§ 3. Случайные величины и распределения вероятностей

Функцию х (принимающую действительные значения), определенную на пространстве точек мы будем называть (действительной) случайной величиной, если на этом пространстве задана вероятностная мера и если для каждого действительного числа X неравенство определяет множество точек вероятность которого имеет смысл, т.е. измеримое -множество. Таким образом, функция.

определена для всех действительных На обычном математическом языке (действительная) случайная величина — это просто (действительная) измеримая функция. Комплексная случайная величина — это комплексная функция от которой измеримы ее действительная мнимая части.

В настоящей книге всюду, где рассматриваются одновременно несколько случайных величин, будет предполагаться (если только явно не будет оговорено обратное), что все эти случайные величины определены на одном и том же пространстве точек

В теорий вероятностей понятие случайной величины применялось задолго до того, как было обнаружено, что оно является частным случаем более общего понятия измеримой функции, и даже задолго до того, как была создана сама теория меры. Поэтому в теории вероятностей возник свой собственный язык, который может быть теперь переведен на язык теории меры. Мы, однако, не будем отказываться от вероятностной терминологии, так как эта терминология лучше передает эмпирическое содержание соответствующих понятий и делает изложеппе более доступным для специалистов в прикладных областях.

В анализе обычно используют одно и то же обозначение для функции и для ее значения в заданной точке из области ее определения; в результате иногда возникают недоразумения. Когда мы будем иметь дело с функциями в этой книге, нам придется быть несколько более точными. Функция будет обозначаться чаще всего одной буквой, а обычное обозначение функции будет сохранено для значения функции в заданной точке. Таким образом, значение функции х в точке Иногда нам будет также удобно обозначать функцию х как

Функция определенная равенством (3.1), называется функцией распределения случайной величины х. Эта функция является монотонно неубывающей, непрерывной справа и такой, что

Любая функция удовлетворяющая всем этим условиям, называется функцией распределения. Каждая функция распределения определяет распределение вероятностей, т. е. вероятностную меру

на множествах А (это обычная мера Лебега — Стильтьеса, определяемая функцией

Если - функция распределения и если для некоторой измеримой по Лебегу и интегрируемой функции

то называется плотностью распределения, соответствующей В этом случае для почти всех (по мере Лебега) X имеет место равенство

Мы будем говорить, что имеет плотность, если существует функция удовлетворяющая (3.3). Таким образом, плотность имеется тогда и только тогда, когда — абсоютно непрерывная функция.

Если действительные случайные величины, то функция определенная равенством

называется их совместной функцией распределения. Эта фупкция является монотонно неубывающей и непрерывной справа по каждому переменному

и такой, что

Кроме того, если то

Величина в левой части этого неравенства, очевидно, равна

Любая функция удовлетворяющая всем перечисленным здесь условиям, будет называться -мерной функцией распределенпя. Такая функция определяет вероятностную меру

являющуюся мерой Лебега — Стильтьеса в пространстве измерений (см. дополнение, пример 2.2). Если для некоторой измеримой и интегрируемой по Лебегу функции

для всех то называется плотностью распределения, соответствующей функции распределения

Действительные случайные величины называют взаимно независимыми, если

для любых одномерных борелевских множеств Это условие аквивалеатно требованию, чтобы (3.6) было выполнено только для открытых множеств или только для интервалов, или даже только для полубесконечных интервалов Отсюда следует, что случайные величины являются взаимно независимыми тогда и только тогда, когда их совместная функция распределения является произведением соответствующих индивидуальных функции распределения.

Если мы будем понимать под величинами предыдущего абзаца совокупности величин а под соответственно -мерные множества, то предыдущее определение обратится в определение взаимной независимости конечного числа совокупностей из конечного числа случайных величин. Пусть теперь совокупности могут состоять из бесконечного числа величин. Такие совокупности называются взаимно независимыми, если при любом выборе из каждой из них конечного числа

величин выбранные конечные совокупности окажутся взаимно независимыми. О бесконечной последовательности совокупностей случайных величии говорят, что она состоит из взаимно независимых совокупностей, если для любой конечной подпоследовательности этой последовательности совокупности взаимно независимы.

Предыдущие определения применимы и к комплексным случайным величинам, если считать в (3.6) двумерными борелевскими множествами, а именно борелевскими множествами комплексной плоскости, и сделать соответствующие изменения в дальнейших рассуждениях. Предыдущие определения можно и непосредственно приложить к комплексным величинам, если условиться рассматривать комплексную случайную величину как пару действительных случайных величин, являющихся ее действительной и мнимой частями.

Пусть случайная величина, т. е. измеримая функция от Интеграл от этой фувкции по всему пространству будет обозначаться (если он существует) через или и называться математическим ожиданием величины

Напоминаем, что этот интеграл существует тогда и только тогда, когда конечен интеграл от величины