Этот подкласс, очевидно, является замкнутым линейным многообразием; кроме того, мы только что показали, что он содержит характеристические функции всех интервалов, концы которых не являются точками разрыва функции Следовательно, рассматриваемый подкласс совпадает со всем классом и включает, в частности, характеристические функции всех измеримых множеств что и требовалось доказать.

Один частный случай рассмотренного в настоящем параграфе разложения представляется особенно важным. Пусть заданная спектральная функция. Тогда мы можем представить в виде суммы

где ступенчатая функция, возрастающая только в точках разрыва функции на величину соответствующего скачка, -абсолютно непрерывная компонента функции т. е.

а последнее слагаемое является непрерывной и монотонно неубывающей функцией, называемой сивгулярвой компонентой функции Распределение сосредоточено в точках разрыва функции распределение сосредоточено на множестве точек, в которых существует конечная производная наконец, распределение сосредоточено на оставшемся множестве меры тех точек, в которых функция вепрерывна, но производная не существует, или равна Это разложение функции порождает соответствующее разложенце процесса на три взаимно ортогональных процесса. Первый из них сводится к простой сумме: если точки разрыва функшш (которая предполагается непрерывной справа), то случайные величины образуют ортогональное множество величин и

в силу теоремы Фишера — Рисса этот ряд сходится в среднем. Ясно, что этот процесс является лишь небольшим обобщением процесса, рассмотренного в примере 3 § 3.

В гл. XII мы увидим, что решении задачи о наилучшем (в смысле метода наименьших квадратов) линейном прогновировапии приходится выделять процесса процесс