Глава I. ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОСНОВЫ

§ 1. Необходимый запас математических знаний

Хотя в этой книге используются современные весьма специальные математические методы, однако результаты формулируются всегда на языке теории вероятностей, поэтому автор надеется, что книга будет доступна всем читателям, твердо усвоившим правила обращения со случайными величинам, условными распределениями вероятностей и условными математическими ожиданиями. Необходимые для дальнейшего основы теории вероятностей будут кратко намечены в настоящей главе.

Существует неизбежная дилемма, с которой сталкивается любой автор, пишущий книгу повышенного типа по теории вероятностей. Теория вероятностей — это только один из аспектов теории меры, при котором особое внимание уделяется некоторым специальным задачам. Книга повышенного типа по теории вероятностей, следовательно, должна или включать раздел, посвященный теории меры, или же предполагать у читателя знание основных фактов теории меры, изложение которых разбросано по различным публикациям. Для того чтобы сделать книгу менее объемистой, автор первоначально выбрал вторую возможность, но влияние критики и естественные логические соображения привели его к компромиссу, который непоследователен, как и большинство компромиссов. Автор надеется, что книга осталась, по крайней мере в значительной своей части, доступной статистикам и другим читателям, не являющимся профессиональными математиками, но знакомым с формальными правилами теории вероятностей.

§ 2. Основное пространство

Теперь, когда теория вероятностей стала полноправной частью математики, в изложении ее можно обойтись совсем без употребления такнх терминов, как «случай», «событие», «урна», «кость» и т. д. Однако эти термины и обозначаемые ими понятия попрежнему помогают интуитивно, представить себе предмет и подсказывают тем самым аналитические методы и направление дальнейших исследований. По этой причине подобные термины используются в теории вероятностей даже при чисто теоретических исследованиях.

В приложениях вероятности связываются обычно с осуществлением таких событий, как выпадение пяти очков при одном бросании кости, перемещение частицы, совершающей брауновское движение, на расстояние сантиметров в данном направлении за время секунд Вероятности — это числа, связываемые с такими событиями. Например, вероятность выпадения пяти очков при бросании костн считается обычно равной а вероятность выпадения четного числа очков равной в примере с брауновским движением вероятность неравенства находится при помощи правила, которое будет подробно описано в гл. VIII. Точный математический анализ проводится для примера с костью следующим образом: каждому возможному исходу, т. е. каждому из чисел приписывается вероятность с любой совокупностью из таких исходов связывается вероятность Утверждение, что вероятность выпадения четного числа очков равна получается тогда просто из этой формулы Для случая брауновского движения положение намного сложнее, и его анализ будет проведен позже,

но и в этом случае задача сводится к сопоставлению некоторых чисел математическим образам реальных событий. Во всей этой книге в качестве математических образов событий будут использоваться точечные множества.

Теория вероятностей имеет дело со свойствами мер в различных пространствах и с соотношениями между измеримыми функциями, определенными на этих пространствах. По аналогии с терминологией, употребляемой в приложениях, эти пространства называют часто (но не всегда) выборочными, пространствами, а измеримые подмножества этих пространств — событиями.

Придадим теперь изложенным выше соображениям точную математическую форму. (Необходимые для этой цели сведения из теории множеств и теории меры см. в дополнении в конце книги.) Предположим, что имеется основное пространство состоящее из точек и некоторый основной набор подмножеств пространства Подмножества из этого набора будут называться измеримыми множествами; предполагается, что класс измеримых множеств образует борелевское поле. Предположим далее, что имеется функция которая определена на всех измеримых множествах и является вероятностной мерой, т. е. является вполне аддитивной неотрицательной функцией множества, принимающей на всем пространстве значение 1. Величина называется вероятностью или мерой множества Измеримость функции от определяется обычным образом при помощи измеримых множеств; интеграл от измеримой функции по измеримому множеству будет обозначаться

О свойстве, верном для всех точек из 2, за исключением некоторого множества точек вероятности 0, мы будем говорить, что оно верно почти всюду, или верно для почти всех точек или верно с вероятностью

Проанализируем, например, однократное бросание кости. Для этого примера простейшее возможное пространство состоит из шести точек причем точка идентифицируется с событием «при бросании хости выпало число В этом случае каждое подмножество множества измеримо и ему приписывается в качестве меры одна шестая от числа входящих в него точек. Здесь имеется простое соответствие между точками пространства 2 и возможными исходами опыта, и поэтому естественно назвать пространство выборочным пространством. Рассмотрим теперь другую математическую модель того же самого опыта. В этой модели пространство 2 состоит из всех действительных чисел, и точки из идентифицируются с теми же событиями, что и выше; никаких других идентификаций не делается. Снова все подмножества множества объявляются измеримыми и каждому из множеств приписывается мера, равная одной шестой от числа содержащихся в нем точек Эта математическая модель практически совпадает с предыдущей; но теперь название «выборочное пространство» подходит к 2 несколько меньше, так как соответствие между точками 2 и событиями менее просто. Рассмотрим, наконец, третью математическую модель того же опыта. В этой модели пространство состоит из всех чисел, содержащихся в полузамкнутом интервале [1, 7), причем с событием три бросании кости выпало число на этот раз идентифицируется интервал Измеримыми множествами являются в этом случае интервалы и суммы таких интервалов, и мера любого измеримого множества равна одной шестой от числа содержащихся в нем интервалов указанного вида. Эта модель столь же

пригодна, как и две предыдущие, однако название «выборочное пространство» теперь уже совсем не подходит к 2. Естественное возражение, что вторая и в особенности третья модель непригодны и должны быть отброшены, так как они излишне усложнены, легко опровергнуть. В действительности такие «излишне усложненные» модели не могут быть исключены даже при практическом изучении. Выбор модели зависит от того, какие параметры взяты за основные. В первой модели были выбраны как основные действительные исходы бросания. Если, однако, представлять себе кость как куб, брошенный в воздух и затем падающий на одну из граней, то положение куба в пространстве будет определяться шестью параметрами, и наиболее естественным прострапством будет двенадцатимерное пространство начальных положений и скоростей. Точка пространства 2 определяет, в частности, на какую грань упадет кость. Пусть множество тех точек которые приводят к исходу Тогда допускаемая обычно гипотеза состоит в том, что при сопоставлении подмножествам пространства 2 вероятностей каждому множеству приписывается вероятность 1/6. Если мы интересуемся только вероятностями выпавшего числа очков, то это все, что нам нужно знать о вероятностях на 2, и мы получаем тогда модель, аналогичную нашей третьей модели. Вообще говоря, всегда (и при теоретическом, и при практическом изучении событий), если даже вначале пространство 2 было выбрано так, чтобы оно удовлетворяло некоторым требованиям простоты (например, чтобы его можно было назвать «выборочным пространством»), эти требования придется, вероятно, отбросить в процессе дальнейшего исследования, когда появятся распределения, выводимые каким-нибудь способом из первоначального. В соответствии с этим мы не наложили на пространство 2 никаких других условий, кроме существования функции множества существование этой функции множества влечет за собой непустоту множества 2, но не накладывает на него никаких других ограничений. В этой книге пространство 2 являете обычно просто некоторым абстрактным пространством. Однако в ряде случаев в качестве 2 мы будем брать интервал двумерную плоскость, совокупность всех действительных функций от принимающих только конечные значения или также и значения и многие другие специальные пространства. Единственным специфически вероятностным требованием, налагаемым на меру является условие нормировки Вне теории вероятностей очень часто нет никаких оснований требовать, чтобы мера всего пространства была конечной, или если она даже и конечна, то ограничиваться мерами, принимающими на всем пространстве значение 1.

Мы проанализируем теперь бросание кости несколько глубже, с тем чтобы иллюстрировать при этом важность использования в качестве основного пространства произведения пространств. Если кость бросают неограниченное число раз, то соответствующим естественным основным пространством 2 будет, очевидно, выборочное пространство, точками которого являются последовательности где — одно из чисел

Таким образом, каждая точка пространства является одним из принципиально возможных исходов опыта, состоящего в бросании кости бесконечное число раз. Если класс всех последовательностей, начинающихся с идентифицировать с событием «при первом бросании кости выпало число и каждому из этих классов приписать вероятность 1/6, то мы получим еще одну математическую модель для одного бросания костп. Преимущество этой модели перед приведенными раньше состоит в том, что она пригодна и для описания любого числа бросаний; для этого нужно только идентифицировать класс всех последовательностей, начинающихся с событием «при первых бросаниях последовательно выпали числа В соответствии с обычными гипотезами этому классу

приписывают меру Хотя и верно, что для многих приложений не нужно рассматривать бесконечных последовательностей такого вида, так как в этих приложениях, изучается лишь конечное число опытов, однако без бесконечных последовательностей нельзя обойтись даже в некоторых задачах очень простого характера. Например, изучение момента первого появления какого-нибудь события (скажем, первого появления шести очков в последовательности выпадений кости) не может быть проведено удовлетворительным образом без пространства бесконечных выборочных последовательностей, так как число испытаний до осуществленпя рассматриваемого события ивляется величиной, которая заранее не может быть ограничена. Это число является неограниченной целозначной функцией на . В примере с костью пространство является произведением бесконечного числа пространств-сомножителей, каждое из которых содержит шесть точек. Для повторных испытаний естественным выборочным пространством является всегда произведение пространств.

Если С — это условия, наложенные на точки то через будет обозначаться множество точек этого пространства, удовлетворяющих условиям С. Например, если X - множество на числовой прямой и некоторая функция от то это множество точек для которых является числом, содержащимся в

Мы не предполагали до сих пор, что наша основная мера является полной (см. дополнение). Таким образом, если измеримое множество, имеющее меру нуль, и если подмножество множества то не должно быть обязательно измеримым. На языке теории вероятностей это означает, что могут существовать два события такие, что осуществление влечет за собой осуществление

и, несмотря на это, вероятность не определена (ясно, что если вероятность определена, то она равна 0). Эта возможность может несколько обеспокоить математика, желающею сохранить имеющееся у него интуитивное представление о вероятности. Для того чтобы добиться более близкого соответствия между этим представлением и математической моделью, нужно изменить или то, или другое. Эти изменения не слишком существенны, и во всех случаях математическую модель нетрудно видоизменить так, чтобы она согласовалась с нашей интуицией. В самом деле (см. дополнение, § 2), любая вероятностная мера может быть однозначным образом пополнена путем расширения класса измеримых множеств. Чтобы избежать некоторых не очень существенных осложнений в § 2 гл. II, везде в этой книге мы будем предполагать, что мера является полной.