§ 7. Приложение к интегрированию в бесконечномерном пространстве

Роль теорем о сходимости мартингалов, как теорем об интегрировании, ясно видна в следующих примерах, рассмотренных впервые (с другой точки зрения) Иессеном. Пусть основным пространством 2 является пространство последовательностей а заданной вероятностной, мерой — бесконечномерная лебегова мера. Тогда если обозначает координатную переменную, то случайные величины взаимно независимыми имеют каждаи равномерное распределение на интервале [0, 1]. Пусть случайная величина, у которой Рассмотрим интегралы

Определение величин как интегралов (7.1), подсказывает, чти вероятностью 1 должно быть

И действительно, определение величин как условных математических ожиданий, показывает, что последовательности являются мартингалами. Следовательно (см. теорему 4.2), с вероятностью 1 существует предел и (см. следствие 1 из теоремы 4.3) предел Остается показать, что Так как при каждом величина не зависит от величин то (в силу закона нуля или единицы) с вероятностью 1, а по теореме так что с вероятностью 1.

Заметим, что полученные результаты (и их доказательства) остаются в силе, если предположить только, что величины независимы; предположение о том, что они имеют одинаковую функцию распределения (с постоянной плотностью), было принято лишь для того, чтобы упростить интегрг обозначения.