§ 10. Повторные условные математические ожидания и вероятности

Тождество

представляет собой частный случай определения (7.6), получающийся при В частности, если равно 1 на -множестве и равно вне этого множества, т. е. если в (7.7), мы получаем

Если — наименьшее борелевское поле, относительно которого измерима некоторая случайная величина х, то условные математические ожидания и вероятности относительно являются условными математическими ожиданиями и вероятностями относительно В этом случае (10.1) утверждает (грубо говоря), что математическое ожидание случайной величины у равно сумме произведений условных математических ожиданий у при заданном значении на вероятности соответствующих значений, распространенной на все принимаемые величиной х значения.

Поучительно проанализировать смысл условных математических ожиданий и вероятностей в том случае, когда освовные распределения сами являются условными. Мы иллюстрируем возникающее положение следующим примером. Предположим, что все рассматриваемые вероятности

являются условными вероятностями относительно х и что существует условное распределение вероятностей в смысле, указанном в предыдущем параграфе. Нам будет удобно обозначать здесь условные вероятности и математические ожидания через вместо Пусть фиксировано и нас интересует условное математическое ожидание случайной величины у или условная вероятность -множества относительно случайной величины при данном значении

Так как рассматриваются как заданные случайные величины с заданными (хотя и условными) распределениями, то величины не нуждаются в новом определении. Однако легко усмотреть, что эти усложненные обозначения вовсе не являются необходимыми и что на самом деле

желая вдаваться сейчас в тонкости, мы не станем приводить точные формулировку доказательство этого утверждение, а проверим лишь второе соотношение в том частном случае, когда — трехмерное пространство, измеримыми -множествами являются множества, измеримые по Лебегу, вероятностная мера на задается плотностью распределения а являются координатными функциями пространства так что совместное распределение величин х, у, z имеет плотность Наконец, мы предположим, что это -множество вида где измеримое по Лебегу множество. В этом случае один из вариантов двумерного условного распределения при условии имеет плотность

Для двумерного распределения величин задаваемого этой плотностью, условное распределение у при условии имеет плотность

С другой стороны, условное распределение у при имеет плотность

Равенство величин (10.4) и (10.5) и представляет собой второе соотношений (10.3), выраженное через плотности.

Взаимоотношения между вероятностями и математическими ожиданиями удовлетворяют определенному закону согласованности. А именно, предположим, что все математические ожидания и вероятности являются условными относительно некоторой случайной величины Тогда правила комбинирования символов

должны быть соответственно теми же самыми, как и для

Если бы это было не так, то знание того, что некоторые параметры задачи могут быть в действительности случайными величинами, коренным образом меняло бы правила обращения с этой задачей.

Указанный принцип согласованности подсказывает нам следующие соотношения, аналогичные (10.1) и (10.2): с вероятностью 1

и

Эти соотношения сводятся к (10.1) и (10.2), если забыть про условия, касающиеся переменной Их нужно понимать следующим образом. Если — случайные величины, причем и если измеримое -множество, то, безразлично к тому, какие из вариантов условных вероятностей и математических ожиданий используются в этих соотношениях, они выполняются с вероятностью 1. Иначе можно сказать, что если использовать подходящим образом выбранные варианты, то наши соотношения будут выполнены для всех Соотношение (10.7) является частным случаем соотношения. (10.6). Оба они почти сразу следуют из определения условных вероятностей и математических ожиданий. Прежде чем доказать эти соотношения, мы их несколько обобщим. Пусть борелевские поля измеримых -множеств, причем С Тогда с вероятностью 1

и

Очевидно, (10.6) и (10.7) являются частными случаями (10.8) и, соответственно, (10.9). Для того чтобы доказать соотношение (10.8), которое включает в себя все остальные рассмотренные здесь равенства, достаточно заметить, что (если не считать условий измеримости, которые выполняются очевидным образом) это соотношение утверждает лишь, что

а последнее равенство выполнено по определению даже для всех Имеется много полезных частных случаев равенств (10.8) и (10.9). Например, если случайные величины и то в силу (10.8) с вероятностью 1