§ 6. Центрирование общего процесса с независимыми приращениями

Если процесс с независимыми приращениями некоторая (неслучайная) функция от то процесс также является процессом с независимыми приращениями. Леви показал, что функция может быть выбрана таким образом, чтобы выборочные функции процесса обладали простыми свойствами непрерывности. В качестве первого шага к получению его результатов мы докажем следующую теорему.

Теорема 6.1. Пусть процесс с независимыми приращениями. Определим как совокупность предельных точек множества с тем, однако, исключением, что минимальная и максимальная точки замыкания множества считаются не входящими в если они не принадлежали Тогда существует функция определенная для такая, что если положить то процесс будет процессом с независимыми приращениями, обладающим следующими свойствами:

(I) Каждой точке являющейся предельной точкой множества слева (соответственно справа) можно сопоставить случайную величину (соответственно так, что если (соответственно то с вероятностью 1

Если процесс сепарабелен, то эти пределы по последовательностям можно заменить на обычные пределы с вероятностью 1

(II) Если разность или любая аналогичная разность с замененным на или или замененным на или равна с вероятностью 1 некоторой постоянной, то эта постоянная равна 0.

(III) Для каждого за исключением, быть может, не более чем счетного множества точек выполнены с вероятностью 1 следующие равенства между теми из фигурирующих в них величинами, которые имеют смысл:

иначе говоря, не более чем счетное множество значений параметра соответствует фиксированным точкам разрыва процесса Это множество фиксированных точек разрыва не зависит от выбора функции

Любая функция обладающая описанными в теореме свойствами, называется центрирующей функцией процесса а процесс, для которого

центрирующей функцией служит функция называется центрированным процессом. Например, процесс в теореме 6.1 является центрированным процессом. Центрирующая функция определяется для заданного процесса неоднозначно, так как если любая функция, определенная в непрерывная на замыкании множества то также будет центрирующей функцией. Достаточно доказать теорему для действительных процессов, так как в комплексном случае можно рассмотреть отдельно действительную и мнимую части величин Мы будем рассматривать поэтому лишь действительный случай. Наш выбор центрирующей функции подсказывается следующим фактом. Если последовательность действительных случайных величин такая, что для некоторой последовательности констант существует и конечен с вероятностью 1 предел

и если при каждом обозначить через константу, однозначно определяемую условием

то предел существует и конечен с вероятностью 1; другими словами, существует и конечен предел Чтобы доказать это утверждение, обозначим через с какую-нибудь предельную точку последовательности Тогда с вероятностью 1

где штрих над знаком предела указывает, что предел берется по некоторой подпоследовательности последовательности всех целых чисел. Следовательно,

Число с однозначно определяется этим соотношением, и поэтому последовательность имеет не более одной конечной предельной точки. Так как бесконечные предельные точки удовлетворяют при очевидных соглашениях тому же соотношению, то они не могут существовать. Следовательно, предел существует, что и требовалось доказать.

Учитывая доказанный только что факт, мы выберем функцию так, чтобы при всех она удовлетворяла условию

и положим

Доказательство пункта (I). Предположим, что и что Ряд

нвляется рядом из взаимно независимых случайных слагаемых, и соотношение

в котором разности, стоящие в скобках, взаимно независимы, а правая часть не содержит влечет за собой сходимость с вероятностью 1 этого ряда после центрирования (см. теорему 2.8 гл. III), так что

существует и конечен с вероятностью 1 при некотором выборе центрирующих констант Тогда из определения величин следует, что существует и конечен с вероятностью 1. Можно отказаться от предположения о монотонности последовательности так как если эта последовательность вначале не была монотонной, то ее можно переупорядочить так, чтобы она стала монотонной. Наконец, если

то с вероятностью 1

так как из двух последовательностей можно составить общую последовательность, сходящуюся к Таким образом, величину можно определить, как предел величины когда по всевозможным последовательностям. Величина определяется вполне аналогично. (Можно также прямо использовать предыдущий результат, заменив этого на и сведя предельный переход справа к предельному переходу слева.) В частном случае, когда процесс сепарабелен, как и всегда в случае сепарабельности, можно заменить односторонние пределы по последовательностям обычными односторонними пределами. Доказательство пункта (II). Так как

то, переходя к пределу под знаком интеграла, находим, что

Эти соотношения показывают, что если указанные в пункте (II) разности являютсн с веронтностью 1 константами, то эти константы должны равняться нулю.

Доказательство пункта (III). Из результатов пункта (I) следует, что

если только определены правые части этих равенств. Поэтому пункт (III) оказывается непосредственным следствием теоремы 11.1 гл. VII. Множество фиксированных точек разрыва не зависит от выбора центрирующих функций, так как изменение центрирующей функции приводит только к изменению разностей на некоторую постоянную, а такое изменение не может в соответствии с пунктом (II) привести к тому, чтобы одна из этих разностей обратилась в 0. Если является предельной точкой множества справа и слева, то точка не является фиксированной точкой разрыва тогда и только тогда, когда с вероятностью 1

В самом деле, сумма двух взаимно независимых случайных величин равна с вероятностью 1 постоянной тогда и только тогда, когда с вероятностью 1 постоянно каждое из слагаемых. (Это утверждение следует из того факта, что произведение двух характеристических функций имеет модуль,

тождественно равный 1, тогда и только тогда, когда этим свойством обладает каждый из сомножителей.)

В дальнейшем мы условимся считать, что если центрированный процесс с независимыми приращениями и если не является предельной точкой множества слева (справа), то (соответственно определяется просто как

Мы полностью завершили доказательство теоремы 6.1, но, быть может, поучительно будет еще заметить, что множество введенное в теореме, можно описать, не прибегая к центрирующей функции. В самом деле, мы сейчас покажем, что если а — некоторое значение параметра, которое останется в дальнейшем фиксированным, то является множеством точек разрыва монотонно невозрастающей функции от равной 1

Чтобы доказать это, обозначим через характеристическую функцию разности

Тогда, так как

то функция является при фиксированном и. монотонно невозрастающей функцией от Пусть любая центрирующая функция процесса, и — характеристическая функция величины — Тогда при но при некотором и. в интервале [0,1], если так как для каждого такого разность не равна с вероятностью 1 константе. Далее, абсолютная величина характеристической функции разности равна так как эта характеристическая функция изменяется скачком при (умножается на и непрерывна в остальных точках множества то и изменяется скачком (на множитель в точках и непрерывна во всех других точках Таким образом, совпадает с множеством, точек разрыва функции

аргумента что и требовалось доказать.

Хотя с точки зрения теоремы 6.1 нет никаких оснований предпочесть одну центрирующую функцию процесса другой, мы увидим все же, что некоторые центрирующие функции обладают особыми преимуществами.

Теорема 6.2. Пусть процесс с независимыми приращениями, и пусть I — интервал, концами которого являются минимальная и максимальная точки замыкания множества причем эти конечные точки включаются в I, лишь если они входят Тогда можно определить величины при так, чтобы процесс был процессом с независимыми приращениями, и чтобы этот новый процесс, оказался центрированным, если был центрирован первоначальный процесс.

Пусть центрирующая функция процесса, и пусть Если и если — предельная точка для множества справа, то положим Остальные точки множества I содержатся в полуоткрытых интервалах или открытых интервалах где может как входить, так и не входить в но где обязательно является предельной точкой справа. Положим в каждом таком интервале Тогда процесс определенный таким способом, будет процессом

с независимыми приращениями. Если процесс центрирован, то мы можем взять и в этом случае расширенный процесс также будет центрированным.

Теорема 6.3. Пусть центрированный сепарабелъный процесс с независимыми приращениями. Тогда, если то почти все выборочные функции процесса ограничены при

Это утверждение достаточно доказать в действительном случае, и мы будем предполагать поэтому в дальнейшем, что процесс является действительным. Пусть медиана разности Если (соответственно и 1, то каждая предельная точка последовательности должна быть медианой разности (соответственно Отсюда следует, что при функция ограничена, так что для некоторой константы К. Положим

Тогда процесс является процессом с независимыми приращениями и разность имеет медиану, равную 0. Если

то из теоремы 2.2 главы III следует, что

Следовательно,

Так как это неравенство верно для всех конечных подмножеств множества то оно верно также для счетных его подмножеств, и поэтому (так как процесс сепарабелен)

Применяя этот результат к процессу и комбинируя два найденных неравенства, получаем, что

Это неравенство показывает, что почти все выборочные функции процесса ограничены в интервале

Мы построим теперь один пример, который разъяснит нам роль фиксированных точек разрыва процесса с независимыми приращениями. Пусть конечное или счетное множество точек на прямой, и пусть интервал, концами которого являются минимальная и максимальная точки замыкания множества причем эти концы считаются принадлежащими , лишь если они входят в число точек Предположим, что каждой из точек соответствуют две случайные величины обладающие следующими свойствами;

DP. Случайные величины взаимно независимы.

DP. , и если или с вероятностью 1 равно константе, то эта константа есть 0.

DP. Для каждого конечного замкнутого интервала ряды

сходятся с вероятностью 1 независимо от порядка слагаемых (т. е. в терминах § 2 гл. III оба эти ряда имеют абсолютно центрирующие константы

Напомним, что в § 2 гл. III было показано, что суммы в не зависят от порядка суммирования, если пренебречь их значениями на -множестве вероятности 0.

Фиксируем теперь некоторую точку а из интервала I и определим случайные величины при равенством

Тогда процесс является процессом с независимыми приращениями,

Заметим, что хотя при каждом введенная нами величина определена с вероятностью 1, может оказаться, что множество точек для которых определены все величины одновременно, имеет вероятность, меньшую 1, так как мы не предполагали, что ряды, входящие в сходятся абсолютно с вероятностью 1. Однако там, где не определена какая-нибудь из величин мы определим ее произвольным образом". В силу следствия 1 из теоремы 2.7 гл. III при с вероятностью 1

а при с вероятностью 1

Следовательно, в каждом из этих случаев с вероятностью 1.

Аналогично с вероятностью 1

Процесс нвляется центрированным, и с вероятностью

Точка являются фиксированными точками разрыва процесса.

Мы суммируем эти и некоторые дальнейшие результаты в следующей теореме.

Теорема 6.4. Если процесс с независимыми приращениями определен при помсщи соотношений (6.2) через величины удовлетворяющие условиям то фиксированными точками разрыва процесса являются точки а величины разрывов задаются предыдущими равенствами. Далее, если определенный таким сбразом процесс сепарабелен, то почти все его выборочные функции непрерывны во. всех точках, за исключением точек Нам остается доказать лишь последнее утверждение этой теоремы. Оно намного сильнее, чем утверждение о том, что только точки являются фиксированными точками разрыва процесса. Свойства непрерывности рассматриваемого здесь процесса представляют собой противоположную крайность по сравнению с соответствующими свойствами сепарабельного пуассоновского процесса, у которого (за исключением вырожденных

случаев) почти все выборочные функции являются разрывными, хотя и нет фиксированных точек разрыва. Мы докажем теорему, сведя ее к тому частному случаю, когда величины и; и равномерно ограничены и имеют нулевые математические ожидания. Достаточно показать, что для каждого замкнутого интервала концы которого принадлежат почти все выборочные функции процесса непрерывны во всех точках отличных от точек Мы можем поэтому предположить для упрощения обозначений, что условие справедливо с замененным на I, и что замкнутый интервал. Мы предполагаем тем самым, что ряды сходятся с вероятностью 1, каков бы ни был порядок суммирования. Применим теперь теорему о трех рядах (теорема 2.5 главы III). Положим

где и соответственно медианы величин и и обозначим через о дисперсию суммы Тогда в соответствии с упомянутой теоремой ряды

все сходятся, и, более того, все сходятся абсолютно, так как сходимость имеет место при любом порядке суммирования. Ряды являются рядами из взаимно независимых случайных величин и имеют абсолютно центрирующие константы (так как с вероятностью 1 при достаточно больших будет Следовательно, аналогично тому, как при помощи величины и был построен процесс можно при помощи величин и, и построить процесс Согласно принадлежащему Колмогорову обобщению неравенства Чебышева (теорема 2.1 гл. III), если а — начальная точка интервала то

Предположим теперь, что

Тогда

и

Следовательно,

Так как процесс сепарабелен, то из этого неравенства следует, что

Предположим теперь, что некоторая выборочная функция процесса имеет разрыв в точке, отличной от всех точек и что колебание функции в точке разрыва не меньше 48. Для такой функции

Другими словами, множество точек которым соответствуют такие функции, входит в -множество, вероятность которого не превосходит правой части неравенства (6.4), т. е. внешняя мера рассматриваемого -множества удовлетворяет неравенству

Далее, если исключить из нашего построения конечное число точек вместе с соответствующими величинами то разрывы выборочных функций нигде не изменятся, кроме как в исключенных точках Следовательно,

для каждого к, для которого соотношения (6.3) выполняются, если заменить в них суммирование по суммированием по Таким образом, выписанное неравенство для верно для всех достаточно больших к, и мы получаем, что

Так как является монотонно невозрастающей функцией от , то это неравенство означает, что при каждом следовательно, почти все выборочные функции процесса непрерывны всюду, кроме, быть может, точек (их разрывы в точках были исследованы раньше). Это и требовалось доказать.

Заметим, что, применяя результаты пункта б) § 12 гл. VII, мы могли бы без всяких вычислений получить тот факт, что почти все выборочные функции процесса х, имеют пределы слева и справа во всех их точках разрыва (отсюда следует, что выборочные функции не могут иметь более чем счетное число точек разрыва), но приведенные выкладки были нужны для того, чтобы показать, что почти все выборочные функции непрерывны всюду, за исключением точек

Рассмотрим теперь любой действительный процесс с независимыми приращениями. Мы предположим для удобства, что является интервалом. Согласно теореме 6.2, это предположение не ограничивает общности. Пусть центрирующая функция процесса и пусть совокупность

фиксированных точек разрыва центрированного процесса. Определим и, и - как скачки центрированного процесса слева и справа от точки

Ясно, что случайные величины взаимно независимы. Мы видели в § 2 гл. III, что если ряд из взаимно независимых случайных величин сходится с вероятностью 1 после центрирования, то существуют абсолютно центрирующие константы (в качестве которых можно взять всегда, например, усеченные математические ожидания), при которых центрированный ряд сходится с вероятностью 1, каков бы ни был порядок суммирования, причем каждый частичный ряд, составленный из некоторой подпоследовательности членов основного ряда, обладает этим же свойством. Пусть величины, получаемые из в результате центрирования усеченными математическими ожиданиями, так как это было определено в § 2 гл. III. Тогда если замкнутый подинтервал интервала совокупность точек входящих в и величины определяются соотношениями

то слагаемые, стоящие в левой части этого равенства, взаимно независимы, и поэтому в соответствии с теоремой 2.8 гл. III ряд 2 сходится с вероятностью 1 после центрирования. Те же самые соображения применимы и к ряду 2 Так как центрирование уже было проведено раньше, то мы показали, что для любого замкнутого интервала входящего в область значений параметра, ряды

сходятся с вероятностью 1, каков бы ни был порядок суммирования. Положим теперь равным правой части соотношения (6.2). Мы уже видели (теорема 6.4), что процесс имеет независимые приращения и является центрированным, и что точки являются фиксированными точками разрыва этого процесса, причем

Процесс также является процессом с независимыми приращениями. Пусть центрирующая функция этого процесса. Определим процесс так, чтобы выполнялось соотношение

Тогда процесс имеет независимые приращения, центрирован и не имеет фиксированных точек разрыва. Далее, два процесса

взаимно независимы. Заметим, что является центрирующей функцией процесса Одаако это люэая цзнтряруюдш функция. Она выбрана так, чтобы ее разрывы в флксярэваннах тачках разрыва процесса обладали

некоторыми специальными свойствами. Процесс является одним из процессов, описанных в теореме 6.4. Разложение (6.5) было впервые получено Леви. В частных случаях может оказаться, что некоторые из трех компонент этого разложения отсутствуют. Очевидно, разложение (6.5) справедливо и для комплексных процессов с независимыми приращениями.