§ 11. Процессы со стационарными в широком смысле приращениями

Предположим, что - случайные величины такие, что для всех

и что функция

не меняется сдвигах оси параметра, т. е. что

для всех целых . В этом случае мы будем говорить, что величины образуют процесс со стационарными в широком смысле приращениями. Случай непрерывного параметра получается отсюда, если допустить, что значениями параметра могут быть любые действительные числа; при этом мы будем всегда дополнительно предполагать, что выполняется следующая гипотеза непрерывности:

[вместо х, мы здесь пишем . В случае дискретного параметра процесс имеет стационарные в широком смысле приращения тогда и только когда разности образуют обычный стационарный в широком смысле процесс. В этом случае, очевидно, мы имеем право написать

где процесс с ортогональными приращениями. Следовательно, здесь.

и

Основной целью последующего апалпза является вывод аналогичных формул для случая непрерывного параметра; только этот случай и будет рассматриваться в дальнейшей части параграфа.

Пример 1. Если процесс стационарен в широком смысле, то величины образуют процесс со стационарными в широком смысле приращениями.

Пример 2. Если процесс стационарен в широком смысле и произвольная случайная величина, то величины образуют процесс со стационарными в широком смысле приращениями. Если спектральное представление процесса имеет вид

то, очевидно,

В дальнейшем будет показано, что процесс, рассмотренный в примере 2, аппроксимирует общий случай в том смысле, что каждый процесс со стационарными в широком смысле приращениями допускает спектральное представление

где процесс с ортогональными приращениями такой, что

и — ограниченная монотонная функция. Ясно, что формула (11.1) всегда определяет процесс со стационарными в широком смысле приращениями, для которого

[в (11.1) и (11.2) подинтегральные функции в точке определяются по непрерывности: первая из них в этой точке равна вторая равна Формулы и (11.2) представляют собой аналоги формул (11.1) и для случая непрерывного параметра. Если (и только в этом случае) формула (11.1) может быть переписана в том виде, какой мы имели в примере 2:

В наиболее общем случае, согласно (11.1), величина может быть аппроксимирована суммой вида

где величины взаимно ортогональны.

Для вывода представления заметим, что если процесс со стационарными в широком смысле приращениями, то процесс

зависящий от дискретного параметра будет стационарным в широком смысле любое фиксированное число). Спектральное представление последнего процесса после замены переменной интегрирования может быть записано в виде

где процесс с ортогональными приращениями такими, что

Отсюда вытекает, что если есть цзлое кратное числа то

так что

и, вообще, если числа являются целыми кратными числа

Если теперь определить функцию формулой

то мы будем иметь

Нам будет удобно доопределить функцию положив ее равной при и равной при Ниже будет показано, что последовательность ограничена и что величина

равномерно мала при больших а. В силу теоремы Хелли отсюда вытекает, что из нашей последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность Обозначим предельную функцию этой подпоследовательности через Пусть произвольные числа. Подставляя в предыдущее соотношение ближайшие к и целые кратные числа и полагая затем, что стремится к бесконечности по подпоследовательности мы и придем к требуемому равенству (11.2). Таким образом, нам остается только доказать указанные выше свойства

последовательности Прежде всего, если целое кратное числа то

для любого а, если только настолько мало, что Далее, если произвольное положительное целое число, то

так что если то

Поскольку, согласно нашей гипотезе непрерывности, левая часть этого неравенства стремится к нулю при то и правая часть должна стремиться к нулю (равномерно относительно при а Кроме того, соединяя (11.3) с (11.4), немедленно получаем, что последовательность ограничена. Тем самым доказательство требуемых свсйств последовательности а следовательно, и равенства (11.2), завершено.

Прежде чем выводить соотношение (11.1), мы рассмотрим интегралы вида

где процесс со стационарными в широком смысле приращениями, удовлетворяющий (11.2), и -фиксированная функция. Как обычно, мы сперва очевидным образом определим интегралы такого вида для простых ступенчатых функций т. е. для функций, обращающихся в нуль при больших и имеющих только конечное число различных значений, каждое из которых принимается на каком-либо интервале или же на конечном числе интервалов. Еслп теперь мы снова воспользуемся нашим обычным соглашением относительно функций, обозначаемых одной и той же буквой со звездочкой или без звездочки, т. е. положим

то для рассматриваемого класса функция в силу (11.2) будет иметь место равенство

справедливым будет также и следующее, более общее равенство

Распространим теперь наше определение интеграла на более широкий класс функций так, чтобы равенство (11.5) оставалось в спле. Функциями которые мы теперь будем рассматривать, будут беровские функции, интегрируемые на любом конечном интервале и такие, что предел

существует при всех X и удовлетворяет условию

Если принять за расстояние между случайными величинами обычное среднее квадратичное расстояние

а за расстояние между функциями среднее квадратичное расстояние с весовой функцией между соответствующими функциями

то наш стохастический интеграл будет устанавливать соответствие между некоторыми функциями переменного X (а именно, простыми ступенчатыми функциями) и случайными величинами, являющееся линейным (т. е. переводящим линейные комбинации в такие же линейвые комбинации) и сохраняющим расстояние [последнее в силу (11.5)]. Но в таком случае стохастический интеграл можно доопределить по непрерывности для всех функций удовлетворяющих условию (11.6), а следовательно, и для всех функций из рассматриваемого нами класса (ср. аналогичное рассуждение в § 2 гл. IX). Равенство (11.5), разумеется, останется в силе, так как оно выполняется для простых ступенчатых функций. В частности, если процесс стационарен в широком смысле, то наш стохастический интеграл сводится к интегралу, определеннсму в § 9.

Мы можем теперь перейти к выводу формулы (11.1). Если эта формула верна и если

то после формального дифференцирования (11.1) переходит в равенство

так что следует ожидать, что обратная формула, выражающая через будет получаться интегрированием из обращения нашего последнего

соотношения, т. е. из формулы

И действительно, мы покажем, что если определить соотношением

где всегда допустимо считать нормированным так, что то процесс будет иметь ортогональные приращения; если затем перейти от к новому процессу положив

то также будет иметь ортогональные приращения с (где предполагается, что и для будет выполняться соотношение В самом деле, из написанной выше формулы для следует, что

(Заметим, что фигурирующий здесь стохастический интеграл, так же как и интеграл, входящий в определение относится к числу тех, которые были определены нами выше.) Следовательно, в силу (И .5) и (11.5)

если только являются точками непрерывности функции Таким образом, процесс имеет ортогональные приращения для значений X, в которых функция непрерывна; что же касается точек разрыва функции то в них мы положим Если считать также, что то мы будем иметь, очевидно, Учитывая, что определяется равенством (11.7), получаем отсюда, что Заметим теперь, что если функция равна 1 на конечном интервале, концы которого являются точками непрерывности функции и равна вне него, то

действительно, в этом случае написанное соотношение сводится к определению процессов Обычные рассуждения показывают, что в таком случае наше равенство справедливо (с вероятностью 1) для любых функций для которых интеграл в правой части (11.8) имеет смысл. В частности, если предположить, что функция равна 1 на конечном интервале и равна вне него, то (11.8) обратится в искомое равенство (11.1).

После того как формула (11.1) доказана, немедленно выводится, что процесс фигурирующий в этой формуле, определяется (с обычными оговорками) однозначно. Действительно, из (11.1) следует, что если то для функции равной 1 на конечном интервале и вне него, справедливо (11.8). Но в таком случае формула (11.8) верна также и для всех функций для которых интеграл в ее правой части имеет смысл. Если, в частности, положить равным 1 на некотором конечном интервале, равным в конечных точках этого интервала и равным вне этого интервала, то (11.8) обратится в равенство

Взяв математическое ожидание от квадрата модуля обеих частей равенства мы придем к формуле, определяющей функцию 11,

(здесь точки непрерывности Правая часть (11.10), разумеется, может быть выражена и через корреляционную функцию

Пример 1 (продолжение). Если процесс стационарен в широком смысле, то из его спектрального представления мы получаем, что

Таким образом, в этом случае процесс определяемый интегралом в левой части, имеет стационарные в широком смысле приращения, причем процесс и функция фигурирующиё в его спектральном представлении (11.1), находятся из соотношений

Таким образом, в этом случае Обратно, если процесс имеет стационарные в широком смысле приращения и если то (11.1) можно переписать в виде

Так как

где обозначает предел в среднем с весом то

Определенный последним равенством процесс стационарен в широком смысле; естественно назвать его производной процесса Если процесс сепарабелен, то его выборочные функции почти все абсолютно непрерывны и (ср. обсуждение примера 1 в § 9). Таким образом, мы доказали, что процесс со стационарными в широком смысле приращениями совпадает с процессом примера 1, т. е. имеет производную тогда и только тогда, когда

Мы уже видели в настоящей главе, что процесс со стационарными в широком смысле ортогональными приращениями удовлетворяет условию и во многих отношениях ведет себя так, как если бы его производная существовала и была стационарным в широком смысле процессом с постоянной спектральной плотностью Если отказаться от требования ортогональности приращений, то мы придем к процессам, рассмотренным в настоящем параграфе, и результат формального диффзренцирования равенства (11.1), т. е. соотношение

показывает, что наиболее общий процесс со стационарными в широком смысле приращениями ведет себя так, как если бы его производная существовала и была стационарным в широком смысле процессом со спектральной функцией [На самом деле эта функция от X, разумеется, не всегда является спектральной функцией некоторого процесса, так как интеграл может быть бесконечным.] Смысл этого последнего не вполне четкого утверждепия точно такой же, как и в частном случае процесса с ортогональными стационарными приращениями, и мы не будем на нем более задерживаться. Заметим, однако, что наше утверждение имеет совершенно строгий смысл, если только существует производная рассматриваемого процесса; заметим также, что формальное дифференциальное уравнение

при любом процессе со стационарными в широком смысле приращениями может интерпретироваться точно так же, как и в рассмотренном в § 10 случае, где предполагалось, что приращения этого процесса ортогональны. Всегда существует стационарный в широком смысле процесс

являющийся решением этого уравнения; спектральная функция такого процесса равна

В частности, еслп - процесс с ортогональными приращениями, то числитель подинтегральной функции обращается в как это было подробно рассмотрено в § 10.