§ 9. Процессы с независимыми приращениями

Процессом с независимыми приращениями называется вероятностный процесс обладающий следующим свойством: при разности

взаимно независимы. Если величины образуют процесс с независимыми приращениями, то это означает, что величины взаимно независимы; является частной суммой ряда

составленного из взаимно независимых случайных величин. Обратно, если взаимно независимые случайные величины, любая случайная величина и при то процесс является процессом с независимыми приращениями. Таким образом, в случае дискретного параметра процессы с независимыми приращениями легко сводятся к процессам с независимыми значениями. Практически термин «процесс с независимыми приращениями» применяют только в случае непрерывного параметра.

Процесс с независимыми приращениями, у которого является аналогом процесса с дискретным параметром, образованного частными суммами ряда из взаимно независимых случайных слагаемых. Точно так же как указанный дискретный процесс является примером марковского процесса с дискретным параметром, а если математические ожидания всех слагаемых равны нулю, то и примером мартингала с дискретным параметром, соответствующий процесс с непрерывным параметром является марковским процессом, а при также и мартингалом.

Если распределение величины зависит только от то мы будем говорить, что процесс с независимыми приращениями имеет стационарные (и узком смысле) приращения.

Примеры процессов с независимыми приращениями задаются указанием распределений вероятностей для величин Если то случайным величинам

будут приписаны при этом некоторые распределения. Так как и так как и независимы, то распределение вероятностей величины должно совпадать с распределением суммы двух независимых случайных величин с распределениями вероятностей, такими, как у величин Это условие согласованности легко проверяется в приводимых ниже примерах; оно обеспечивает выполнение условий согласованности Колмогорова, необходимых для задания вероятностного процесса. Отметим, что необязательно приписывать распределения самим величинам так как обычно изучаются только их разности и так как вся процедура, используемая для построгния меры в функциональном пространстве, может быть проведена и без знания распределений величин Однако это будет значить, что х, не являются случайными величинами и что на самом деле случайными величинами, определяющими процесс, являются разности Чтобы избежать этого, обычно выбирают некоторое значение параметра и рассматривают процесс т. е. случайные величины, образующие процесс, нормируют так, чтобы они обращались в нуль в момент .

Пример 1. Процесс брауновского движения. В этом случае предполагается, что является действительной, нормально распределенной случайной величиной с

где фиксированный параметр. За множество значений параметра берется обычно или вся ось или полупрямая ; в этом последнем случае полагается обычно равным с вероятностью 1, т. е., как это объяснялось выше, рассматриваются лишь разности Этот процесс изучался сначала Башелье, а позднее более строгим образом Винером. Его называют иногда винеровским процессом. При фиксированном разности образуют одновременно и марковский процесс, и мартингал.

Если наблюдать находящиеся в жидкости микроскопические частицы, то видно, как они двигаются беспорядочным образом под влиянием ударов молекул жидкости. Это движение называется брауновским движением по имени английского ботаника Брауиа, открывшего это явление в 1826 году. Эйнштейн и Смолуховский показали, что координата х брауновской

частиды в момент определяет для каждой частицы функцию от которую можно в первом приближении отождествить с выборочной функцией нашего вероятностного процесса; отсюда и происходит название этого процесса. Константа зависит от массы частицы и от вязкости жидкости.

В § 2 гл. VIII будет показано, что выборочные функции сепарабельного процесса брауновского движения почти все являются непрерывными функциями. Оказывается также (см. § 7 гл. VIII), что процесс брауновского движения — это, по существу, единственный процесс с независимыми приращениями, обладающий таким свойством.

Пример 2. Пуассоновский процесс. Здесь предполагается, что для каждой пары значений параметра величина принимает только целые значения и

где фиксированный параметр. Пуассоновский процесс имеет стационарные (в узком смысле) приращения. При фиксированном разности образуют марковский процесс, а разности образуют и марковский процесс, и мартингал.

В § 4 гл. VIII будет показано, что выборочные функции сепарабельного пуассоновского процесса являются (почти все) монотонно неубывающими функциями и возрастают изолированными скачками величины единица. Точки, где происходят эти скачки, можно рассматривать как моменты времени, в которые появляются какие-то случайные события, и является тогда числом событий, появившихся за промежуток времени от момента до момента Постоянная с характеризует среднее число появлений событий за единицу времени. Можно показать, что при такой интерпретации условное распределение моментов появления событий в интервале при условии, что в интервале появилось ровно событий, совпадает с распределением точек, выбранных независимо друг от друга с равномерным распределением на Пуассоновский процесс оказывается хорошим приближением к процессу, определяющему моменты времени, в которые происходит радиоактивное излучение. Можно рассматривать вместо выборочных функций процесса бесконечную последовательность значений (положительных и отрицательных, если отбросить условие являющихся моментами скачков. Эту последовательность и имеют в виду, когда говорят о равномерном распределении точек на бесконечном интервале или же о «чисто случайной» последовательности точек на таком интервале.

Почти все выборочные функции сепарабельного пуассоновского процесса непрерывны всюду, за исключением не более чем счетного числа точек, и даже в этих точках разрыва у них существуют конечные пределы справа и слева. Это утверждение верно также и для общего процесса с независимыми приращениями, но лишь после соответствующего центрирования процесса. Это центрирование состоит в замене на где некоторая функция от не зависящая от